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2019-2020年高三上学期第二次月考数学试卷(理科)含解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.设集合A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则A∩B= . 2.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= . 3.已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(﹣4)= . 4.函数y=的定义域是 . 5.函数y=x+,x∈[2,5]的值域为 . 6.将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线x=对称,则φ的最小正值为 . 7.若函数f(x)=的图象关于原点对称,则a= . 8.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是 . 9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f
(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是 . 10.若方程2|x|=9﹣x2在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解,则所有满足条件的实数k值的和为 . 11.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(﹣a)= . 12.已知函数f(x)=(a为常数)的图象在点A(1,0)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是 . 13.对于定义域内的任意实数x,函数f(x)=的值恒为正数,则实数a的取值范围是 . 14.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R有f(﹣x)+f(x)=x2,且在(0,+∞)上f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,则实数a的取值范围 . 二.解答题本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知四边形ABCD是矩形,AB=,BC=,将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C,且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上,如图所示.
(1)求证AB1⊥平面B1CD;
(2)求三棱锥B1﹣ABC的体积VB1﹣ABC. 16.已知函数.
(1)设,且,求θ的值;
(2)在△ABC中,AB=1,,且△ABC的面积为,求sinA+sinB的值. 17.已知函数在x=1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
(3)若P(x0,y0)为图象上任意一点,直线l与的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围. 18.某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位千元)与市场供应量p(单位万件)之间近似满足关系式p=,其中k,b均为常数.当关税税率为75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量均为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k、b的值;
(2)市场需求量q(单位万件)与市场价格x近似满足关系式q=2﹣x.p=q时,市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值. 19.设函数f(x)=x2﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.
(1)对于任意a∈[﹣2,2]都有f(x)>g(x)成立,求x的取值范围;
(2)当a>0时对任意x1,x2∈[﹣3,﹣1]恒有f(x1)>﹣ag(x2),求实数a的取值范围;
(3)若存在x0∈R,使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,求实数a的取值范围. 20.设a是实数,函数f(x)=ax2+(a+1)x﹣2lnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=2时,过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切点的横坐标;
(3)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l y=h(x),当x≠x0时,若<0在D内恒成立,则称点P为函数y=g(x)的“巧点”.当a=﹣时,试问函数y=f(x)是否存在“巧点”?若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说明理由. 二.数学加试试卷解答题(共1小题,每小题10分共40分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(矩阵与变换选做题)21.设矩阵A=,矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=,属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=,求ad﹣bc的值. (坐标系与参数方程选做题)22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A,B分别在曲线C1(θ为参数)和曲线C2ρ=1上,求线段AB的最小值. 四.解答题23.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3﹣3x2+2x﹣2,请解答下列问题
