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2019-2020年高三上学期第四次月考文科数学试题Word版含答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )DA. B. C. D.2.已知为虚数单位,复数在复平面内对应的点位于( )AA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.“函数的减区间为”是“”的( )CA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为( )DA.B.C.D.5.已知曲线的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()AA.3B.2C.1D.6.已知两个不同的平面和两条不重合的直线m、n,有下列四个命题
①若,则;
②若则;
③若,则;
④若.其中正确命题的个数是( )DA.0B.1C.2D.37.设不等式组表示的平面区域为.在区域内随机取一个点,则此点到直线的距离大于2的概率是( )AA. B.C. D.8.已知函数(其中)的部分图象如右图所示,为了得到的图象,则只需将的图象( )AA.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位9.执行右侧的程序框图,输出的结果S的值为()CA.B.0C.D.10.已知“若点在双曲线上,则在点处的切线方程为”.现已知双曲线和点,过点作双曲线的两条切线,切点分别为,则直线过定点( )CA. B.C.D.11.已知点与点在直线的两侧,给出下列命题
①;
②时,有最小值,无最大值;
③存在正实数,使得恒成立;
④且,时则的取值范围是.其中正确的命题是()DA.
①②B.
②③C.
②④D.
③④12.已知偶函数是定义域为R,当时,.函数.若函数有且仅有6个零点,则实数的取值范围为( )BA.B.C.D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段[4050,[5060,…,
[90100]后得到频率分布直方图如图所示.则分数在[7080内的人数是_____.3014.已知的内角所对的边分别为,且,,,则的值为__________.15.如右图,设A、B、C、D为球O上四点,若AB、AC、AD两两互相垂直,且,,则球O的体积为.16.已知.平面区域D由所有满足的点组成.若区域D的面积为8,则的最小值为.9
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在等比数列中,2=4,.
(1)求;
(2)令,求数列的前n项和.【解析】
(1)设数列的公比,则,解得,; ……………6分
(2)由
(1)知,,即……………12分18.(本小题满分12分)为了了解学生的校园安全意识,某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查,问卷由三道选择题组成,每道题答对得5分,答错得0分,现将学生答卷得分的情况统计如下表已知被调查的所有女生的平均得分为
8.25分,现从所有答卷中抽取一份,抽到男生的答卷且得分是15分的概率为.
(1)求的值;
(2)现要从得分是15分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行消防知识培训,再从这6人中随机抽取2人参加消防知识竞赛,求所抽取的2人中至少有1名男生的概率.【解析】
(1)因为被调查的所有女生的平均得分为
8.25分,,解得,从所有答卷中抽取一份,共有结果种,,抽到男生且得分是15分的概率,解得,因此,;……………4分
(2)从得15分的学生中,用分层抽样方法抽取6人,则抽样比为,女生抽4人,记,男生抽2人,记为,现从这6人中随机抽取2人,则所有可能结果为,,,,,,,,,,,,,,共15种,设“取出的2人中至少有一名男生”为事件A,则A包含的基本事件有,,,,,,,,共9种,,因此所抽取的2人中至少有1名男生的概率为. ……………12分19.(本小题满分12分)如图1,由正四棱锥和正四棱柱所组成的几何体的三视图如图
2.
(1)求证平面;
(2)求点到平面的距离.【解析】
(1)如图,连接交于,并连接、.正四棱锥,,又由三视图知,,,,故,又易知且,四边形为平行四边形,,故,又,因此平面;……………6分
(2)由
(1)知,故点到平面的距离即为点到平面的距离,又易知平面平面,且平面平面,故过作,垂足为,则平面,即为点到平面的距离,又由已知,,,故,因此点到平面的距离为1. ……………12分20.(本小题满分12分)设点分别是的重心和外心,,,且.
(1)求点C的轨迹的方程;
(2)已知点,是否存在直线,使过点并与曲线交于两点,且为钝角.若存在,求出直线的斜率的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】
(1)设,则,的中点,又,则,又是的外心,所以,即,化简得,,即点C的轨迹的方程为 ……………5分
(2)假设存在满足条件的直线,并设其方程为,则联立消去得,则,设,则,,由为钝角,有,即 整理得,,解得或, ……………10分又当时,直线过点,而不在曲线上,此时直线与曲线只有一个交点,不符合题意,故舍去,因此,综上可知符合条件的直线存在,且其斜率的取值范围为或或.……………12分21.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求函数在区间的最值;(为自然对数的底数)
(2)如果函数的图象与轴交于两点且,求证.【解析】
(1)函数的定义域为,且求导得,则当时,,当时,,即在上单调递增,在单调递减,又,且因此,当时,取得最大值,当时,取得最小值 ……………………………5分
(2)方程有两个不等实根,则有,两式相减得,,又由已知,则即;因此,令,则,即函数在上递减,所以,当时,,即,因此,当时,成立,即成立.………………………12分请考生在
(22)、
(23)、
(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1几何证明选讲如图,∠BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于D和E,延长AC交过D、E、C三点的圆于点F.
(1)求证;
(2)若,,求的值.【解析】
(1)如图,连接CE,DF.∵AE平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE.∴∠EAF=∠EFD又∠AEF=∠FED,∴ΔAEF∽ΔFED,∴,∴ ……………5分
(2)由
(1)知,∵EF=3,AE=6,∴,∴ ……………………………………10分23.(本小题满分10分)选修4—4坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).取原点为极点,轴的非负半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C的形状;
(2)若直线经过点,点是曲线上任意一点,求点到直线的距离的最小值.【解析】
(1)曲线C直角坐标方程的直角方程为,∴曲线C是顶点为,焦点为的抛物线; ……………………5分
(2)直线的参数方程为(为参数),故直线过点;又若直线经过点,∴直线的普通方程为,由已知设,则点到直线的距离,所以当,即点时,取得最小值,因此点到直线的距离的最小值为.……………………10分24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数,.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若函数的图象恒在函数的图象的上方,求实数的取值范围.【解析】
(1)当时,不等式即为;
①当时,不等式即为,解得,此时;
②当时,不等式即为,即成立,此时;
③当时,不等式即为,解得,此时;因此,综上可知所求不等式的解集为; ………………………5分
(2)函数的图象恒在函数的图象的上方,故恒成立,即,令,则在上递减,在上递增,故当时,取得最小值,故,即当时,函数的图象恒在函数的图象的上方.………………………10分。