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2019-2020年高三上学期第四次月考数学试卷(文科)含解析
一、选择题(本题包括10小题,每小题5分,共50分,每小题只有一个选项符合题意)1.已知全集U=R,集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|y=lg(x﹣1)},则(∁UA)∩B等于( )A.{x|x>2或x<0}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|1<x≤2}2.已知向量,若与平行,则实数x的值是( )A.﹣2B.0C.1D.23.已知α为第四象限角.sinα+cosα=,则cos2α=( )A.﹣B.﹣C.D.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当Sn取最小值时,n等于( )A.6B.7C.8D.95.过原点作曲线y=lnx的切线,则切线斜率为( )A.e2B.C.eD.6.设命题甲ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题乙0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件7.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,可以将函数y=cos2x图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位8.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )A.B.4C.D.29.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.f(﹣25)<f
(11)<f
(80)B.f
(80)<f
(11)<f(﹣25)C.f
(11)<f
(80)<f(﹣25)D.f(﹣25)<f
(80)<f
(11)10.函数f(x)=x3﹣3x2﹣9x+3,若函数g(x)=f(x)﹣m,在x∈[﹣2,5]上有3个零点,则m的取值范围为( )A.[1,8]B.(﹣24,1]C.[1,8)D.(﹣24,8)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .12.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .13.若在区间[0,4]上任取一个数m,则函数f(x)=x3﹣x2+mx在R上是单调增函数的概率是 .14.若变量x,y满足,则的最大值为 .15.f(x)是定义在[﹣2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1﹣m)<f(m)成立,求实数m的取值范围 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.已知||=4,||=8,与的夹角是120°.
(1)计算|+|,|4﹣2|;
(2)当k为何值时,(+2)⊥(k﹣)?17.某超市在一次促销活动中,设计一则游戏一袋中装有除颜色完全相同的2各红球和4个黑球.规定从袋中一次模一球,获二等奖;从袋中一次摸两球,得一红,一黑球或三等奖,得两红球获一等奖,每人只能摸一次,且其他情况没有奖.(Ⅰ)求某人一次只摸一球,获奖的概率;(Ⅱ)求某人一次摸两球,获奖的概率.18.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且bcosC+ccosB=2acosB.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若函数f(x)=sin(2x+B)+sin(2x﹣B)+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.19.已知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,求数列{bn}的前n项和Tn.20.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.
(1)求证直线AB1∥平面BC1D;
(2)求证平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.21.设函数f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数;(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围. xx学年山东省德州市武城二中高三(上)第四次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题(本题包括10小题,每小题5分,共50分,每小题只有一个选项符合题意)1.已知全集U=R,集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|y=lg(x﹣1)},则(∁UA)∩B等于( )A.{x|x>2或x<0}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.{x|1<x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出集合A中的一元二次不等式的解集,确定出集合A,由全集R,求出集合A的补集,然后求出集合B中对数函数的定义域确定出集合B,求出集合A补集与集合B的交集即可.【解答】解由集合A中的不等式x2﹣2x>0,因式分解得x(x﹣2)>0,解得x>2或x<0,所以集合A={x|x>2或x<0},又全集U=R,∴CuA={x|0≤x≤2},又根据集合B中的对数函数可得x﹣1>0,解得x>1,所以集合B={x|x>1},则(CuA)∩B={x|1<x≤2}.故选D 2.已知向量,若与平行,则实数x的值是( )A.﹣2B.0C.1D.2【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算.【分析】由题意分别可得向量与的坐标,由向量平行的充要条件可建立关于x的方程,解之即可.【解答】解由题意可得=(3,x+1),=(﹣1,1﹣x),因为与平行,所以3×(1﹣x)﹣(x+1)×(﹣1)=0,解得x=2故选D 3.已知α为第四象限角.sinα+cosα=,则cos2α=( )A.﹣B.﹣C.D.【考点】二倍角的余弦.【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=,再利用二倍角的余弦即可求得cos2α.【解答】解∵sinα+cosα=,