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(2)求证f(x)的图象关于“拐点”A对称. 24.已知函数f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex(其中a∈R).若x=0为f(x)的极值点.解不等式f(x)>(x﹣1)(x2+x+1). xx学年江苏省淮安市涟水一中高三(上)第二次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.设集合A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N},则A∩B= {1} .考点交集及其运算.专题集合.分析求出B中不等式解集的自然数解确定出B,找出A与B的交集即可.解答解∵A={x|﹣1<x<2},B={x|0<x<4,x∈N}={1,2,3},∴A∩B={1}.故答案为{1}点评此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= ﹣6 .考点带绝对值的函数;函数单调性的性质.专题计算题.分析根据函数f(x)=|2x+a|关于直线对称,单调递增区间是[3,+∞),可建立方程,即可求得a的值.解答解∵函数f(x)=|2x+a|关于直线对称,单调递增区间是[3,+∞),∴∴a=﹣6故答案为﹣6点评本题考查绝对值函数,考查函数的单调性,解题的关键是确定函数的对称轴,属于基础题. 3.已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(﹣4)= ﹣2 .考点函数的值.专题函数的性质及应用.分析利用奇函数的性质即可得出f(﹣4)=﹣f
(4),再利用对数的运算法则即可得出.解答解∵f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,∴f(﹣4)=﹣f
(4)=﹣log24=﹣2.故答案为﹣2.点评熟练掌握奇函数的性质、对数的运算法则是解题的关键. 4.函数y=的定义域是 (﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) .考点函数的定义域及其求法.专题函数的性质及应用.分析根据函数成立的条件,即可得到结论.解答解要使函数f(x)有意义,则﹣8≥0,即≥8,则x2﹣2x≥3,即x2﹣2x﹣3≥0,解得x≥3或x≤﹣1,即函数的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)故答案为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)点评本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 5.函数y=x+,x∈[2,5]的值域为 [3,7] .考点函数的值域.专题函数的性质及应用.分析设t=,运用换元法转化为二次函数求解.解答解设t=,函数y=x+,x∈[2,5]y=t2+t+1,t∈[1,2]可判断为递增函数,t=1,时,y=3.t=2时,y=7.故答案为[3,7].点评本题考查了二次函数闭区间上的值域求解问题. 6.将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线x=对称,则φ的最小正值为 .考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题三角函数的图像与性质.分析根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式f(x)=2sin(4x﹣2φ+),再根据三角函数的性质,当x=时函数取得最值,列出关于φ的不等式,讨论求解即可.解答解将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移φ个单位所得图象的解析式f(x)=2sin[2(x﹣φ)+]=2sin(2x﹣2φ+),再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍所得图象的解析式f(x)=2sin(4x﹣2φ+)因为所得图象关于直线x=对称,所以当x=时函数取得最值,所以4×﹣2φ+=kπ+,k∈Z整理得出φ=﹣+,k∈Z当k=0时,φ取得最小正值为π.故答案为.点评本题考查三角函数图象的变换规律,三角函数的图象与性质.在三角函数图象的平移变换中注意是对单个的x或y来运作的,如本题中,向右平移φ个单位后相位应变为2(x﹣φ)+,而非2x﹣φ+. 7.若函数f(x)=的图象关于原点对称,则a= ﹣\frac{1}{2} .考点函数的图象.专题函数的性质及应用.分析根据奇函数的图象的性质,可以函数f(x)图象关于原点对称,即f(x)为奇函数.解答解∵函数f(x)=的图象关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),∴=﹣,∴(﹣2x+1)(﹣x+a)=(2x+1)(x+a)解得,a=﹣,故答案为点评本题主要考查了奇函数的图象和性质,属于基础题. 8.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是 (﹣7,3) .考点函数单调性的性质;一元二次不等式的解法.专题压轴题;不等式的解法及应用.分析由偶函数性质得f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可变为f(|x+2|)<5,代入已知表达式可表示出不等式,先解出|x+2|的范围,再求x范围即可.解答解因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,即|x+2|2﹣4|x+2|<5,(|x+2|+1)(|x+2|﹣5)<0,所以|x+2|<5,解得﹣7<x<3,所以不等式f(x+2)<5的解集是(﹣7,3).故答案为(﹣7,3).点评本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法,借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键. 9.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式f
(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是 (0,)∪(5,+∞) .考点函数奇偶性的性质.专题函数的性质及应用.分析根据函数是偶函数,把不等式转化成f
(1)<f(|lg(2x)|),就可以利用函数在区间[0,+∞)上单调递增转化成一般的不等式进行求解.解答解∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴f
