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2019-2020年高三上学期第一次质量检测数学理试题含解析【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查集合、复数、不等式、向量、三视图、导数的综合应用、圆锥曲线、数列、参数方程极坐标、几何证明、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件的关系等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1.已知集合,,则集合()A.B.C.D.【知识点】集合的表示及集合的交集A1【答案解析】D解析因为,所以{02}则选D.【思路点拨】在进行集合的运算时,能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进行运算.【题文】2.已知复数,则的共轭复数是()A.B.C.D.【知识点】复数的代数运算、复数的概念L4【答案解析】A解析因为,所以的共轭复数是,则选A.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点,掌握复数的代数运算法则是解题的关键.【题文】
3.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为()A.2B.3C.4D.5【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】B解析不等式组表示的平面区域为如图ABCD对应的区域,显然当动直线经过区域内的点A时目标函数的值最小,而A点坐标为11,则目标函数的最小值为1+2=3,所以选B.【思路点拨】正确的确定不等式组表示的平面区域是解题的关键.【题文】4.已知,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件与必要条件、对数函数与指数函数的性质A2B6B7【答案解析】A解析因为由得a>b>0,所以成立,若,因为ab不一定为正数,所以不能推出,则选A.【思路点拨】判断充分条件与必要条件时,可先明确条件与结论,若由条件能推出结论,则充分性满足,若由结论能推出条件,则必要性满足.【题文】
5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于()A.B.C.D.【知识点】三视图G2【答案解析】C解析由三视图知几何体是底面为边长为3,4,5的三角形,高为5的三棱柱被平面截得的,如图所示,所以几何体的体积为,所以选C.【思路点拨】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题.根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键.【题文】6.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】C解析因为直线与两坐标轴的交点分别为,所以c=2,b=1,a=则离心率为,所以选C.【思路点拨】因为椭圆的焦点与顶点都在坐标轴上,所以求出直线与坐标轴的交点,即可解答.【题文】
7.已知向量与的夹角为120°且若且,则实数的值为)A.B.C.D.【知识点】向量的数量积F3【答案解析】B解析因为向量与的夹角为120°且所以则解得,所以选B.【思路点拨】掌握向量的数量积计算公式及向量的数量积的运算法则是本题解题的关键.【题文】
8.已知,且,现给出如下结论
①;
②;
③;
④.其中正确结论个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】D解析求导函数可得f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),∴当1<x<3时,f(x)<0;当x<1,或x>3时,f(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞)单调递减区间为(1,3),所以f(x)极大值=f
(1)=1-6+9﹣abc=4﹣abc,f(x)极小值=f
(3)=27﹣54+27-abc=﹣abc,要使f(x)=0有三个解a、b、c,那么结合函数f(x)草图可知a<1<b<3<c及函数有个零点x=b在1~3之间,所以f
(1)=4-abc>0,且f
(3)=-abc<0,所以0<abc<4,∵f
(0)=-abc,∴f
(0)=f
(3),∴f
(0)<0,∴f
(0)f
(1)<0,f
(1)f
(3)<0,∵f(a)=f(b)=(c)=0,∴x3-6x2+9x-abc=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,∴a+b+c=6
①,ab+ac+bc=9
②,把
②代入
①2得a2+b2+c2=18;故正确的为
①②③④,所以选D.【思路点拨】本题可根据已知条件,利用导数及函数的图像确定函数的极值点及a、b、c的大小关系.
二、填空题本大题共7小题,每小题5分,满分30分本大题分为必做题和选做题两部分.