①∴两边平方得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=﹣<0,∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,cosα﹣sinα>0.∴cosα﹣sinα=,
②∴
①×
②可解得cos2α=.故选D. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=﹣11,a4+a6=﹣6,则当Sn取最小值时,n等于( )A.6B.7C.8D.9【考点】等差数列的前n项和.【分析】条件已提供了首项,故用“a1,d”法,再转化为关于n的二次函数解得.【解答】解设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2×(﹣11)+8d=﹣6,解得d=2,所以,所以当n=6时,Sn取最小值.故选A. 5.过原点作曲线y=lnx的切线,则切线斜率为( )A.e2B.C.eD.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设切点坐标为(a,lna),求函数的导数,可得切线的斜率,切线的方程,代入(0,0),求切点坐标,切线的斜率.【解答】解解设切点坐标为(a,lna),∵y=lnx,∴y′=,切线的斜率是,切线的方程为y﹣lna=(x﹣a),将(0,0)代入可得lna=1,∴a=e,∴切线的斜率是=;故选D. 6.设命题甲ax2+2ax+1>0的解集是实数集R;命题乙0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系,注意不等式恒成立问题的处理方法.【解答】解ax2+2ax+1>0的解集是实数集R
①a=0,则1>0恒成立
②a≠0,则,故0<a<1由
①②得0≤a<1.即命题甲⇔0≤a<1.因此甲推不出乙,而乙⇒甲,因此命题甲是命题乙成立的必要非充分条件.故选B. 7.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,可以将函数y=cos2x图象( )A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由和差角的公式化简可得y=cos2(x﹣),由三角函数图象变换的规则可得.【解答】解化简可得y=sin2x+cos2x=(sin2x+cos2x)=cos2(x﹣)∴只需将函数y=cos2x的图象向右平移个单位可得.故选B 8.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )A.B.4C.D.2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度,我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案.【解答】解由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知,底面两条对角线的长分别为2,2,底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2,则棱锥的高h==3故V==2故选C 9.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.f(﹣25)<f
(11)<f
(80)B.f
(80)<f
(11)<f(﹣25)C.f
(11)<f
(80)<f(﹣25)D.f(﹣25)<f
(80)<f
(11)【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可.【解答】解∵f(x﹣4)=﹣f(x),∴f(x﹣8)=﹣f(x﹣4)=f(x),即函数的周期是8,则f
(11)=f
(3)=﹣f(3﹣4)=﹣f(﹣1)=f
(1),f
(80)=f
(0),f(﹣25)=f(﹣1),∵f(x)是奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[﹣2,2]上是增函数,∴f(﹣1)<f
(0)<f
(1),即f(﹣25)<f
(80)<f
(11),故选D 10.函数f(x)=x3﹣3x2﹣9x+3,若函数g(x)=f(x)﹣m,在x∈[﹣2,5]上有3个零点,则m的取值范围为( )A.[1,8]B.(﹣24,1]C.[1,8)D.(﹣24,8)【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】利用导数的运算法则可得f′(x),列出表格即可得出函数f(x)的单调性极值与最值,再画出函数y=f(x)与y=m的图象,即可得出m的取值范围.【解答】解f′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x2﹣2x﹣3)=3(x﹣3)(x+1),令f′(x)=0,解得x=﹣2或3.其单调性如表格x[﹣2,﹣1)﹣1(﹣1,3)3(3,5]f′(x)+0﹣0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增可知当x=3时,函数f(x)取得极小值,f
(3)=33﹣3×32﹣9×3+3=﹣24,又f﹣2)=(﹣2)3﹣3×(﹣2)2﹣9×(﹣2)+3=1,可知最小值为f
(3),即﹣24.当x=﹣1时,函数f(x)取得极大值,f(﹣1)=(﹣1)3﹣3×(﹣1)2﹣9×(﹣1)+3=8,又f
(5)=53﹣3×52﹣9×5+3=8,可知函数f(x)的最大值为f
(5)或f(﹣1),即为8.画出图象y=f(x)与y=m.由图象可知当m∈(1,8)时,函数y=f(x)与y=m的图象由三个交点.因此当m∈(1,8)时,函数g(x)=f(x)﹣m在x∈[﹣2,5]上有3个零点.故选C.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .【考点】正弦定理.【分析】由正弦定理可求得sinB=,再由b<a,可得B为锐角,cosB=,运算求得结果.【解答】解由正弦定理可得=,∴sinB=,再由b<a,可得B为锐角,∴cosB==,故答案为. 12.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣y=0或x+y﹣3=0 .【考点】直线的两点式方程.【分析】分两种情况考虑,第一当所求直线与两坐标轴的截距不为0时,设出该直线的方程为x+y=a,把已知点坐标代入即可求出a的值,得到直线的方程;第二当所求直线与两坐标轴的截距为0时,设该直线的方程为y=kx,把已知点的坐标代入即可求出k的值,得到直线的方程,综上,得到所有满足题意的直线的方程.【解答】解
