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2019-2020年高三上学期第二次月考数学试卷(理科)含解析
一、选择(10*5=50)1.设全集U=R,M={x|x(x+3)<0},N={x|x<﹣1},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x≥﹣1}B.{x|﹣3<x<0}C.{x|x≤﹣3|D.{x|﹣1≤x<0}2.复数z满足(1﹣2i)z=7+i,则复数z的共轭复数z=( )A.1+3iB.1﹣3iC.3+iD.3﹣i3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x的值的个数为( )A.1B.2C.3D.44.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为2的正方形,其俯视图是一个正三角形,该三棱柱侧视图的面积为( )A.B.C.D.45.函数的图象大致为( )A.B.C.D.6.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )A.a3>b3B.C.ab>1D.lg(b﹣a)<07.设m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,有以下四个命题
①②③④其中,真命题是( )A.
①④B.
②③C.
①③D.
②④8.已知sin(α+)+sinα=﹣,﹣<α<0,则cos(α+)等于( )A.﹣B.﹣C.D.9.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(﹣)•(+﹣2)=0,则△ABC一定是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10.设定义域为R的函数f(x)=,若关于x的方程2f2(x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.C.(1,2)D.
二、(填空5*5=25)11.计算定积分(x2+sinx)dx= .12.在等差数列{an}中,若a1+a5+a9=,则tan(a4+a6)= .13.设z=x+y,其中x,y满足,若z的最大值为xx,则k的值为 .14.列∀x∈R,不等式log2(4﹣a)≤|x+3|+|x﹣1|成立,则实数a的取值范围是 .15.定义平面向量的一种运算⊗=||•||sin<,>,则下列命题
①⊗=⊗;
②λ(⊗)=(λ)⊗;
③(+)⊗=(⊗)+(⊗);
④若=(x1,y1),=(x2,y2),则⊗=|x1y2﹣x2y1|.其中真命题是 (写出所有真命题的序号).
三、(简答题,共6小题)16.在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且a2=b2+c2+bc(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若sinB+sinC=1,试求内角B、C的大小.17.已知函数.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值,并求出相应的x的值.18.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值.19.等差数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=.
(1)求an与bn;
(2)证明≤++…+<.20.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任何正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为Kn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.21.已知函数f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex(其中a∈R).(Ⅰ)若x=0为f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式f(x)>(x﹣1)(+x+1);(Ⅲ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求实数a的取值范围. xx学年山东省滨州市邹平双语学校三区高三(上)第二次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择(10*5=50)1.设全集U=R,M={x|x(x+3)<0},N={x|x<﹣1},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x|x≥﹣1}B.{x|﹣3<x<0}C.{x|x≤﹣3|D.{x|﹣1≤x<0}【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【分析】首先化简集合M,然后由Venn图可知阴影部分表示M∩(CUN),即可得出答案.【解答】解M={x|x(x+3)<0}={x|﹣3<x<0}由图象知,图中阴影部分所表示的集合是M∩(CUN)又N={x|x<﹣1},∴CUN={x|x≥﹣1}∴M∩(CUN)=[﹣1,0)故选D. 2.复数z满足(1﹣2i)z=7+i,则复数z的共轭复数z=( )A.1+3iB.1﹣3iC.3+iD.3﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.【分析】先将z利用复数除法的运算法则,化成代数形式,再求其共轭复数.【解答】解∵(1﹣2i)z=7+i,∴z====1+3i.共轭复数=1﹣3i.故选B. 3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x的值的个数为( )A.1B.2C.3D.4【考点】程序框图.【分析】根据题中程序框图的含义,得到分段函数y=,由此解关于x的方程f(x)=3,即可得到可输入的实数x值的个数.【解答】解根据题意,该框图的含义是当x≤2时,得到函数y=x2﹣1;当x>2时,得到函数y=log2x.因此,若输出结果为3时,
