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2019-2020年高三上学期第三次周考数学试题含答案
一、选择题
1.已知,则等于()A.B.C.D.
2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,,则( )A.B.C.D.
3.已知,则()A.B.C.D.
44.在中,abc分别为角ABC的对边,满足则的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
5.已知且为第二象限角,则ABCD
6.已知中,分别是角所对的边,若则角B的大小为()A.B.C.D.
7.某公司要测量一水塔的高度,测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择,两个观测点,在处测得该水塔顶端的仰角为,在处测得该水塔顶端的仰角为.已知,,则水塔的高度为( )A. B.C. D.
8.在中,abc分别是A,B,C所对的边,且c=1,,的面积的最大值为()A.B.C.D.
19.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若,且,则下列关系一定不成立的是( )A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c
210.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB边上的一点,CD=,△BCD的面积为1,则AC的长为( )A.2B.C.D.请将选择题的答案填在下列答题卡处12345678910
二、填空题
11.在△ABC中,若AB=3,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则BC等于 .
12.设△ABC的内角为A,B,C,所对的边分别是,,.若,则角C=__________.
13.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .
14.若△ABC的三边a,b,c及面积S满足,则 .
三、解答题
15.已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对于任意的,都有,求实数c的取值范围.
16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,且ab=,求证sinA=sinB.
17.在△ABC中,内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知a=csinB+bcosC.
(1)求A+C的值;
(2)若,求△ABC面积的最大值.
18.在中,abc分别是角A,B,C的对边,.
(1)求角A;
(2)当,时,求边c的值和的面积.参考答案
一、选择题
1.已知,则等于()A.B.C.D.
2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,,则( )A.B.C.D.【解析】B因为所以由正弦定理有
3.已知,则()A.B.C.D.4【解析】A
4.在中,abc分别为角ABC的对边,满足则的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】D由正弦定理得则,所以或.选D.
5.已知且为第二象限角,则ABCD【解析】D,
6.已知中,分别是角所对的边,若则角B的大小为()B.B.C.D.【解析】C由正弦定理得,即化简解得,.选C.
7.某公司要测量一水塔的高度,测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择,两个观测点,在处测得该水塔顶端的仰角为,在处测得该水塔顶端的仰角为.已知,,则水塔的高度为( )A. B.C. D.【解析】B中,,由正弦定理,得.在中,.
8.在中,abc分别是A,B,C所对的边,且c=1,,的面积的最大值为()A.B.C.D.1【解析】由余弦定理有,结合题意得,又c=1,所以得,得,所以有,得,当且仅当a=b时等号成立,所以.
9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若,且,则下列关系一定不成立的是( )A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c2【解析】B∵b2+c2﹣a2=bc,∴cosA==,∴A=30°,由正弦定理化简b=a,得到sinB=sinA=,∴B=60°或120°,当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c,综上,b=c不一定成立.
10.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB边上的一点,CD=,△BCD的面积为1,则AC的长为( )A.2B.C.D.【解析】D∵BC=,CD=,△BCD的面积为1,∴sin∠DCB=1,∴sin∠DCB=,则cos∠DCB=,则BD2=CB2+CD2﹣2CD•CBcos∠DCB=4,得BD=2,在△BDC中,由余弦定理可得cos∠BDC==﹣,∴∠BDC=135°,∠ADC=45°,在△ADC中,∠ADC=45°,A=60°,DC=,由正弦定理可得,,∴AC=.
11.在△ABC中,若AB=3,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则BC等于 .【答案】【解析】根据三角形内角和定理知∠BAC=180°﹣75°﹣60°=45°.根据正弦定理得=,即=,∴BC===.
12.设△ABC的内角为A,B,C,所对的边分别是,,.若,则角C=__________.答案:解析由,得,,所以,C=
13.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .【答案】【解析】∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,∴sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=3,根据余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3,则BD=.
14.若△ABC的三边a,b,c及面积S满足,则 .【解析】由1+=,得1+=.即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,∴cosA=,即A=,∵a=2,c=2,∴a>c,即A>C,由正弦定理得,即,∴sinC=,即C=45°.
三、解答题
15.已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对于任意的,都有,求实数c的取值范围.【解析】(Ⅰ)∵函数,∴.(Ⅱ)∵==.因为,所以,所以当,即时,f(x)取得最大值.所以,f(x)≤c等价于.故当,f(x)≤c时,c的取值范围是.
16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,且ab=,求证sinA=sinB.【解析】
(1)∵=.∴利用诱导公式及正弦定理可得=,∴2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0,即2sinAcosC+sinA=0,整理可得sinA(2cosC+1)=0,∵sinA≠0,可得cosC=﹣,∴由C∈(0,π),可得C=
(2)证明∵C=,c=2,且ab=,∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可得4=a2+b2+ab=(a﹣b)2+3ab=(a﹣b)2+4,∴解得(a﹣b)2=0,解得a=b,∴由正弦定理可得sinA=sinB.
17.在△ABC中,内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知a=csinB+bcosC.
(1)求A+C的值;
(2)若,求△ABC面积的最大值.【解析】
(1)由正弦定理得到sinA=sinCsinB+sinBcosC因为在三角形中,sinA=sin=sin(B+C)所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC所以cosBsinC=sinCsinB因为C∈(0,π),sinC≠0,所以cosB=sinB即tanB=1,B∈(0,π)所以,即.
(2)由余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB,所以,所以即当且仅当a=c即时“=”成立,而,所以△ABC面积的最大值为.
18.在中,abc分别是角A,B,C的对边,.
(1)求角A;
(2)当,时,求边c的值和的面积.【解析】
(1)由得,……2分所以或.……4分因为所以,所以角A为
(2)由及有即……7分由余弦定理有显然有,∴又由正弦定理有得,……10分又……11分所以的面积……12分。