①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时,设该直线的方程为x+y=a,把(1,2)代入所设的方程得a=3,则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0;
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时,设该直线的方程为y=kx,把(1,2)代入所求的方程得k=2,则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0.综上,所求直线的方程为2x﹣y=0或x+y﹣3=0.故答案为2x﹣y=0或x+y﹣3=0 13.若在区间[0,4]上任取一个数m,则函数f(x)=x3﹣x2+mx在R上是单调增函数的概率是 .【考点】几何概型.【分析】由题意,本题属于几何概型的概率求法,由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的m的范围对应的区域长度,利用几何概型概率公式可求.【解答】解∵f(x)=x3﹣x2+mx,∴f′(x)=x2﹣2x+m,∴导函数为抛物线,开口向上,∵要使f(x)在R上单调,∴f(x)=x2﹣2x+m≥0在R上恒成立,即m≥﹣x2+2x在R上恒成立,∴m大于等于﹣x2+2x的最大值即可,∵﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1≤1,∴m≥1,∵m≤4,∴1≤m≤4,长度为3,∵区间[0,4]上任意取一个数m,长度为4,∴函数f(x)=x3﹣x2+mx是R上的单调函数的概率是.故答案为. 14.若变量x,y满足,则的最大值为 .【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,由的几何意义,即可行域内的动点与定点连线的斜率求得答案.【解答】解由约束条件,作出可行域如图,的几何意义为可行域内的动点(x,y)与定点P(2,﹣1)连线的斜率,∵.∴的最大值为﹣.故答案为. 15.f(x)是定义在[﹣2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1﹣m)<f(m)成立,求实数m的取值范围 ﹣1 .【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反,可得f(x)在[﹣2,0]上单调递增,故不等式f(1﹣m)<f(m)可化为,解得即得答案.【解答】解∵f(x)在[0,2]上单调递减,且f(x)是定义在[﹣2,2]上的偶函数,故f(x)在[﹣2,0]上单调递增,故不等式f(1﹣m)<f(m)可化为解得﹣1,即实数m的取值范围为﹣1故答案为﹣1
三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.已知||=4,||=8,与的夹角是120°.
(1)计算|+|,|4﹣2|;
(2)当k为何值时,(+2)⊥(k﹣)?【考点】平面向量数量积的运算.【分析】
(1)运用向量的数量积的定义和性质向量的平方即为模的平方,计算即可得到;
(2)运用向量垂直的条件数量积为0,解方程即可得到k.【解答】解
(1)||=4,||=8,与的夹角是120°,则=4×8×cos120°=﹣16,即有|+|====4,|4﹣2|====16;
(2)由(+2)⊥(k﹣)可得(+2)•(k﹣)=0,即k+(2k﹣1)﹣2=0,即16k﹣16(2k﹣1)﹣128=0,解得k=﹣7.则当k为﹣7时,(+2)⊥(k﹣). 17.某超市在一次促销活动中,设计一则游戏一袋中装有除颜色完全相同的2各红球和4个黑球.规定从袋中一次模一球,获二等奖;从袋中一次摸两球,得一红,一黑球或三等奖,得两红球获一等奖,每人只能摸一次,且其他情况没有奖.(Ⅰ)求某人一次只摸一球,获奖的概率;(Ⅱ)求某人一次摸两球,获奖的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】本题是一个古典概型,根据古典概型的概率公式求解即可.【解答】解(Ⅰ)因为六个球中共有2个红球,故某人一次摸一球获奖的概率是p=.(Ⅱ)将六个球分别记为a,b,c,d,m,n,其中m,n两个是红球,从这袋中任取两球取法有(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共15种,其中含红球的有9种,故求某人一次摸两球,获奖的概率是. 18.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且bcosC+ccosB=2acosB.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若函数f(x)=sin(2x+B)+sin(2x﹣B)+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosB,又sinA≠0,可得.从而可求B.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,化简函数解析式可得f(x)=sin(2x+),利用周期公式可求f(x)的最小正周期,由,利用正弦函数的图象和性质可求,从而得解.【解答】(本题满分为12分)解(Ⅰ)由∵bcosC+ccosB=2acosB,变为sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB.∴.∴(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以==…
(1)f(x)的最小正周期.…
(2)∵,∴,所以,…故.… 19.已知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足,求数列{bn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】
(1)利用递推关系与等差数列的通项公式可得an;
(2)利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解
(1)∵(n∈N+).∴当n=1时,4a1=,解得a1=1.当n≥2时,4an=4(Sn﹣Sn﹣1)=﹣,化为(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,∵数列{an}各项均为正数,∴an﹣an﹣1=2.∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为2.∴an=2n﹣1.
