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2019-2020年高三上学期第四次月考试题数学(文)含解析本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,共10页时量120分钟满分150分第Ⅰ卷
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是A A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形【解析】由集合里元素的互异性可知选A.2已知命题p若ab,则a2b2;q“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件.则下列命题是真命题的是BAp∧qB綈p∧qC綈p∧綈qDp∧綈q【解析】命题p若ab,则a2b2,不正确,举反例取a=1,b=-2,不成立;q由x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,因此“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件,是真命题.∴p∧q,綈p∧綈q,p∧綈q,是假命题,綈p∧q是真命题,故选B.3已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=7,a6+a8=-6,则Sn取最大值时,n的值为CA3B4C5D6【解析】在等差数列{an}中,由a6+a8=-6,得2a7=-6,a7=-3又a2=7,∴d===-2,∴an=a2+n-2d=7-2n-2=11-2n.由an=11-2n0,得n,∵n∈N*,∴Sn取最大值时,n的值为
5.故选C.4函数y=的图象大致为B【解析】易得该函数为奇函数可排除A,C,当-1x0时y0,故选B.5过抛物线y2=2pxp0的焦点的直线交抛物线于A,B两点,且|AB|=4,这样的直线可以作2条,则p的取值范围是DA0,4B0,4]C0,2]D0,2【解析】由已知可得02p4⇒p∈0,2,故选D.6已知an=logn+1n+2n∈N*,观察下列算式a1·a2=log23·log34=·=2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=··…·=3,…;若a1·a2·a3·…·am=2016m∈N*,则m的值为CA22016+2B22016C22016-2D22016-4【解析】由已知得a1·a2·a3·…·am==2016,lgm+2=lg22016,解得m=22016-
2.故选C.7阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为58,则判断框中应填入的条件为BAk≤3Bk≤4Ck≤5Dk≤6【解析】当S=0,k=1时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=1,k=2,当S=1,k=2时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=6,k=3,当S=6,k=3时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=21,k=4,当S=21,k=4时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=58,k=5,当S=58,k=5时,满足输出条件,故判断框中应填入的条件为k≤4,故选B.8已知fx是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=fx2+2+f-2x-m只有一个零点,则函数gx=mx+x1的最小值是AA5B-3C3D-5【解析】由于函数为奇函数且单调,故fx2+2+f-2x-m=0等价于fx2+2=f2x+m,即x2+2=2x+m有唯一解,判别式为零,即4-4=0,解得m=1,所以gx=x+=x-1++1≥
5.故选A.9三棱锥P-ABC中,AB=BC=,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则这三棱锥的外接球表面积为DAπBπCπDπ【解析】由题可知,△ABC中AC边上的高为=,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,∴x2=32+-x2,解得x=,∴R2=x2+=+1=其中R为三棱锥外接球的半径,∴外接球的表面积S=4πR2=π,故选D.10O为△ABC内一点,且2++=0,=t,若B,O,D三点共线,则t的值为AABCD【解析】以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF与BC相交于点E,E为BC的中点.∵2++=0,∴+=-2==2,∴点O是直线AE的中点.∵B,O,D三点共线,=t,∴点D是BO与AC的交点.过点O作OM∥BC交AC于点M,则点M为AC的中点.则OM=EC=BC,∴=,∴DM=MC,∴AD=AM=AC,=t,∴t=.故选A.11如图,F
1、F2是双曲线-=1a>0的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线交于点A、B,若△ABF2为等边三角形,则△BF1F2的面积为CA8B8C8D16【解析】根据双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a,∵△ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|,∴|AF1|-|AB|=2a,即|AF1|-|AB|=|BF1|=2a,又∵|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=|BF1|+2a=4a,∵△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×=28a2,解之得c=a,∴a2+24=7a2,∴a=2,∴△BF1F2的面积为S△BF1F2=×2a×4a×=
8.故选C.12定义在R上的函数fx对任意x1,x2x1≠x2都有0,且函数y=fx-1的图象关于1,0成中心对称,若s,t满足不等式fs2-2s≤-f2t-t2,则当1≤s≤4时,的取值范围是DABCD【解析】设x1x2,则x1-x
20.由0,知fx1-fx20,即fx1fx2,所以函数fx为减函数.因为函数y=fx-1的图象关于1,0成中心对称,所以y=fx为奇函数,所以fs2-2s≤-f2t-t2=ft2-2t,所以s2-2s≥t2-2t,即s-ts+t-2≥
0.因为=1-=1-,而在条件下,易求得∈,所以1+∈,所以∈,所以1-∈,即∈,故选D.选择题答题卡题 号123456789101112答 案ABCBDCBADACD第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题本题共4小题,每小题5分.13若0a1,则关于x的不等式a-x0的解集是____.14如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ=__-1__.【解析】∵∠DAC=15°,∠DBC=45°,∴∠ADB=30°,在△ABD中,由正弦定理得=,即=,∴BD=25-.在△BCD中,由正弦定理得=,即=,∴sin∠BCD=-
1.∴cosθ=sinπ-∠BCD=sin∠BCD=-
1.15如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,若以A、B为焦点,且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则+的值为____.【解析】不妨役BD=AE=1,则AD=BE=,AB=2,椭圆长轴长为2a,双曲线实轴长为2a′,焦距为2c,则2c=2,2a=1+,2a′=-1,+=+=+=.16某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息