(一)必做题第
9、
10、
11、
12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答【题文】9.若则的值是.【知识点】同角三角函数基本关系式、倍角公式C2C6【答案解析】解析因为,所以,得=.【思路点拨】利用同角三角函数基本关系式可以对之间相互转化.【题文】
10.设随机变量服从正态分布,若,则的值为.【知识点】正态分布的性质K8【答案解析】解析由正态分布的性质知,若,则,解得a=.【思路点拨】由正态分布的性质知若随机变量服从正态分布,则其图像关于直线x=3对称,利用图像的对称性知,x=2a-3与x=a+2的中间值为x=
3.【题文】
11.若把英语单词“error”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有________种.【知识点】排列组合综合应用J2【答案解析】19解析.【思路点拨】可先求出由一个e一个o和三个r的所有排列,再减去1个正确的顺序即可.【题文】
12.若等比数列的各项均为正数,且,则.【知识点】等比数列的性质D3【答案解析】12解析因为,所以,则.【思路点拨】在遇到等比数列问题时,可先观察所给项的项数,判断有无性质特征,有性质特征的用性质解题,无性质特征的用公式转化.【题文】
13.已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是.【知识点】二项式定理、函数的零点B9J3【答案解析】C解析由的展开式通项公式得常数项为,∴f(x)是以2为周期的偶函数,∵区间[-1,3]是两个周期,∴区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点可转化为f(x)与r(x)=kx+k有四个交点,当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意当k≠0时,∵r(-1)=0,两函数图象有四个交点,必有0<r
(3)≤1解得.【思路点拨】在二项展开式中一般遇到求二项展开式的某项或某项的系数问题,通常利用展开式的通项公式进行解答,在遇到判断函数的零点个数问题通常转化为函数的交点个数问题,再利用数形结合进行解答.
(二)选做题第
14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分【题文】
14.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线,(为参数)交于、两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是________.【知识点】参数方程极坐标N3【答案解析】解析因为曲线C是圆心为21,半径为1的圆,若直线被圆截得的弦长,则直线经过圆心,所以直线方程为y-1=x-2,整理得x﹣y=1,所以其极坐标方程为.【思路点拨】一般遇到直线与圆位置关系问题,通常转化为圆心到直线的距离进行解答.【题文】15.(几何证明选讲选做题)已知⊙O1和⊙O2交于点C和D,⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点,交直线CD于点E,M是⊙O2上的一点,若PE=2,EA=1,,那么⊙O2的半径为.【知识点】圆的切割线定理、正弦定理N1【答案解析】解析∵PE切⊙O1于点P,∴EP2=EC•ED.∵ED、EB是⊙O2的两条割线,∴EC•ED=EA•EB.∴EP2=EA•EB,即22=1•EB,得EB=4,因此,△ABM中AB=EB﹣EA=3,∠AMB=45°,设⊙O2的半径为R,由正弦定理得所以⊙O2的半径为.【思路点拨】利用圆的切割线定理及两圆的公共割线求出AB的值,再利用正弦定理计算三角形外接圆半径,即可解答.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.【题文】16.(本小题满分12分)已知函数.1求函数的最小正周期;2已知内角的对边分别为,且,若向量与共线,求的值.【知识点】三角函数的性质、正弦定理、余弦定理C3C8【答案解析】1π;2解析1因为所以,即函数的最小正周期为π;2由得,因为,所以,又向量与共线,得sinB﹣2sinA=0,由正弦定理得b=2a,又c=3,由余弦定理得,解得.【思路点拨】一般研究三角函数的性质,通常先把函数化成一个角的三角函数再进行解答,解三角形时应结合已知条件恰当的选择正弦定理或余弦定理进行转化.【题文】17.(本小题满分13分)为迎接6月6日的“全国爱眼日”,某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶,如图,若视力测试结果不低于
5.0,则称为“好视力”.1写出这组数据的众数和中位数;2从这16人中随机选取3人,求至少有2人是“好视力”的概率;
(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校人数很多任选3人,记X表示抽到“好视力”学生的人数,求X的分布列及数学期望.【知识点】茎叶图、概率、随机变量的分布列与期望I2K2K6【答案解析】1众数为
4.6和
4.7,中位数为
4.75;2
(3).解析解1由题意知众数为
4.6和
4.7,中位数为
4.75;2这是一个古典概型,设至少有2人是“好视力”记为事件A,则事件A包含的基本事件个数为,总的基本事件个数为,所以;
(3)X的可能取值为
0123.由于该校人数很多,故X近似服从二项分布B3,.PX=0=3=,PX=1=××2=,PX=2=×2×=,PX=3=3=,X的分布列为X0123P故X的数学期望EX=3×=.【思路点拨】求离散随机变量的分布列与期望一般先确定随机变量的取值,再依次求各个取值对应的概率即可得其分布列,再利用公式求期望即可,对于二项分布求期望时注意利用二项分布期望计算公式EX=np进行计算.【题文】
18.(本小题满分13分)如图,在直三棱柱中,平面侧面,且1求证;2若直线与平面所成的角为,求锐二面角的大小.【知识点】空间直线垂直的判定、二面角的求法G5G11【答案解析】1略;2解析
(1)证明如图,取的中点,连接,因,则,由平面侧面,且平面侧面,得,又平面,所以.因为三棱柱是直三棱柱,则,所以.又,从而侧面,又侧面,故.
