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2019-2020年高中数学第一章立体几何初步过关测试卷北师大版必修2
一、选择题每题6分,共36分
1.已知正方体-中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是A.A1,M,O三点共线B.M,O,A1,A四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面
2.圆台的上、下底面的面积分别为π,4π,侧面积为6π,这个圆台的体积为A.πB.πC.πD.π
3.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是A.若mβ,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ
4.〈山东省青岛一模〉一个几何体的三视图如图1所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是A.16πB.14πC.12πD.8π图1图
25.如图2,在正四棱柱-中,AB=1,AA1=,E为AB上的动点,则D1E+CE的最小值为A.B.C.D.
6.〈吉林省长春市第四次调研〉已知空间4个球,它们的半径均为2,每个球都与其他三个球外切,另有一个小球与这4个球都外切,则这个小球的半径为A.B.C.D.
二、填空题每题5分,共20分
7.某几何体的三视图如图3所示,则这个几何体的体积为.图
38.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面,若OA与该截面所成的角为60°,则该截面的面积为.
9.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是.
10.给出下列命题
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
③若某四棱柱有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;
⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直;
⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.其中正确命题的序号是.
三、解答题11题14分,其余每题15分,共44分
11.〈杭州模拟〉如图4,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=,AD=2,求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积.图
412.〈厦门〉如图5,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D,E分别是线段BC,PD的中点.1若AP=AB=AC=2,BC=,求三棱锥P-ABC的体积;2若点F在线段AB上,且AF=AB,证明直线EF∥平面PAC.图
513.如图6,在直四棱柱-中,DB=BC,DB⊥AC,M是棱BB1上一点.1求证B1D1∥平面A1BD;2求证MD⊥AC;3当M在BB1上的何处时,有平面DMC1⊥平面CC1D1D.图6参考答案及点拨
一、
1.D点拨因为O是BD1的中点.由正方体的性质知,O也是A1C的中点,所以点O在直线A1C上,又直线A1C交平面AB1D1于点M,则A1,M,O三点共线,又直线与直线外一点确定一个平面,所以B,C正确.
2.D点拨由题意,圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,∵S侧=6π,设母线长为l,则π·1+2l=6π,∴l=2,∴高h==.∴V=×π×12+1×2+22=π.
3.C点拨对于C,由m∥得,在平面内必存在直线l∥m.又m⊥β,因此l⊥β,且l,故⊥β.
4.A点拨由三视图可知,该几何体是挖去一个球的而得到的.其中两个半圆的面积为π×22=4π.球面的面积为×4π×22=12π,所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.
5.B点拨将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABC1D1内,成为正方形ABC2D2(如答图1,在矩形C1D1D2C2中连接D1C2,与AB的交点即为取得最小值时的点E,此时D1E+CE=D1C
2.因为对角线AD1=2,∴D1D2=3,故D1C2===.答图1答图2答图
36.A点拨由题意可知,连接4个球的球心组成了正四面体,小球球心O为正四面体的中心,到顶点的距离为,从而所求小球的半径r=-
2.
二、
7.点拨由三视图可知,该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥(如答图2,则V=V1+V2=×2×2×4+××2×2×2=.
8.π点拨如答图3,依题意,截面圆的半径r=O′A=OA·cos60°=
1.
9.8点拨如答图4
①为棱长为1的正方体形礼品盒,先把正方体的表面按答图4
②方式展成平面图形,再把平面图形补成面积尽可能小的正方形,则正方形的边长为,其面积为
8.答图4答图
510.
①⑤点拨
①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方形-中的四面体A-CB1D1;
②错误,如答图5所示,底面△ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;
③错误,必须是相邻的两个侧面;
④错误,如果有两条侧棱和底面垂直,则它们平行,不可能;
⑤正确,当两个侧面的公共边垂直于底面时成立;
⑥错误,当底面是菱形(非正方形)时,此说法不成立,所以应填
①⑤.
三、
11.解作CE⊥AD,交AD延长线于E.由已知得CE=2,DE=2,CB=5,S表=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π2+5×5+π×52+π×2×=60+π,V=V圆台-V圆锥=π·22+π·52+×4-π×22×2=π.
12.解1在△ABC中,AB=AC=2,BC=,D是线段BC的中点,连接AD,则AD⊥BC,易求得AD=
1.∴S△ABC=××1=.∵PA⊥底面ABC,∴VP-ABC=××2=.
(2)如答图6,取CD的中点H,连接FH,EH.∵E为线段PD的中点,∴在△PDC中,EH∥PC.∵EH平面PAC,PC平面PAC,∴EH∥平面PAC.∵AF=14AB,∴在△ABC中,FH∥AC,∵FH平面PAC.AC平面PAC,∴FH∥平面PAC,∵FH∩EH=H,∴平面EHF∥平面PAC.∵EF平面EHF,∴EF∥平面PAC.答图6答图
713.1证明由直四棱柱得BB1∥DD1,BB1=DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.2证明∵BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.而MD平面BB1D,∴MD⊥AC.3解当M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如答图7所示.∵N是DC的中点,BD=BC,∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1,∴BN⊥平面DCC1D
1.又可证得O是NN1的中点,∴BM∥ON且BM=ON,即四边形BMON是平行四边形.∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.。