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2019-2020年高中数学第一章立体几何初步过关测试卷新人教B版必修2
一、选择题每题5分,共20分)
1.〈广东高考〉某几何体的三视图如图1所示,它的体积为图1A.72B.48C.30D.
242.〈青岛模拟〉如图2所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,C∈a,D∈b,C,D均异于A,B,则△ACD是图2A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
3.〈天津塘沽模拟〉如图3所示,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC//平面A′DE;
③三棱锥A′-FED的体积有最大值.A.
①B.
①②C.
①②③D.
②③图3图
44.如图4所示,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,EH//A1D1,则下列结论中不正确的是A.EH//FGB.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台
二、填空题(每题5分,共30分)
5.如图5所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm3.图
56.〈辽宁卷〉一个几何体的三视图如图6所示.则该几何体的表面积为_________.图
67.如图7所示,AB为圆O的直径,C为圆周上异于A,B的任意一点,PA平面ABC,则图中共有_________个直角三角形.图7图
88.〈临沂高三教学质量检测〉具有如图8所示的正视图和俯视图的几何体中体积最大的几何体的表面积为_________.
9.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体形礼品盒完全包好,不将纸撕开,则所需纸的最小面积是___________.10.〈辽宁丹东四校联考〉设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列5个命题
①若m⊥α,l⊥m,则l//α;
②若m⊥α,lβ,l//m,则α⊥β;
③若α//β,l⊥α,m//β,则l⊥m;
④若α//β,l//α,mβ,则l//m;
⑤若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β.其中正确的命题是__________.
三、解答题(14题14分,其余每题12分,共50分)
11.如图9所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求证:A1C//平面AB1D.图
912.如图10
(1)所示,在梯形BCDE中,BC//DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如图10
(2)沿AB将四边形ABCD折起,使得平面ABCD与平面ABE垂直,M为CE的中点.1求证AM⊥BE;2求三棱锥C-BED的体积.图
1013.〈福建厦门3月高三质量检查〉如图11所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D,E分别是线段BC,PD的中点.
(1)若AP=AB=AC=2,BC=,求三棱锥P-ABC的体积;
(2)若点F在线段AB上,且AF=AB,证明直线EF//平面PAC.图
1114.如图12所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上的一点.1求证B1D1//平面A1BD;2求证MD⊥AC;3试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.图12第一章过关测试卷答案及点拨
一、
1.C点拨显然本题的几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合体.V=π××4+×π×=30π.
2.B点拨∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B,∴b⊥平面ABC,∴AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.
3.C点拨
①由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.
②由已知可得BC∥DE,∴BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时,三棱锥A′-FED的高最大,为A′G所以三棱锥A′-FED的体积有最大值.
4.D点拨∵EH∥A1D1,A1D1∥BC,∴EH∥BC,∴EH∥平面BCGF.∵平面BCGF∩平面EFGH=FG,∴EH∥FG,故A对.∵B1C1⊥平面A1B1BA,EF平面A1B1BA,∴B1C1⊥EF,∵EH∥BC,BC∥B1C1∴EH∥B1C1∴EH⊥EF.易知,四边形EFGH为平行四边形,故它也是矩形,故B对.由EH∥B1C1∥FG,知Ω是棱柱,故C对.
二、
5.6点拨方法一∵长方体的底面ABCD是正方形,∴BD=cm,BD边上的高是cm(它也是四棱锥A-BB1D1D的底面BB1D1D上的高).∴四棱锥A-BB1D1D的体积为××2×=6cm
3.方法二长方体的体积为3×3×2=18cm3,所以三棱柱ABD-A1B1D1的体积为9cm3,三棱锥A-A1B1D1的体积为×2××3×3=3cm3∴四棱锥A-BB1D1D的体积为9-3=6cm
3.
6.38点拨本小题主要考查三视图的应用和常见几何体表面积的求法.解题的突破口为弄清要求的几何体的形状,以及表面积的构成.由三视图可知,该几何体是在一个长方体中挖去一个圆柱形成的,几何体的表面积S=长方体的表面积+圆柱的侧面积-圆柱的上下底面面积,由三视图知,长方体的长、宽、高分别为
4、
3、1,圆柱的底面圆的半径为1,高为1,所以S=2×4×3+4×1+3×1+2π×1×1-2×π×12=
38.