(1)<f(lg(2x))=f(|lg(2x)|)∵函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴|lg(2x)|>1,即lg(2x)>1或lg(2x)<﹣1解得x>5或0<x<所以满足不等式f
(1)<f(lg(2x))的x的取值范围是(0,)∪(5,+∞).故答案为(0,)∪(5,+∞).点评本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式,解题的关键是利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,还要注意函数的定义域. 10.若方程2|x|=9﹣x2在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解,则所有满足条件的实数k值的和为 ﹣1 .考点根的存在性及根的个数判断.专题计算题;作图题;函数的性质及应用.分析将方程的根化为f(x)=2|x|与g(x)=9﹣x2在区间(k,k+1)(k∈Z)上有交点,作出图象,由图可得k的值.解答解方程2|x|=9﹣x2在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解可化为f(x)=2|x|与g(x)=9﹣x2在区间(k,k+1)(k∈Z)上有交点,作两个函数的简图如下则它们的交点在区间(﹣3,﹣2),(2,3)之间,故k=﹣3,2;故答案为﹣1.点评本题考查了方程的解与函数的零点之间的关系,属于基础题. 11.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(﹣a)= .考点函数的值.专题函数的性质及应用.分析根据函数的奇偶性,即可得到结论.解答解f(x)==1+,则f(x)﹣1=是奇函数,∴f(﹣a)﹣1=﹣[f(a)﹣1],即f(﹣a)=﹣f(a)+2=,故答案为点评本题主要考查函数值的计算,根据条件构造奇函数是解决本题的关键. 12.已知函数f(x)=(a为常数)的图象在点A(1,0)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是 (﹣3,) .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析利用导数的几何意义求出切线方程,利用分段函数与切线有三个不同的交点,得到当x<1时,切线和二次函数有两个不同的交点,利用数形结合,即可求得a的取值范围.解答解当x≥1,函数f(x)的导数,f(x)=,则f
(1)=1,则在A(1,0)处的切线方程为y﹣0=(x﹣1),即y=x﹣1.当x≥1时,切线和函数f(x)=lnx有2个交点,∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则当x<1时,函数f(x)=x2+2x+a=x﹣1,有2个交点,即x2+x=﹣a﹣1在x<1时,有2个不同的根,设g(x)=x2+x,则g(x)=(x+)2﹣,∵x<1,∴当x=时,g(x)=﹣,当x=1时,g(x)=2,要使x2+x=﹣a﹣1在x<1时,有2个不同的根,则满足﹣<﹣a﹣1<2,即﹣3<a<,∴实数a的取值范围是(﹣3,),故答案为(﹣3,)点评本题主要考查导数的几何意义,以及函数交点问题,利用二次函数的性质是解决本题的关键.考查学生分析问题的能力,综合性较强. 13.对于定义域内的任意实数x,函数f(x)=的值恒为正数,则实数a的取值范围是 ﹣7<a≤0或a=2 .考点函数恒成立问题.专题函数的性质及应用.分析题目给出的函数是分式函数,且分子分母均为二次三项式,对应的函数均开口向上,所以分分子分母对应的方程同解和不同解讨论,同解时利用系数相等求a的值,不同解时,若a≠0,则需分子分母对应的方程均无解,a=0时,在定义域内函数值恒大于0.解答解给出的函数分子分母都是二次三项式,对应的图象都是开口向上的抛物线,若分子分母对应的方程是同解方程,则,解得a=2.此时函数的值为f(x)=>0.若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证对于定义域内的任意实数x,函数值均为正,则需要分子分母的判别式均小于0,即,解得﹣7<a<0.∴a的范围是﹣7<a<0.当a=0时,函数化为f(x)=,函数定义域为{x|x≠0},分母恒大于0,分子的判别式小于0,分子恒大于0,函数值恒正.综上,对于定义域内的任意实数x,函数值均为正,则实数a的取值范围是﹣7<a≤0或a=2.故答案为﹣7<a≤0或a=2.点评本题考查恒成立问题,考查了利用函数值的范围求解参数的取值范围,解答此题的关键是由函数值恒为正得到分子分母的取值情况,属中档题. 14.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R有f(﹣x)+f(x)=x2,且在(0,+∞)上f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,则实数a的取值范围 (﹣∞,1] .考点利用导数研究函数的单调性;导数的运算.专题计算题;导数的综合应用.分析令g(x)=f(x)﹣x2,由g(﹣x)+g(x)=0,可得函数g(x)为奇函数.利用导数可得函数g(x)在R上是增函数,f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,即g(2﹣a)≥g(a),可得2﹣a≥a,由此解得a的范围.解答解令g(x)=f(x)﹣x2,∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣x2+f(x)﹣x2=0,∴函数g(x)为奇函数.∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x>0,故函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,故函数g(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,由f
(0)=0,可得g(x)在R上是增函数.f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,等价于f(2﹣a)﹣≥f(a)﹣,即g(2﹣a)≥g(a),∴2﹣a≥a,解得a≤1,故答案为(﹣∞,1].点评本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题. 二.解答题本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知四边形ABCD是矩形,AB=,BC=,将△ABC沿着对角线AC折起来得到△AB1C,且顶点B1在平面AB=CD上射影O恰落在边AD上,如图所示.
