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2019-2020年高三上学期第三次模拟数学试卷(文科)含解析 一.选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.记集合M={x||x﹣1|>1},N={x|x2﹣3x≤0},则M∩N=( )A.{x|2<x≤3}B.{x|x>0或x<﹣2}C.{x|﹣2<x≤3}D.{x|0<x<2}2.复数的虚部为( )A.B.C.﹣D.3.已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1),且(2﹣3)⊥,则实数k=( )A.﹣B.0C.3D.4.(文)已知数列{an}满足an+1=an+1(n∈N+),且a2+a4+a6=18,则log3(a5+a7+a9)的值为( )A.﹣3B.3C.2D.﹣25.设f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(
7.5)等于( )A.
0.5B.﹣
0.5C.
1.5D.﹣
1.56.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α7.已知条件p k=;条件q直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件8.网格纸的小正方形边长为1,一个正三棱锥的左视图如图所示,则这个正三棱锥的体积为( )A.B.C.D.9.将函数f(x)=cos(π+x)(cosx﹣2sinx)+sin2x的图象向左平移后得到函数g(x),则g(x)具有性质( )A.最大值为,图象关于直线对称B.周期为π,图象关于对称C.在上单调递增,为偶函数D.在上单调递增,为奇函数10.等比数列{an}各项为正,a3,a5,﹣a4成等差数列.Sn为{an}的前n项和,则=( )A.2B.C.D.11.若三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.12.若函数f(x)满足,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m有两个零点,则实数m的取值范围是( )A.B.C.D. 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若变量x、y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为 .14.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•= .15.已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2n+2(n∈N*),则Sn= .16.已知a,b为正实数,直线y=x﹣a与曲线y=ln(x+b)相切,则的取值范围 .
三、解答题解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且2sin2A+3cos(B+C)=0.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=,求sinB+sinC的值.18.某校一课题小组对郑州市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50人,他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入(单位百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055赞成人数4812531
(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及2×2列联表;月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a= c= 不赞成b= d= 合计
(2)若从收入(单位百元)在[15,25)的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率.19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,,F是BC的中点.(Ⅰ)求证DA⊥平面PAC;(Ⅱ)试在线段PD上确定一点G,使CG∥平面PAF,并求三棱锥A﹣CDG的体积.20.已知函数f(x)=.
(1)若函数f(x)在区间(a,a+)(a>0)上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围.21.已知两点F1(﹣1,0)及F2(1,0),点P在以F
1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,动直线l y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值. xx学年内蒙古赤峰二中高三(上)第三次模拟数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一.选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.记集合M={x||x﹣1|>1},N={x|x2﹣3x≤0},则M∩N=( )A.{x|2<x≤3}B.{x|x>0或x<﹣2}C.{x|﹣2<x≤3}D.{x|0<x<2}【考点】交集及其运算.【分析】由题意先求出集合M,N然后根据交集的运算即可求解【解答】解∵M={x||x﹣1|>1}={x|x>2或x<0},N={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3},∴M∩N={x|2<x≤3}故选A 2.复数的虚部为( )A.B.C.﹣D.【考点】复数的基本概念.【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成最简形式,进行加法运算,写出复数的标准形式,得到复数的虚部.【解答】解复数===﹣,∴虚部是,故选A. 3.已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1),且(2﹣3)⊥,则实数k=( )A.﹣B.0C.3D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】(2﹣3)⊥,可得(2﹣3)•=0,解出即可.【解答】解=(2k﹣3,﹣6),∵(2﹣3)⊥,∴(2﹣3)•=2(2k﹣3)﹣6=0,解得k=3.故选C. 4.(文)已知数列{an}满足an+1=an+1(n∈N+),且a2+a4+a6=18,则log3(a5+a7+a9)的值为( )A.﹣3B.3C.2D.﹣2【考点】等差数列的性质;对数的运算性质.【分析】数列{an}是以1为公差的等差数列,可得a5+a7+a9=a2+a4+a6+9d=27,由此求得log3(a5+a7+a9)的值.【解答】解∵数列{an}满足an+1=an+1(n∈N+),∴数列{an}是以1为公差的等差数列.又∵a2+a4+a6=18,∴a5+a7+a9=a2+a4+a6+9d=27,∴log3(a5+a7+a9)=log327=3,故选B. 5.设f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(
7.5)等于( )A.