(2)=(2n﹣1)•2n﹣1.∴数列{bn}的前n项和Tn=1+3×2+5×22+…+(2n﹣1)•2n﹣1,∴2Tn=2+3×22+…+(2n﹣3)•2n﹣1+(2n﹣1)•2n,∴﹣Tn=1+2(2+22+…+2n﹣1)﹣(2n﹣1)•2n=﹣1﹣(2n﹣1)•2n=(3﹣2n)•2n﹣3,∴Tn=(2n﹣3)•2n+3. 20.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.
(1)求证直线AB1∥平面BC1D;
(2)求证平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【分析】
(1)连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.可得DO为△AB1C中位线,A1B∥OD,结合线面平行的判定定理,得A1B∥平面BC1D;
(2)由AA1⊥底面ABC,得AA1⊥BD.正三角形ABC中,中线BD⊥AC,结合线面垂直的判定定理,得BD⊥平面ACC1A1,最后由面面垂直的判定定理,证出平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)利用等体积转换,即可求三棱锥C﹣BC1D的体积.【解答】
(1)证明连接B1C交BC1于点O,连接OD,则点O为B1C的中点.∵D为AC中点,得DO为△AB1C中位线,∴A1B∥OD.∵OD⊂平面AB1C,A1B⊄平面BC1D,∴直线AB1∥平面BC1D;
(2)证明∵AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BD,∵底面ABC正三角形,D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面ACC1A1,∵BD⊂平面BC1D,∴平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)解由
(2)知,△ABC中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3,∴S△BCD==,∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=••6=9. 21.设函数f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数;(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数的零点.【分析】(Ⅰ)m=e时,f(x)=lnx+,利用f′(x)判定f(x)的增减性并求出f(x)的极小值;(Ⅱ)由函数g(x)=f′(x)﹣,令g(x)=0,求出m;设φ(x)=m,求出φ(x)的值域,讨论m的取值,对应g(x)的零点情况;(Ⅲ)由b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)﹣b<f(a)﹣a恒成立;即h(x)=f(x)﹣x在(0,+∞)上单调递减;h′(x)≤0,求出m的取值范围.【解答】解(Ⅰ)当m=e时,f(x)=lnx+,∴f′(x)=;∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数;当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数;∴x=e时,f(x)取得极小值为f(e)=lne+=2;(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)﹣=﹣﹣(x>0),令g(x)=0,得m=﹣x3+x(x>0);设φ(x)=﹣x3+x(x>0),∴φ′(x)=﹣x2+1=﹣(x﹣1)(x+1);当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数,当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数;∴x=1是φ(x)的极值点,且是极大值点,∴x=1是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ
(1)=;又φ
(0)=0,结合y=φ(x)的图象,如图;可知
①当m>时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;综上,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点;(Ⅲ)对任意b>a>0,<1恒成立,等价于f(b)﹣b<f(a)﹣a恒成立;设h(x)=f(x)﹣x=lnx+﹣x(x>0),则h(b)<h(a).∴h(x)在(0,+∞)上单调递减;∵h′(x)=﹣﹣1≤0在(0,+∞)上恒成立,∴m≥﹣x2+x=﹣+(x>0),∴m≥;对于m=,h′(x)=0仅在x=时成立;∴m的取值范围是[,+∞). xx年11月10日。