(1)求证AB1⊥平面B1CD;
(2)求三棱锥B1﹣ABC的体积VB1﹣ABC.考点棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.专题计算题;空间位置关系与距离.分析
(1)利用线面垂直的判定,AB1⊥CD,又AB1⊥B1C,且B1C∩CD=C∴AB1⊥平面B1CD;
(2)AB1⊥平面B1CD,AB1即棱锥的高,后算出底面ABC的面积,代人棱锥体积公式计算.解答解
(1)B1O⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴B1O⊥CD,又CD⊥AD,AD∩B1O=O∴CD⊥平面AB1D,又AB1⊂平面AB1D∴AB1⊥CD,又AB1⊥B1C,且B1C∩CD=C∴AB1⊥平面B1CD;…(6分)
(2)由于AB1⊥平面B1CD,B1D⊂平面ABCD,∴AB1⊥B1D,在Rt△AB1D中,B1D==2,又由B1O•AD=AB1•B1D得,∴VB1﹣ABC=S△ABC•B1O=…12分点评本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,棱锥的体积,其中
(1)的关键是熟练掌握线面垂直,线面垂直及线线垂直的相互转化,
(2)的关键是判断出棱锥的高和底面面积. 16.已知函数.
(1)设,且,求θ的值;
(2)在△ABC中,AB=1,,且△ABC的面积为,求sinA+sinB的值.考点余弦定理;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数;正弦定理.专题计算题.分析
(1)利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得,f(x)=2cos(x+)+,由可得,cos(θ+)=,结合已知可求θ的值;
(2)由
(1)知由已知面积可得,从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求.解答解
(1)==.(3分)由得(5分)于是(k∈Z)因为所以(7分)
(2)因为C∈(0,π),由
(1)知.(9分)因为△ABC的面积为,所以,于是.
①在△ABC中,设内角A、B的对边分别是a,b.由余弦定理得,所以a2+b2=7.
②由
①②可得或于是.(12分)由正弦定理得,所以.(14分)点评
(1)考查了二倍角公式的变形形式的应用,辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数,进而可以研究三角函数的性
(2)考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用. 17.已知函数在x=1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
(3)若P(x0,y0)为图象上任意一点,直线l与的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.考点利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;直线的斜率.专题综合题;压轴题.分析
(1)由函数在x=1处取得极值2可得f(x)=2,f′
(1)=0求出a和b确定出f(x)即可;
(2)令f′(x)>0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可;
(3)找出直线l的斜率k=f′(x0),利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围.解答解
(1)因,而函数在x=1处取得极值2,所以⇒⇒所以;
(2)由
(1)知,如图,f(x)的单调增区间是[﹣1,1],所以,⇒﹣1<m≤0,所以当m∈(﹣1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
(3)由条件知,过f(x)的图形上一点P的切线l的斜率k为=令,则t∈(0,1],此时,根据二次函数的图象性质知当时,kmin=,当t=1时,kmax=4所以,直线l的斜率k的取值范围是.点评考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及直线斜率的求法. 18.某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位千元)与市场供应量p(单位万件)之间近似满足关系式p=,其中k,b均为常数.当关税税率为75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量均为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k、b的值;
(2)市场需求量q(单位万件)与市场价格x近似满足关系式q=2﹣x.p=q时,市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.考点函数模型的选择与应用.专题应用题;综合题.分析
(1)根据“关系式p=2(1﹣kt)(x﹣b)2,及市场价格为5千元,则市场供应量均为1万件;市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件”,可得到从而求得结果.
(2)当p=q时,可得2(1﹣t)(x﹣5)2=2﹣x,可求得t=1+=1+,由双勾函数f(x)=x+在(0,4]上单调递减,可知当x=4时,f(x)有最小值.解答解
(1)由已知可得,∴,解得b=5,k=1
(2)当p=q时,2(1﹣t)(x﹣5)2=2﹣x∴(1﹣t)(x﹣5)2=﹣x⇒t=1+=1+,而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,∴当x=4时,f(x)有最小值,此时t=1+取得最大值5;故当x=4时,关税税率的最大值为500%点评本题主要考查函数模型的应用,考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法. 19.设函数f(x)=x2﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.
(1)对于任意a∈[﹣2,2]都有f(x)>g(x)成立,求x的取值范围;
(2)当a>0时对任意x1,x2∈[﹣3,﹣1]恒有f(x1)>﹣ag(x2),求实数a的取值范围;
(3)若存在x0∈R,使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,求实数a的取值范围.考点二次函数的性质.专题函数的性质及应用.分析
(1)由题意可得,(﹣2x+3)a+x2+3>0对于任意a∈[﹣2,2]恒成立.设h(a)=(﹣2x+3)a+x2+3,则有,解不等式组可得x的范围.
