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2019-2020年高三上学期期末调研测试数学理试题含答案
一、选择题(40分)
1、集合A={0,1,2,3,4},B={x|x2-x>0},则
2、若复数的实部与虚部相等,则实数a=A、-1 B、1 C、-2 D、
23、阅读右边的程序框图,则输出的S=A、7 B、8 C、15 D、
244、一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是
5、平面直角坐标系xoy中,已知A
(10),B
(01),C(-1,c)(c0),且|OC|=2,若,则实数的值分别是
6、以q为公比的等数列{}中,>0,则“”是“q>1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7、已知函数g(x)是偶函数,f(x)=g(x-2),且当x≠2时其导函数满足(x-2)>0,若1<a<3,则
8、定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如,(-2,-1)∪[3,5)的长度d=[(-1)-(-2)]+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],其中x∈R.设f(x)=[x]•{x},g(x)=x-1,当0≤x≤5时,则不等式f(x)<g(x)的解集区间的长度为A、1 B、2 C、3 D、
49、展开式中的系数是____
10、若,则a的值是_____
11、将4个人(含甲、乙)分成两组,每组2人,则甲、乙分别同一组的概率为___
12、设A为不等式组表示的平面区域,则当a从-1连续变化到0时,动直线x-y=a扫过A中的那部分区域的面积为_____
13、设a为实数,函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,,则当x>0时,函数f(x)的解析式为f(x)=_____;又若对一切x>0,不等式f(x)≥a+1恒成立,则a的取值范围是____(用区间或集合表示)
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14、(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,点(1,0)到直线=2的距离为____
15、(几何证明选讲选做题)如图,已知△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上,AD是圆O的切线,若∠OAC=60°,AC=1,则AD的长为____
三、解答题(80分)
16、(本小题满分12分)已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,求sinB的值
16、(本小题满分12分)某校有甲、乙两个研究性学习小组,两组的人数如下现采用分层抽样的方法,从甲、乙两组中共抽取3名同学进行展示交流
(1)求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率;
(2)记X为抽取的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望
16、(本小题满分14分) 如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=
(1)证明PA⊥BO;
(2)求二面角A-BP-D的余弦值
19、(本小题满分14分)已知空间向量,定义两个空间向量之间的距离为
(1)若,证明
(2)已知
①证明若
②若,是否一定请说明理由
20、(本小题满分14分)已知函数
(1)当a=-4时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围
21、(本小题满分14分)已知数列的前n项和为Sn,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,证明对于一切正整数n,不等式恒成立xx学年度第一学期高三调研测试理科数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)题号12345678答案ABDADBBC
二、填空题(本大题共7小题,作答6小题,每小题5分,共30分.)
9.
10.
11.
12.
13.(2分);(3分)
14.
15.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.)
16.(本小题满分12分)解
(1)…………2分.…………4分的最小正周期为.…………6分
(2)由,得,则.…………8分在中,.…………9分又因为,由正弦定理可得.…………12分17.(本小题满分12分)解
(1)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为,…………1分所以,按照分层抽样的方法,从甲组抽取的学生人数为;从乙组抽取的学生人数为.…………2分设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件,…………3分则,故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为.…………5分
(2)随机变量的所有取值为.…………6分…………9分所以,随机变量的分布列为:…………10分数学期望.…………12分
18.(本小题满分14分)证明⑴在中,,则,∴⊥.…………2分∵⊥平面,∴⊥.又平面,平面,且,∴⊥平面.……4分又平面,∴⊥.…………6分解⑵如图,过作于,连接、.…………7分∵⊥平面,平面,∴平面⊥平面.又平面平面,平面,⊥,∴⊥平面,即⊥.………9分又,,平面,且,∴⊥平面,∴⊥,⊥,∴为二面角的平面角.………11分∵,且为等腰梯形,∴,,∴,则,…………12分则.………13分在中,,∴二面角的余弦值为.……14分另解向量法如图建立空间直角坐标系.由已知,,∴.∵等腰梯形,,,∴,∴,,,,…………8分∴,,,.设平面的法向量为,则令,∴,即.……10分设平面的法向量为,则令,∴,即.………12分设二面角的大小为,由图可知是钝角,∴,∴二面角的余弦值为.………14分19.(本小题满分14分)解
(1)∵,,,∴,,,…………3分∴.…………4分
(2)证明∵,使,∴,使得,…………5分即,使得,其中,∴与同为非负数或同为负数.…………6分∴,即.…………9分解不一定,使得.…………10分反例如下取,,,…………12分,,,则∵,,∴不存在,使得.…………14分20.(本小题满分14分)解
(1)由已知,的定义域为.…………1分当时,,∴.…………3分令,得,令,得,…………5分∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.…………6分
(2)设,则“对于任意,不等式恒成立”等价于“对于任意,不等式恒成立”.而,…………7分设.∵,∴.…………8分
①当时,,,即在上单调递增,要使不等式对任意恒成立,即,∴.…………9分又,∴.…………10分
②当时,,,即在上单调递减,要使不等式对任意恒成立,即,∴.又,∴.…………11分
③当时,由,得.当时,,∴;当时,,∴,即在上单调递减,在上单调递增,要使不等式对任意恒成立,即.又,,且,,,∴,,即,所以时符合条件.…………13分综上所述,满足条件的的取值范围是.………14分21.(本小题满分14分)解⑴由
①得()
②………2分由
①-
②,得,即().由,可得,所以数列为以为首项,为公比的等比数列,………4分即.…………6分证明⑵由,……7分得.因此,要证,只要证.…8分下面用数学归纳法先证明.……9分
①当,不等式左边,右边,∴不等式成立;……10分
②设时,不等式成立,即,则当时,左边=而,即时,不等式也成立.综合
①②,成立.…12分又,∴成立.从而成立.…………14分。