(2)解法一连接,由
(1)可知,则是在内的射影∴即为直线与所成的角,则在等腰直角中,,且点是中点,∴,且,∴过点A作于点,连,由
(1)知,则,且,∴即为二面角的一个平面角,在直角中,又,,∴,且二面角为锐二面角∴,即二面角的大小为解法二(向量法)由
(1)知且,所以以点为原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,且设,则,,,,,,,,设平面的一个法向量,由,得令,得,则,设直线与所成的角为,则,得,解得,即,又设平面的一个法向量为,同理可得,设锐二面角的大小为,则,且,得,∴锐二面角的大小为.【思路点拨】证明两直线垂直通常可转化为线面垂直进行证明;求二面角可通过寻求其平面角通过三角形求解,也可用向量的方法通过求平面的法向量的夹角解答.【题文】
19.(本小题满分14分)已知数列中,,前项和.1设数列满足,求与之间的递推关系式;2求数列的通项公式.【知识点】数列的递推公式,数列的通项公式D1D4【答案解析】1;2解析
(1)∵,∴∴,整理得,等式两边同时除以得,即,2由
(1)知即,所以,得.【思路点拨】一般遇到由数列的前n项和与通项之间的递推关系式,通常利用公式进行转化求解..【题文】20.(本小题满分14分)已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足.1求点的轨迹的方程;2设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【知识点】曲线的轨迹方程,直线与圆锥曲线的位置关系H8H9【答案解析】12=0解析
(1)椭圆右焦点的坐标为,.,由,得.设点的坐标为,由,有,代入,得.
(2)设直线的方程为,、,则,.由,得,同理得.所以,则,由得,所以,则,所以是定值,且定值为
0.【思路点拨】求轨迹方程就是求轨迹上任意一点所满足的关系式,本题直接设出动点坐标,利用向量关系即可求出所求轨迹方程.对于直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常把实际问题坐标化,再通过联立方程,利用韦达定理进行转化求解.【题文】21.(本小题满分14分)已知函数(为常数,)(Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;(Ⅱ)求证当时,在上是增函数;(Ⅲ)若对任意的,总存在,使不等式成立,求正实数的取值范围.【知识点】导数的综合应用B12【答案解析】(Ⅰ)2;(Ⅱ)略;(Ⅲ)解析(Ⅰ)由已知,得且,,,(Ⅱ)当时,,当时,又,,所以在上是增函数;(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知,fx在上的最大值为则问题转化为对于任意的,不等式恒成立,令,则,因为m>0,若,可知ga在区间上递减,在此区间上有ga<g1=0,与ga>0恒成立矛盾,所以,此时,ga在递增,恒有ga>g1=0,满足题意,所以,解得,所以实数的取值范围为.【思路点拨】求函数的极值点就是求函数的导数等于0且两侧导数异号的点;证明函数的单调性就是证明其导数恒正或恒负;不等式恒成立问题及存在性问题经常转化为函数的最值问题进行解答.ABCDPMEO1O2。