(2)由题意可知在区间[﹣3,﹣1]上,[f(x)]min>[﹣ag(x)]max.利用二次函数的单调性求得f(x)min和[﹣ag(x)]max的值,解不等式求得a的范围.
(3)分a=
0、a<
0、a>0三种情况,分别由条件求得a的范围,再取并集,即得所求.解答解
(1)因为对于任意a∈[﹣2,2]都有f(x)>g(x)成立,都有x2﹣ax+a+3>ax﹣2a,即(﹣2x+3)a+x2+3>0对于任意a∈[﹣2,2]恒成立.设h(a)=(﹣2x+3)a+x2+3,则有,解不等式组可得,或.
(2)由题意可知在区间[﹣3,﹣1]上,[f(x)]min>[﹣ag(x)]max.因为f(x)=x2﹣ax+a+3的图象的对称轴,所以f(x)=x2﹣ax+a+3在[﹣3,﹣1]上单调递减,可得f(x)min=f(﹣1)=2a+4.因为﹣ag(x)=﹣a2x+2a2在[﹣3,﹣1]上单调递减,可得,所以2a+4>5a2,可得.
(3)若a=0,则g(x)=0,不合题意,舍去.若a<0,由g(x)<0可得x>2.原题可转化为在区间(2,+∞)上存在x0,使得f(x0)<0.因为f(x)=x2﹣ax+a+3在上单调递增,所以f
(2)<0,可得a>7,又因为a<0,不合题意.若a>0,由g(x)<0可得x<2,原题可转化为在区间(﹣∞,2)上若存在x0,使得f(x0)<0.当时,即a>4时,f
(2)=7﹣a<0,可得a>7;当时,即0<a<4时,,可得a>6或a<﹣2.综上可知a>7.点评本题主要考查二次函数的性质的应用,函数的恒成立问题,体现了分类讨论、转化的数学思想,属中档题. 20.设a是实数,函数f(x)=ax2+(a+1)x﹣2lnx.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a=2时,过原点O作曲线y=f(x)的切线,求切点的横坐标;
(3)设定义在D上的函数y=g(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为l y=h(x),当x≠x0时,若<0在D内恒成立,则称点P为函数y=g(x)的“巧点”.当a=﹣时,试问函数y=f(x)是否存在“巧点”?若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说明理由.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.专题综合题;导数的综合应用.分析
(1)求导数,利用导数的正负,可得函数f(x)的单调区间;
(2)设切点,可得切线的斜率k=4m+3﹣,利用直线OM的斜率为,建立方程,即可求切点的横坐标;
(3)分类讨论,根据“巧点”的定义结合函数的单调性,即可得出结论.解答解
(1)当a=1时,f′(x)=(x>0),…(1分)由f′(x)>0得x>;由f′(x)<0得0<x<.…(2分)所以,f(x)的单调增区间为(,+∞),单调减区间为(0,).…(3分)
(2)当a=2时,设切点为M(m,n).f′(x)=4x+3﹣(x>0),所以,切线的斜率k=4m+3﹣.又直线OM的斜率为,…(5分)所以,4m+3﹣=,即m2+lnm﹣1=0,又函数y=m2+lnm﹣1在(0,+∞)上递增,且m=1是一根,所以是唯一根,所以,切点横坐标为1.…(7分)
(3)a=﹣时,由函数y=f(x)在其图象上一点P(x0,y0)处的切线方程为y=(﹣x0+﹣)(x﹣x0)﹣x02+x0﹣2lnx0.…(8分)令h(x)=(﹣x0+﹣)(x﹣x0)﹣x02+x0﹣2lnx0,设F(x)=f(x)﹣h(x),则F(x0)=0.且F′(x)=f′(x)﹣h′(x)=﹣x+﹣﹣(﹣x0+﹣)=﹣(x﹣x0)﹣(﹣)=﹣(x﹣x0)(x﹣)…(10分)当0<x0<2时,>x0,F(x)在(x0,)上单调递增,从而有F(x)>F(x0)=0,所以,>0;当x0>2时,<x0,F(x)在(,x0)上单调递增,从而有F(x)<F(x0)=0,所以,>0.因此,y=f(x)在(0,2)和(2,+∞)上不存在“巧点”.…(13分)当x0=2时,F′(x)=﹣≤0,所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递减.所以,x>2时,F(x)<F
(2)=0,<0;0<x<2时,F(x)>F
(2)=0,<0.因此,点(2,f
(2))为“巧点”,其横坐标为2.…(16分)点评正确理解导数的几何意义、“巧点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键. 二.数学加试试卷解答题(共1小题,每小题10分共40分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(矩阵与变换选做题)21.设矩阵A=,矩阵A属于特征值λ1=﹣1的一个特征向量为α1=,属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=,求ad﹣bc的值.考点特征值、特征向量的应用.专题矩阵和变换.分析根据特征值、特征向量的定义可知Aα=λα,利用待定系数法列出四个等式关系,解二元一次方程组即可求出a、b、c、d的值,进而求出ad﹣bc的值.解答解由特征值、特征向量定义可知,Aα1=λ1α1,即=,可得…