0.5B.﹣
0.5C.
1.5D.﹣
1.5【考点】奇函数.【分析】题目中条件“f(x+2)=﹣f(x),”可得f(x+4)=f(x),故f(
7.5)=f(﹣
0.5)=﹣f(
0.5)=﹣
0.5.【解答】解∵f(x+2)=﹣f(x),∴可得f(x+4)=f(x),∵f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x).∴故f(
7.5)=f(﹣
0.5)=﹣f(
0.5)=﹣
0.5.故选B. 6.已知l,m,n为三条不同直线,α,β,γ为三个不同平面,则下列判断正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】根据常见几何体模型举出反例,或者证明结论.【解答】解(A)若m∥α,n∥α,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;(B)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面CDD′C′为平面β,直线BB′为直线m,直线A′B为直线n,则m⊥α,n∥β,α⊥β,但直线A′B与BB′不垂直,故B错误.(C)设过m的平面γ与α交于a,过m的平面θ与β交于b,∵m∥α,m⊂γ,α∩γ=a,∴m∥a,同理可得m∥b.∴a∥b,∵b⊂β,a⊄β,∴a∥β,∵α∩β=l,a⊂α,∴a∥l,∴l∥m.故C正确.(D)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,设平面ABCD为平面α,平面ABB′A′为平面β,平面CDD′C′为平面γ,则α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但BC⊂平面ABCD,故D错误.故选C. 7.已知条件p k=;条件q直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆的位置关系.【分析】结合直线和圆相切的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解若直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则圆心(0,0)到直线kx﹣y+2=0的距离d=,即k2+1=4,∴k2=3,即k=,∴p是q的充分不必要条件.故选C. 8.网格纸的小正方形边长为1,一个正三棱锥的左视图如图所示,则这个正三棱锥的体积为( )A.B.C.D.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由已知中的三视图可得三棱锥的底面边长和高,代入棱锥体积公式,可得答案.【解答】解由已知中的三视图可得三棱锥的底面上的高为3,故三棱锥的底a=2,故三棱锥的底面积S==3,三棱锥的高h=3,故棱锥的体积V==3,故选B 9.将函数f(x)=cos(π+x)(cosx﹣2sinx)+sin2x的图象向左平移后得到函数g(x),则g(x)具有性质( )A.最大值为,图象关于直线对称B.周期为π,图象关于对称C.在上单调递增,为偶函数D.在上单调递增,为奇函数【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;诱导公式的作用;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性.【分析】利用三角函数的恒等变换求得f(x)=sin(2x﹣),根据函数y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律求得g(x)=sin2x,从而得出结论.【解答】解函数f(x)=cos(π+x)(cosx﹣2sinx)+sin2x=﹣cosx(cosx﹣2sinx)+sin2x=﹣cos2x+sin2x=sin(2x﹣),把函数f(x)的图象向左平移后得到函数g(x)=sin[2(x+)﹣]=sin2x的图象,故函数g(x)在上单调递增,为奇函数,故选D. 10.等比数列{an}各项为正,a3,a5,﹣a4成等差数列.Sn为{an}的前n项和,则=( )A.2B.C.D.【考点】等比数列的前n项和.【分析】设{an}的公比为q(q≠0,q≠1),利用a3,a5,﹣a4成等差数列结合通项公式,可得2a1q4=a1q2﹣a1q3,由此即可求得数列{an}的公比,进而求出数列的前n项和公式,可得答案.【解答】解设{an}的公比为q(q>0,q≠1)∵a3,a5,﹣a4成等差数列,∴2a1q4=a1q2﹣a1q3,∵a1≠0,q≠0,∴2q2+q﹣1=0,解得q=或q=﹣1(舍去)∴===故选C 11.若三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.B.C.D.【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.【分析】说明P在底面上的射影是AB的中点,也是底面外接圆的圆心,求出球的半径,即可求出外接球的表面积.【解答】解由题意,点P在底面上的射影D是AB的中点,是三角形ABC的外心,令球心为O,如图在直角三角形ODC中,由于AD=1,PD==,则(﹣R)2+12=R2,解得R=,则S球=4πR2=故选A. 12.若函数f(x)满足,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m有两个零点,则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.【考点】函数零点的判定定理.【分析】根据,当x∈[0,1]时,f(x)=x,求出x∈(﹣1,0)时,f(x)的解析式,由在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m有两个零点,转化为两函数图象的交点,利用图象直接的结论.【解答】解∵,当x∈[0,1]时,f(x)=x,∴x∈(﹣1,0)时,,∴f(x)=,因为g(x)=f(x)﹣mx﹣m有两个零点,所以y=f(x)与y=mx+m的图象有两个交点,函数图象如图,由图得,当0<m时,两函数有两个交点故选D. 