①若x≤2,得x2﹣1=3,解之得x=±2
②当x>2时,得y=log2x=3,得x=8因此,可输入的实数x值可能是2,﹣2或8,共3个数.故选C 4.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为2的正方形,其俯视图是一个正三角形,该三棱柱侧视图的面积为( )A.B.C.D.4【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由直观图知几何体为直三棱柱,根据正视图是一个边长为2的正方形,其俯视图是一个正三角形,得三棱柱的侧棱长为2,底面正三角形的边长为2,其侧视图为矩形,求出矩形的高与底边长,代入矩形的面积公式计算.【解答】解由直观图知几何体为直三棱柱,∵正视图是一个边长为2的正方形,其俯视图是一个正三角形,∴三棱柱的侧棱长为2,底面正三角形的边长为2;∴几何体的侧视图为矩形,且矩形的高为2,底边长为2×=.∴侧视图的面积为×2=2.故选A. 5.函数的图象大致为( )A.B.C.D.【考点】函数的图象与图象变化.【分析】利用函数的定义域排除A和B,利用函数的单调性排除C.【解答】解函数的定义域为>0,解得x<1,由此排除A和B;当x增大时,也增大,随着增大,即函数是增函数,由此排除C.故选D. 6.设0<a<b<1,则下列不等式成立的是( )A.a3>b3B.C.ab>1D.lg(b﹣a)<0【考点】不等关系与不等式.【分析】直接利用条件,通过不等式的基本性质判断A、B的正误;指数函数的性质判断C的正误;对数函数的性质判断D的正误;【解答】解因为0<a<b<1,由不等式的基本性质可知a3<b3,故A不正确;,所以B不正确;由指数函数的图形与性质可知ab<1,所以C不正确;由题意可知b﹣a∈(0,1),所以lg(b﹣a)<0,正确;故选D. 7.设m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,有以下四个命题
①②③④其中,真命题是( )A.
①④B.
②③C.
①③D.
②④【考点】命题的真假判断与应用;平面的基本性质及推论.【分析】对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证明一下即可.【解答】解对于
①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β,α∥γ,则β∥γ,正确对于
②面BD⊥面D1C,A1B1∥面BD,此时A1B1∥面D1C,不正确对应
③∵m∥β∴β内有一直线与m平行,而m⊥α,根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故正确对应
④m有可能在平面α内,故不正确,故选C 8.已知sin(α+)+sinα=﹣,﹣<α<0,则cos(α+)等于( )A.﹣B.﹣C.D.【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式,然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答.【解答】解∵sin(α+)+sinα=﹣,∴,∴,∴cos(α﹣)=,∴cos(α+)=cos[π+(α﹣)]=﹣cos(α﹣)=.故选C. 9.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(﹣)•(+﹣2)=0,则△ABC一定是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断;向量在几何中的应用.【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量,,用三角形的各边对应的向量表示,得到边的关系,得出三角形的形状【解答】解∵(﹣)•(+﹣2)=(﹣)•[(﹣)+(﹣)]=(﹣)•(+)=•(+)=(﹣)•(+)=||2﹣||2=0∴||=||,∴△ABC为等腰三角形.故答案为B 10.设定义域为R的函数f(x)=,若关于x的方程2f2(x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.C.(1,2)D.【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】题中原方程2f2(x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0有5个不同实数解,即要求对应于f(x)=某个常数有3个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图,由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根;再结合2f2(x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根,即可求出结论.【解答】解∵题中原方程2f2(x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0有且只有5个不同实数解,∴即要求对应于f(x)等于某个常数有3个不同实数解,∴故先根据题意作出f(x)的简图由图可知,只有当f(x)=a时,它有三个根.所以有1<a<2
①.再根据2f2(x)﹣(2a+3)f(x)+3a=0有两个不等实根,得△=(2a+3)2﹣4×2×3a>0⇒
②结合
①②得1<a<或a<2.故选D.