①;同理可得,即…
②;由
①②,解得a=2,b=3,c=2,d=1,因此ad﹣bc=2﹣6=﹣4,即ad﹣bc的值为﹣4.点评本题主要考查了二阶矩阵、矩阵的特征值与特征向量的计算等基础知识,属于基础题. (坐标系与参数方程选做题)22.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A,B分别在曲线C1(θ为参数)和曲线C2ρ=1上,求线段AB的最小值.考点圆的参数方程.专题坐标系和参数方程.分析由条件把极坐标方程化为直角坐标方程,求出两个圆的圆心和半径,再求出两圆的圆心距,可得AB的最小值解答解将曲线C1的参数θ消去可得(x﹣3)2+(y﹣4)2=1.将曲线C2ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1.曲线C1是以(3,4)为圆心,1为半径的圆;曲线C2是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,求得两圆圆心距为=5,可得AB的最小值为5﹣1﹣1=3.点评本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,圆和圆的位置关系,属于基础题. 四.解答题23.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义设f″(x)是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的导数,若f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3﹣3x2+2x﹣2,请解答下列问题
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标;
(2)求证f(x)的图象关于“拐点”A对称.考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析
(1)根据“拐点”的定义求出f(x)=0的根,然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标.
(2)设出点的坐标,根据中心对称的定义即可证明.解答解
(1)∵f(x)=3x2﹣6x+2,∴f(x)=6x﹣6,令f(x)=6x﹣6=0,得x=1,f
(1)=﹣2所以“拐点”A的坐标为(1,﹣2)
(2)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点,则∴P(x0,y0)关于(1,﹣2)的对称点P(2﹣x0,﹣4﹣y0),把P(2﹣x0,﹣4﹣y0)代入y=f(x),得左边=右边=∴左边=右边,∴P(2﹣x0,﹣4﹣y0)在y=f(x)图象上,∴f(x)的图象关于“拐点”A对称.点评本题考查一阶导数、二阶导数的求法,函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件. 24.已知函数f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex(其中a∈R).若x=0为f(x)的极值点.解不等式f(x)>(x﹣1)(x2+x+1).考点利用导数研究函数的极值.专题导数的综合应用.分析由于x=0为f(x)的极值点,可得f′
(0)=0,得到a=0.当a=0时,f(x)>(x﹣1)(x2+x+1)⇔(x﹣1)•ex>,整理得(x﹣1)>0.令g(x)=ex﹣,利用导数研究其单调性极值即可得出.解答解∵函数f(x)=[ax2+(a﹣1)2x+a﹣(a﹣1)2]ex,∴f′(x)=[ax2+(a2+1)x+a]ex,∵x=0为f(x)的极值点,∴f′
(0)=ae0=0,解得a=0.检验,当a=0时,f′(x)=xex,当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0.∴x=0为f(x)的极值点,故a=0.当a=0时,f(x)>(x﹣1)(x2+x+1)⇔(x﹣1)•ex>,整理得(x﹣1)>0,即或令g(x)=ex﹣,h(x)=g′(x)=ex﹣(x+1),h′(x)=ex﹣1,当x>0时h′(x)=ex﹣1>0;当x<0时,h′(x)<0.∴h(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴h(x)>h
(0)=0.即g′(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,g
(0)=0.故>0⇔x>0;<0⇔x<0.∴原不等式的解集为{x|x<0或x>1}.点评本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了利用单调性解不等式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 。