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若变量x、y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为 3 .【考点】简单线性规划.【分析】先画出满足约束条件的可行域,并求出各角点的坐标,然后代入目标函数,即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值.【解答】解满足约束条件的可行域如下图所示由图可知,当x=1,y=﹣1时,z=x﹣2y取最大值3故答案为3 14.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•= 2 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.【解答】解∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=0,故=()•()=()•()=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2,故答案为2. 15.已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2n+2(n∈N*),则Sn= (3n﹣1)﹣n .【考点】数列递推式.【分析】当n≥2时,由an+1=2Sn+2n+2可推出an+1+1=3(an+1),从而可得数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,从而求an=3n﹣1;从而利用拆项求和法求和.【解答】解当n≥2时,an+1=2Sn+2n+2,an=2Sn﹣1+2n,两式作差可得,an+1﹣an=2an+2,即an+1+1=3(an+1),又∵a1+1=3,a2+1=9,∴数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,故an+1=3n,an=3n﹣1;故Sn=3﹣1+(9﹣1)+(27﹣1)+…+(3n﹣1)=3+9+27+…+3n﹣n=﹣n=(3n﹣1)﹣n.故答案为(3n﹣1)﹣n. 16.已知a,b为正实数,直线y=x﹣a与曲线y=ln(x+b)相切,则的取值范围 .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求函数的导数,利用导数构造函数,判断函数的单调性即可.【解答】解函数的导数为y′==1,x=1﹣b,切点为(1﹣b,0),代入y=x﹣a,得a+b=1,∵a、b为正实数,∴a∈(0,1),则=,令g(a)=,则g′(a)=>0,则函数g(a)为增函数,∴∈.故答案为.
三、解答题解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且2sin2A+3cos(B+C)=0.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=,求sinB+sinC的值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】
(1)由题意可得cosA的方程,解得cosA=,A=;
(2)由三角形的面积公式可得b和c的值,由余弦定理可得a,整体代入sinB+sinC=×(b+c),计算可得.【解答】解
(1)∵在△ABC中2sin2A+3cos(B+C)=0,∴2(1﹣cos2A)﹣3cosA=0,解得cosA=,或cosA=﹣2(舍去),∵0<A<π,∴角A=;
(2)∵△ABC的面积S=bcsinA=bc=5,∴bc=20,再由c=4可得b=5,故b+c=9,由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=21,∴a=,∴sinB+sinC=+=×(b+c)=×9= 18.某校一课题小组对郑州市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50人,他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入(单位百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055赞成人数4812531
(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)及2×2列联表;月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a= 4 c= 29 33 不赞成b= 6 d= 11 17 合计 10 40 50
(2)若从收入(单位百元)在[15,25)的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率.【考点】概率与函数的综合.【分析】
(1)各组的频率分别
0.1,
0.2,
0.3,
0.2,
0.1,
0.1,所以图中各组的纵坐标分别是
0.01,
0.02,
0.03,
0.02,
0.01,
0.01,画出直方图,填表即可;
(2)设收入(单位百元)在[15,25)的被调查者中赞成的分别是A1,A2,A3,A4,不赞成的是B,列出选出两人的所有结果,和满足条件的情形,根据古典概型的公式进行求解即可.【解答】解
(1)各组的频率分别
0.1,
0.2,
0.3,
0.2,
0.1,
0.1,所以图中各组的纵坐标分别是
0.01,
0.02,
0.03,
0.02,
0.01,
0.01月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成42933不赞成61117合计104050
