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2019-2020年高三上学期期末联考数学(理)试题含解析
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,则A.B.C.D.【考点】集合的运算【试题解析】,,所以【答案】A2.复数(是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为A.B.C.D.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】所以复平面内所对应点的坐标为 【答案】D3.执行如图所示的程序框图,则输出的值为A.B.C.D.【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知m=1i=1,m=2i=2否;m=1i=3否;m=0i=4是,所以输出的值为
4.【答案】B第3题图4.在一段时间内有xx辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的200辆进行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h~120km/h,试估计xx辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A.辆B.辆C.辆D.辆【考点】频率分布表与直方图【试题解析】以正常速度通过该处的汽车频率为所以以正常速度通过该处的汽车约有辆【答案】D 第4题图5.“”是“函数在上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】若函数在R上单调递增,则恒成立,所以的最大值,即,所以“”是“”的充分不必要条件【答案】A6.已知点及抛物线上一动点,则的最小值是A.B.1C.2D.3【考点】抛物线【试题解析】由抛物线的定义知F
(01)|PF|=y+1所以=|PF|-1+|PQ|即当PQF共线时,值最小【答案】C7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是A.27B.30C.32D.36【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该四棱锥的底面是边长为3的正方形,侧面是两个直角边长为34的直角三角形,两个直角边长为35的直角三角形,所以该四棱锥的侧面积是【答案】A第7题图8.设函数的定义域,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,().若为上的“20型增函数”,则实数的取值范围是A.B.C.D.【考点】函数综合【试题解析】因为函数 是定义在上的奇函数,且当时,,所以令x0则-x0所以所以即所以,若为上的“20型增函数”,则对任意的,都有,所以即,又因为所以【答案】B第二部分(非选择题共110分)
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.函数的最小正周期是,最小值是.【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】最小值为-2+1=-
1.【答案】10.若,满足约束条件则的最大值为.【考点】线性规划【试题解析】作可行域A0,1B3,1C1,-1因为故目标函数在B点处取得最大值,为
4.【答案】411.在各项均为正数的等比数列中,若,则的最小值是.【考点】均值定理的应用等比数列【试题解析】设等比数列的公比为qq0所以 当且仅当时等号成立故的最小值是【答案】12.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与老师相邻,则不同站法种数为.【考点】排列组合综合应用【试题解析】老师必须站在正中间则老师的位置是指定的;甲同学不与老师相邻,则甲同学站两端,故不同站法种数为【答案】1213.已知为圆上两个不同的点(为圆心),且满足,则.【考点】平面向量的几何应用圆的标准方程与一般方程【试题解析】因为C为圆心,A,B在圆上,所以取AB中点为O,有且又因为R=3,所以即【答案】414.已知点在的内部,且有,记的面积分别为.若,则;若,则.【考点】平面向量的几何应用【试题解析】若,则以为邻边作平行四边形OAFB,OF与AB交于D,OF=2OD,又所以OD=OC,所以同理所以1:1:
1.若,则,作以为邻边作平行四边形OEMF,OM交AB于D则,因为所以所以所以所以同理故【答案】;
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)某中学高一年级共8个班,现从高一年级选10名同学组成社区服务小组,其中高一
(1)班选取3名同学,其它各班各选取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学来自不同班级的概率;(Ⅱ)设X为选出同学中高一
(1)班同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【考点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型【试题解析】解(Ⅰ)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A,则所以选出的3名同学来自班级的概率为.(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,则;;;.所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望.【答案】见解析16.(本小题满分13分)如图,在中,点在边上,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若求的面积.【考点】解斜三角形【试题解析】解(Ⅰ)因为,所以.又因为,所以.所以.(Ⅱ)在中,由,得.所以.【答案】见解析17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,且.点是棱的中点,平面与棱交于点.(Ⅰ)求证∥;(Ⅱ)若,且平面平面,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【考点】空间的角平行【试题解析】(Ⅰ)证明因为底面是菱形,所以∥.又因为面,面,所以∥面.又因为四点共面,且平面平面,所以∥.(Ⅱ)取中点,连接.因为,所以.又因为平面平面,且平面平面,所以平面.所以.在菱形中,因为,,是中点,所以.如图,建立空间直角坐标系.设,则,.又因为∥,点是棱中点,所以点是棱中点.所以,.所以,.设平面的法向量为,则有所以令,则平面的一个法向量为.因为平面,所以是平面的一个法向量.因为,[来源:学*科*网]所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【答案】见解析18.(本小题满分14分)已知函数其中.(Ⅰ)若在区间上为增函数,求的取值范围;(Ⅱ)当时,(ⅰ)证明;(ⅱ)试判断方程是否有实数解,并说明理由.【考点】导数的综合运用【试题解析】解函数定义域,.(Ⅰ)因为在区间上为增函数,所以在上恒成立,即,在上恒成立,则(Ⅱ)当时,.(ⅰ)令,得.令得,所以函数在单调递增.令得,所以函数在单调递减.所以,.所以成立.(ⅱ)由(ⅰ)知,,所以.设所以.令,得.令得,所以函数在单调递增,令得,所以函数在单调递减;所以,,即.所以,即.所以,方程没有实数解.【答案】见解析19.(本小题满分14分)已知圆的切线与椭圆相交于,两点.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)求证;(Ⅲ)求面积的最大值.【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】解(Ⅰ)由题意可知,,所以.所以.所以椭圆的离心率为.(Ⅱ)若切线的斜率不存在,则.在中令得.不妨设,则.所以.同理,当时,也有.若切线的斜率存在,设,依题意,即.由,得.显然.设,则,.所以.所以.所以.综上所述,总有成立.(Ⅲ)因为直线与圆相切,则圆半径即为的高,当的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知.则.当的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,.所以(当且仅当时,等号成立).所以.此时.综上所述,当且仅当时,面积的最大值为.【答案】见解析20.(本小题满分13分)已知有穷数列的各项均为正数,且满足条件
①;
②.(Ⅰ)若,求出这个数列;(Ⅱ)若,求的所有取值的集合;(Ⅲ)若是偶数,求的最大值(用表示).【考点】数列综合应用【试题解析】解(Ⅰ)因为,由
①知;由
②知,,整理得,.解得,或.当时,不满足,舍去;所以,这个数列为.(Ⅱ)若,由
①知.因为,所以.所以或.如果由计算没有用到或者恰用了2次,显然不满足条件;所以由计算只能恰好1次或者3次用到,共有下面4种情况
(1)若,,,则,解得;
(2)若,,,则,解得;
(3)若,,,则,解得;
(4)若,,,则,解得;综上,的所有取值的集合为.(Ⅲ)依题意,设.由(II)知,或.假设从到恰用了次递推关系,用了次递推关系,则有其中.当是偶数时,,无正数解,不满足条件;当是奇数时,由得,所以.又当时,若,有,,即.所以,的最大值是.即.【答案】见解析开始m=1i=1m=m2-i+1i=i+1m=0结束输出i是否8090100110120130车速(km/h)EQ\F频率组距
0.
0050.
0100.
0200.
0300.035343正视图侧视图俯视图ADBC。