7.4点拨∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC.∴△PAB,△PAC为直角三角形.又∵C为圆周上一点,∴∠ACB=90°,∴△ACB为直角三角形.∵BC⊥AC,PA⊥BC,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,∴△PCB为直角三角形.
8.14点拨由正视图和俯视图可知该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱.四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1底面边分别为13所以表面积为2×(1×3+1×1+3×1)=14.
9.8点拨如答图11为棱长为1的正方体形礼品盒,先把正方体的表面展开成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如答图12所示,由答图12知,正方形的边长为,其面积为
8.答图
110.
②③点拨
①l可能在α内,
①错;
④l若在β内,可能与m相交,
④错;
⑤m垂直于交线,不一定垂直于β,
⑤错.
三、
11.证明
(1)因为△ABC是正三角形而点D是BC的中点,所以AD⊥BC.又因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,因为AD平面ABC,所以CC1⊥AD,因为CC1∩BC=C,所以AD⊥平面BCC1B1;
(2)连接A1B设AB1∩A1B=E则E为A1B的中点连接DE由D是BC的中点得DE∥A1C.因为DE平面AB1D且A1C平面AB1D所以A1C∥平面AB1D.
12.1证明∵平面ABCD⊥平面ABE,由已知条件可知,DA⊥AB,AB⊥BC,平面ABCD∩平面ABE=AB,∴DA⊥平面ABE,CB⊥平面ABE.取EB的中点N,连接AN、MN,在△ABE中,∵AE=AB,N为EB的中点,∴AN⊥BE.在△EBC中,∵EM=MC,EN=NB,∴MN∥BC,又∵CB⊥平面ABE,∴MN⊥平面ABE,∴MN⊥BE.又∵AN∩MN=N,∴BE⊥平面AMN,又∵AM平面AMN,∴AM⊥BE.2解∵平面ABCD⊥平面ABE,AE⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,∴AE⊥平面ABCD,即AE⊥平面BCD.又∵S△BCD=×BC×BA=×1×2=1,∴三棱锥C-BED的体积=VE-BCD=×S△BCD×EA=×1×2=.点拨将线线垂直转化为线面垂直来处理.如答图
2.如答图3,
13.
(1)解连接AD,如答图3,在△ABC中,AB=AC=2,BC=,点D是线段BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD=1,∴S△ABC=××1=,∵PA⊥底面ABC,∴VP-ABC=·S△ABC·PA=××2=.
(2)证法一取CD的中点H连接FHEH∵E为线段PD的中点∴EH∥PC∵EH平面PAC,PC平面PAC,∴EH∥平面PAC∵AF=AB∴FH∥AC∵FH平面PAC,AC平面PAC,∴FH∥平面PAC∵FH∩EH=H,∴平面EHF∥平面PAC,∵EF平面EHF,∴EF∥平面PAC.证法二分别取AD,AB的中点M,N,连接EM,MF,DN,∵点E、M分别是线段PD、AD的中点,∴EM∥PA,∵EM平面PAC,PA平面PAC,∴EM∥平面PAC,∵AN=AB,AF=AB,∴点F是线段AN的中点∵在△ADN中,AF=FN,AM=MD,∴MF∥DN∵在△ABC中,AN=NB,CD=DB,∴DN∥AC,∴MF∥AC,∵MF平面PAC,AC平面PAC,∴MF∥平面PAC,∵EM∩MF=M,∴平面EMF∥平面PAC,∵EF平面EMF,∴EF∥平面PAC.
14.1证明由几何体ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,得BB1∥DD1,BB1=DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.2证明连接B1D∵BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.而MD平面BB1D,∴MD⊥AC.3解当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,BN,B1N1如答图4所示.∵N是DC的中点,BD=BC,∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,易知平面ABCD⊥平面DCC1D1,∴BN⊥平面DCC1D
1.又可证得O是NN1的中点,且四边形BB1N1N是平行四边形,∴BM∥ON且BM=ON,∴四边形BMON是平行四边形,∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.答图4。