(2)设收入(单位百元)在[15,25)的被调查者中赞成的分别是A1,A2,A3,A4,不赞成的是B,从中选出两人的所有结果有10种(A1A2),(A1A3),(A1A4),(A1B),(A2A3),(A2A4),(A2B),(A3A4),(A3B),(A4B)其中选中B的有4种(A1B),(A2B),(A3B),(A4B)所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是P== 19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,,F是BC的中点.(Ⅰ)求证DA⊥平面PAC;(Ⅱ)试在线段PD上确定一点G,使CG∥平面PAF,并求三棱锥A﹣CDG的体积.【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)平行四边形ABCD中,证出AC⊥DA.结合PA⊥平面ABCD,得PA⊥DA,由线面垂直的判定定理,可得DA⊥平面PAC.(Ⅱ)设PD的中点为G,在平面PAD内作GH⊥PA于H,连接FH,可证出四边形FCGH为平行四边形,得GC∥FH,所以CG∥平面PAF.设点G到平面ABCD的距离为d,得d=,结合Rt△ACD面积和锥体体积公式,可算出三棱锥A﹣CDG的体积.【解答】解(Ⅰ)∵四边形是平行四边形,∴AD∥BC,可得∠ACB=∠DAC=90°,即AC⊥DA∵PA⊥平面ABCD,DA⊆平面ABCD,∴PA⊥DA,又∵AC⊥DA,AC∩PA=A,∴DA⊥平面PAC.(Ⅱ)设PD的中点为G,在平面PAD内作GH⊥PA于H,连接FH,则△PAD中,GH平行且等于∵平行四边形ABCD中,FC平行且等于,∴GH∥FC且GH=FC,四边形FCGH为平行四边形,得GC∥FH,∵FH⊂平面PAF,CG⊄平面PAF,∴CG∥平面PAF,即G为PD中点时,CG∥平面PAF.设点G到平面ABCD的距离为d,则由G为PD中点且PA⊥平面ABCD,得d=,又∵Rt△ACD面积为×1×1=∴三棱锥A﹣CDG的体积VA﹣CDG=VG﹣CDA=S△ACD×=. 20.已知函数f(x)=.
(1)若函数f(x)在区间(a,a+)(a>0)上存在极值点,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值.【分析】
(1)求导数,确定函数f(x)在x=1处取得极大值,根据函数在区间(a,a+)(a>0)上存在极值点,可得,即可求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,分离参数,构造,证明g(x)在[1,+∞)上是单调递增,所以[g(x)]min=g
(1)=2,即可求实数k的取值范围.【解答】解
(1)函数f(x)定义域为(0,+∞),,由f′(x)=0⇒x=1,当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0,则f(x)在(0,1)上单增,在(1,+∞)上单减,所以函数f(x)在x=1处取得唯一的极值.由题意得,故所求实数a的取值范围为
(2)当x≥1时,不等式.令,由题意,k≤g(x)在[1,+∞)恒成立.令h(x)=x﹣lnx(x≥1),则,当且仅当x=1时取等号.所以h(x)=x﹣lnx在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h
(1)=1>0因此,则g(x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)min=g
(1)=2所以k≤2,即实数k的取值范围为(﹣∞,2]. 21.已知两点F1(﹣1,0)及F2(1,0),点P在以F
1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,动直线l y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形F1MNF2面积S的最大值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;数列与解析几何的综合;椭圆的简单性质.【分析】
(1)依题意,设椭圆C的方程为,c=1.再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列,即可得到a,利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程;
(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中,得到关于x的一元二次方程,由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,△=0,即可得到m,k的关系式,利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|,d2=|F2N|.法一当k≠0时,设直线l的倾斜角为θ,则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|,即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式,利用基本不等式的性质即可得出S的最大值;法二利用d1及d2表示出及d1d2,进而得到,再利用二次函数的单调性即可得出其最大值.【解答】解
(1)依题意,设椭圆C的方程为.∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列,∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,a=2.又∵c=1,∴b2=3.∴椭圆C的方程为.
(2)将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0.由直线l与椭圆C仅有一个公共点知,△=64k2m2﹣4(4k2+3)(4m2﹣12)=0,化简得m2=4k2+3.设,,法一当k≠0时,设直线l的倾斜角为θ,则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|,∴,=,∵m2=4k2+3,∴当k≠0时,,,.当k=0时,四边形F1MNF2是矩形,.所以四边形F1MNF2面积S的最大值为.法二∵,.∴=.四边形F1MNF2的面积=,=.当且仅当k=0时,,故.所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为. xx年2月15日。