二、(填空5*5=25)11.计算定积分(x2+sinx)dx= .【考点】定积分.【分析】求出被积函数的原函数,再计算定积分的值.【解答】解由题意,定积分===.故答案为. 12.在等差数列{an}中,若a1+a5+a9=,则tan(a4+a6)= .【考点】等差数列的性质.【分析】由等差数列的性质可知,a1+a5+a9=3a5,可求a5,然后代入tan(a4+a6)=tan2a5可求【解答】解由等差数列的性质可知,a1+a5+a9=3a5=,∴a5=则tan(a4+a6)=tan2a5==故答案为 13.设z=x+y,其中x,y满足,若z的最大值为xx,则k的值为 1007 .【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,先求出最优解,利用数形结合即可得到结论.【解答】解作出不等式组对应的平面区域如图由z=x+y得y=﹣x+z,则直线截距最大时,z也最大.平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大为xx,即x+y=xx,由得,即A,∴k=1007,故答案为1007; 14.列∀x∈R,不等式log2(4﹣a)≤|x+3|+|x﹣1|成立,则实数a的取值范围是 [﹣12,4) .【考点】函数恒成立问题.【分析】根据不等式log2(4﹣a)≤|x+3|+|x﹣1|成立,只需求出y=|x+3|+|x﹣1|的最小值即可.【解答】解设f(x)=|x+3|+|x﹣1|,若当x≥1时,f(x)=x+3+x﹣1=2x+2∈[4,+∞),当﹣3<x<1时,f(x)=x+3﹣x+1=4,当x≤﹣3时,f(x)=﹣x﹣3﹣x+1=﹣2x﹣2∈[4,+∞),即,∴函数f(x)的最小值为4,要使不等式log2(4﹣a)≤|x+3|+|x﹣1|成立,log2(4﹣a)≤4成立,即0<4﹣a≤16,即﹣12≤a<4,故实数a的取值范围是[﹣12,4),故答案为[﹣12,4) 15.定义平面向量的一种运算⊗=||•||sin<,>,则下列命题
①⊗=⊗;
②λ(⊗)=(λ)⊗;
③(+)⊗=(⊗)+(⊗);
④若=(x1,y1),=(x2,y2),则⊗=|x1y2﹣x2y1|.其中真命题是
①④ (写出所有真命题的序号).【考点】命题的真假判断与应用.【分析】
①根据定义不难得出⊗=⊗是正确的;
②需对参数λ进行分类讨论,再依据定义即可判断其正确性;
③直接代入定义即可验证;
④根据给出的两向量的坐标,求出对应的模,运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值,则正弦值可求,最后直接代入定义即可.【解答】解
①由于⊗=||•||sin<,>,则⊗=||•||sin<,>=||•||sin<,>=⊗,故
①正确;
②由于⊗=||•||sin<,>,当λ>0时,λ(⊗)=λ||•||sin<,>,()⊗=||•||sin<,>=λ||•||sin<,>=λ||•||sin<,>,故λ(⊗)=(λ)⊗当λ=0时,λ(⊗)=0=(λ)⊗,故λ(⊗)=(λ)⊗当λ<0时,λ(⊗)=λ||•||sin<,>(λ)⊗=|λ|•||sin<λ,>=﹣λ||•||sin<λ,>=﹣λ||•||×sin(π﹣<,>)=﹣λ||•||sin<,>,故λ(⊗)≠(λ)⊗故
②不正确;
③显然(+)⊗=(⊗)+(⊗)不正确;
④令=(x1,y1),=(x2,y2),则,则=,即有⊗==|x1y2﹣x2y1|,故
④正确故答案为
①④.
三、(简答题,共6小题)16.在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且a2=b2+c2+bc(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若sinB+sinC=1,试求内角B、C的大小.【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数.【分析】(Ⅰ)由a2=b2+c2+bc,利用余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,求得cosA的值,即可求得A的大小.(Ⅱ)由A的值求得B+C的值,利用两角和差的正弦公式求得sin(B+)=1,从而求得B+的值,求得B的值,进而求得C的大小.【解答】解(Ⅰ)∵a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,故cosA=,A=120°.(Ⅱ)∴B+C=,∵sinB+sinC=1,∴,∴,∴=1.又∵B为三角形内角,∴B+=,故B=C=. 17.已知函数.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值,并求出相应的x的值.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.【分析】
(1)利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f(x),然后直接由周期公式求周期;
(2)通过函数的图象的平移求解函数g(x)的解析式为g(x)=,由x的范围求出的范围,从而求得函数g(x)的最值,并得到相应的x的值.【解答】解
(1)由,得==.∴f(x)的最小正周期为π;
(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,∴=.∵x∈[0,)时,,∴当,即时,g(x)取得最大值2;当,即x=0时,g(x)取得最小值. 18.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值.【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.【分析】
(1)法一连接AC,设AC与BD交于O点,连接EO.由底面ABCD是正方形,知OE∥PA由此能够证明PA∥平面BDE.法二以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则,设是平面BDE的一个法向量,由向量法能够证明PA∥平面BDE.
(2)由
(1)知是平面BDE的一个法向量,又是平面DEC的一个法向量.由向量法能够求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值.【解答】
(1)解法一连接AC,设AC与BD交于O点,连接EO.∵底面ABCD是正方形,∴O为AC的中点,又E为PC的中点,∴OE∥PA,∵OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE.解法二以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0).∴,设是平面BDE的一个法向量,则由,得,∴.∵,∴,又PA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE.
