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2019-2020年高中数学第一章空间几何体过关测试卷新人教A版必修2
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)
1.圆台的上、下底面的面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积为A.πB.2πC.πD.π
2.〈辽宁·理〉某几何体三视图如图1所示,则该几何体的体积为图1A.8-2πB.8-πC.D.
3.〈广州调研〉已知四棱锥P-ABCD的三视图如图2所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是A.3B.25C.6D.8图2图
34.如图3,在正四棱柱ABCD-中,AB=1,AA=3,点E为AB上的动点,则+CE的最小值为A.B.C.D.
5.〈长春调研〉已知空间4个球,它们的半径均为2,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为A.B.C.D.
6.〈青岛模拟〉一个几何体的三视图如图4所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是A.16πB.14πC.12πD.8π图4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
7.某几何体的三视图如图5所示,则这个几何体的体积为.图
58.给出下列命题
①在正方体中任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
③若一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;
⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直;
⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.其中正确命题的序号是.
9.〈临沂检测〉具有如图6所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为.图
610.用一张正方形纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是.
三、解答题(11题16分,其余每题14分,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11.〈杭州模拟〉如图7,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=,AD=2,求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所形成的几何体的表面积及体积.图
712.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球,再把球削成一个棱长最大的正方体,求此正方体的体积.
13.某人有一容积为V,高为且装满了油的直三棱柱形容器,不小心将该容器掉在地上,有两处破损并发生渗漏,其位置分别在两条侧棱上且距下底面高度分别为、的地方,且容器盖也被摔开了盖为上底面,为减少油的损失,此人采用破口朝上,倾斜容器的方式拿回家,估计容器内的油最理想的剩余量是多少.(容器壁的厚度忽略不计)参考答案及点拨
一、
1.D点拨由题意易得,圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,由S=6π,设母线长为,则可得π1+2=6π,∴=2,∴高h=.∴圆台的体积V=π×+1×2+×=π.
2.B点拨根据俯视图可得这是一个切割后的几何体,再结合另外两个视图,得到几何体,这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体,如答图1,几何体的高为2,V=-×π××2×2=8-π.
3.C点拨四棱锥如答图2所示,过点P作PN⊥DC于点N,取AB的中点M,连接PM,MN.易知MN⊥PN,PN=,MN=2,∴PM==3,于是易得=,=×2×3=3,=×4×3=
6.答图1答图2答图
34.B点拨如答图3,将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面内成为正方形,在矩形中,连接,与AB的交点即为符合条件的点E,此时.由题意易知,=2,=1,=1,∴=3,故.
5.A点拨由题意可知,以4个球的球心为顶点的几何体是正四面体,且小球球心O为正四面体的中心,正四面体的棱长为4,易得中心到顶点的距离为,从而易得所求小球的半径为-
2.
6.A点拨由三视图可知,该几何体是一个球挖去后剩下的部分.其中两个半圆面的面积和为π×=4π,个球的球面面积为×4π×=12π,所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.
二、
7.点拨由三视图可知,该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥,如答图4所示,则.答图4答图5
①②答图
68.
①⑤点拨
①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-中的四面体A-;
②错误,如答图5所示,底面△ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;
③错误,必须是相邻的两个侧面;
④错误,如果有两条侧棱和底面垂直,则它们平行,不可能;
⑤正确,当两个侧面的交线垂直于底面时成立;
⑥错误,当底面是菱形时,此命题不成立,所以应填
①⑤.
9.14点拨由正视图和俯视图可知,该几何体是直四棱柱或水平放置的直三棱柱或水平放置的圆柱.易知直四棱柱的体积最大.直四棱柱的高为1,底面矩形相邻两边长分别为1,3,所以表面积为21×3+1×1+3×1=14.
10.8点拨如答图6
①为棱长是1的正方体形礼品盒,先把正方体的表面按答图
②方式展成平面图形,再把平面图形尽可能补成面积较小的正方形,由答图
②知,补成的正方形的边长为,其面积为
8.
三、
11.解过点C作CE⊥AD于点E,易知CE=DE=2,过点C作CM⊥AB于点M,则易知CM=AE=2+2=4,BM=AB-AM=AB-CE=5-2=3,∴CB=
5.形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥,其中圆锥的底面是圆台的上底面.∴=++=π×2+5×5+π×+π×2×=60+π,V=-=π+2×5×4-π××2=π.
12.解设熔制后的铜球的半径为r,则有π=,∴r=6cm.由题意可知,正方体为球的内接正方体,球的直径即为正方体对角线的长,故正方体的棱长为cm.∴.
13.解如答图7所示,设破损处为D、E,且AD=b,CE=c,,则容器内所剩油的体积的最大值等于多面体ABC-的体积.连接BD,CD,易知,而,由三棱柱的几何性质知所以,又因为,所以答图7,所以.故油最理想的剩余量为.。