(2)由
(1)知是平面BDE的一个法向量,又是平面DEC的一个法向量.设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ,由题意可知.∴. 19.等差数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=.
(1)求an与bn;
(2)证明≤++…+<.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.【分析】
(1)利用b2+S2=12和数列{bn}的公比q=,即可列出方程组求的q、a2的值,进而获得问题的解答;
(2)首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和,然后利用叠加法即可获得问题的解答.【解答】
(1)解由已知等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,{bn}的公比q=.∴q+3+a2=12,q=∴q=3或q=﹣4(舍去),∴a2=6∴an=3+(n﹣1)3=3n,bn=3n﹣1;
(2)证明∵Sn=,∴∴++…+=(1﹣+﹣…+﹣)=∵n≥1,∴0<≤∴≤<∴≤++…+<. 20.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任何正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为Kn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,求数列{bn}的前n项和Tn.【考点】数列与函数的综合.【分析】
(1)根据题中已知条件,先求出数列{an}的前n项和Sn的表达式,进而求得数列{an}的通项公式;
(2)根据题中条件求出Kn的表达式,结合前面求得的数列{an}的通项公式,即可求得数列{bn}的通项公式,进而可以求出数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解
(1)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,∴Sn=n2+2n(n∈N*).…当n=1时,a1=S1=1+2=3;当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2n+1
①当n=1时,a1=3也满足
①式.∴数列{an}的通项公式为an=2n+1.…
(2)由f(x)=x2+2x求导可得f′(x)=2x+2.∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为Kn,∴Kn=2n+2.…,∴bn=22n+2(2n+1)=4(2n+1)•4n,∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4(2n+1)•4n
①由
①×4得∴4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4(2n+1)•4n+1
②①﹣
②得﹣3Tn=4×(3×4+2×42+2×43+…+2×4n﹣(2n+1)4n+1)=4×(12+2×﹣(2n+1)4n+1)=所以Tn=… 21.已知函数f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex(其中a∈R).(Ⅰ)若x=0为f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式f(x)>(x﹣1)(+x+1);(Ⅲ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求实数a的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.【分析】
(1)利用导数求极值,由x=0为f(x)的极值点得,f′
(0)=ae0=0,即得a的值;
(2)由不等式得,(x﹣1)[ex﹣(x2+x+1)]>0,利用导数判断函数g(x)=)ex﹣(x2+x+1)的单调性,进而得证;
(3)由导数与函数单调性的关系,通过讨论求得a的范围.【解答】解(Ⅰ)因为f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex所以f′(x)=[2ax+(a﹣1)2]ex+[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex=[ax2+(a2+1)x+a]ex﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为x=0为f(x)的极值点,所以由f′
(0)=ae0=0,解得a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣检验,当a=0时,f′(x)=xex,当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,所以x=0为f(x)的极值点,故a=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)当a=0时,不等式不等式⇔(x﹣1)ex>(x﹣1)(x2+x+1),整理得(x﹣1)[ex﹣(x2+x+1)]>0,即或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令g(x)=)ex﹣(x2+x+1),h(x)=g′(x)=ex﹣(x+1),h′(x)=ex﹣1,当x>0时,h′(x)=ex﹣1>0,当x<0时,h′(x)=ex﹣1<0,所以h(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,所以h(x)>h
(0)=0,即g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,而g
(0)=0;故ex﹣(x2+x+1)>0⇔x>0;ex﹣(x2+x+1)<0⇔x<0,所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1};﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅲ)当a≥0时,f′(x)=[ax2+(a2+1)x+a]ex,因为x∈(1,2),所以f′(x)>0,所以f(x)在(1,2)上是增函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a<0时,f′(x)=a(x+a)(x+)•ex,x∈(1,2)时,f(x)是增函数,f′(x)>0.
①若a<﹣1,则f′(x)=a(x+a)(x+)•ex>0⇒x∈(﹣,﹣a),由(1,2)⊆(﹣,﹣a)得a≤﹣2;
②若﹣1<a<0,则f′(x)=a(x+a)(x+)•ex>0⇒x∈(﹣a,﹣),由(1,2)⊆(﹣a,﹣)得﹣≤a<0.
③若a=﹣1,f′(x)=﹣(x﹣1)2•ex≤0,不合题意,舍去.综上可得,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[﹣,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ xx年6月6日。