①题目“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C,…”
②解“设AB的斜率为k,…点B,D,…”据此,请你写出直线CD的斜率为____.用k表示【解析】由题设AC的斜率是,将其代入B可得C,运用斜率公式可得kCD==,应填.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17本小题满分12分在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos2C-cos2A=2sin·sin.Ⅰ求角A的值;Ⅱ若a=,且b≥a,求2b-c的取值范围.【解析】Ⅰ由已知得2sin2A-2sin2C=
2.2分化简得sinA=,故A=或A=.5分Ⅱ由正弦定理==,得b=2sinB,c=2sinC7分故2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin=3sinB-cosB=2sin9分因为b≥a,所以≤B,≤B-,11分所以2b-c=2sin∈.12分18本小题满分12分设数列{an}满足a1=1,点an,an+1n∈N*均在直线y=2x+1上.Ⅰ证明数列{an+1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;Ⅱ若bn=log2an+1,求数列的前n项和Tn.【解析】Ⅰ证明由点n∈N*均在直线y=2x+1上可知an+1=2an+1则an+1+1=+1=2于是=2即数列{an+1}是以2为公比的等比数列.因为an+1=·2n-1=2n,所以an=2n-
1.6分Ⅱbn=log2an+1=log22n=n,所以·bn=n·2n7分Tn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n
①2Tn=1·22+2·23+…+n-1·2n+n·2n+1
②①-
②得-Tn=1·21+1·22+1·23+…+1·2n-n·2n+110分=-n·2n+1=-2-n-1·2n+111分故Tn=n-1·2n+1+
2.12分19本小题满分12分如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2,点E在A1D上.Ⅰ求证AA1⊥平面ABCD;Ⅱ当为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.【解析】Ⅰ证明∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AB=AD=AC=2,在△AA1B中,由AA+AB2=A1B2知AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.又∵AB∩AD=A,∴AA1⊥平面ABCD.5分Ⅱ解当=1时,A1B∥平面EAC.证明如下连结BD交AC于O,当=1时,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OE∥A1B,∴A1B∥平面EAC.8分直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离.∵点E为A1D的中点,可转化为D到平面EAC的距离,VD-EAC=VE-ACD,设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,∴EF⊥平面ACD,且EF=1,可求得S△ACD=,∴VE-ACD=×1×=.又AE=,AC=2,CE=2,S△AEC=,∴S△AEC·d=d表示点D到平面EAC的距离,d=,∴直线A1B与平面EAC之间的距离为.12分20本小题满分12分已知椭圆C的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆E x-12+y2=1的圆心.Ⅰ求椭圆C的标准方程;Ⅱ如图,过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线,分别交y轴于点M、N.试推断是否存在点P,使|MN|=?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】Ⅰ设椭圆方程为+=1ab0,半焦距为c.因为椭圆的右焦点是圆E的圆心,则c=
1.2分因为椭圆的离心率为,则=,即a=c=.3分从而b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为+y2=
1.4分Ⅱ设点Px0,y0x00,M0,m,N0,n,则直线PM的方程为y=x+m,即y0-mx-x0y+mx0=
0.5分因为圆心E1,0到直线PM的距离为1,则eq\f\b\lc\|\rc\|\a\vs4\al\co1y0-m+x0m\r(y0-m)2+x=1,即y0-m2+x=y0-m2+2x0my0-m+xm2,即x0-2m2+2y0m-x0=
0.同理,x0-2n2+2y0n-x0=
0.6分由此可知,m,n为方程x0-2x2+2y0x-x0=0的两个实根,所以m+n=-,mn=-.8分===eq\r\f4y(x0-2)2+\f4x0x0-2=eq\r\f4x+4y-8x0(x0-2)
2.因为点Px0,y0在椭圆C上,则eq\fx2+y=1,即y=1-eq\fx2,则=eq\r\f2x-8x0+4(x0-2)2==.10分令=,则x0-22=
9.因为x0<0,则x0=-
1.y=1-eq\fx2=,即y0=±.故存在点P满足题设条件.12分21本小题满分12分已知函数fx=ax2-2ax+lnx有两个不同的极值点x1,x2,且x1·x
2.Ⅰ求实数a的取值范围;Ⅱ设上述a的取值范围为M,若存在x0∈,使对任意a∈M,不等式fx0+lna+1ma2-1-a+1+2ln2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】Ⅰf′x=ax-2a+=x0.1分令f′x=0,则ax2-2ax+1=
0.据题意,方程有两个不等正根,则3分即,解得1<a<
2.故实数a的取值范围是1,2.4分Ⅱ由ax2-2ax+10,得ax-12a-
1.即x1-或x1+.所以fx在和上是增函数.因为1<a<2,则1+1+,所以fx在上是增函数.当x∈时,fxmax=f2=-2a+ln
2.6分据题意,当a∈1,2时,fxmax+lna+1ma2-1-a+1+2ln2恒成立,即lna+1-2a+ln2ma2-1-a+1+2ln2,即lna+1-ma2-a+m+1-ln20恒成立.设ga=lna+1-ma2-a+m+1-ln2,则g′a=-2ma-1=.8分1当m≥0时,因为a∈1,2,则g′a0,所以ga在1,2上是减函数.此时,ga<g1=0,不合题意.9分2当m<0时,若1+≥-1,即m≤-,因为a∈1,2,则a+1+0,g′a0,所以ga在1,2上是增函数.此时,ga>g1=0,符合题意.10分若1+-1,即-m0,则-
1.当1a-时,a+1+0,则g′a0,所以ga在上是减函数.此时,ga<g1=0,不合题意.综上分析,m的取值范围是.12分请考生在
22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ-6cosθ+2sinθ+=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P3,3,倾斜角α=.Ⅰ写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;Ⅱ设l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|的值.【解析】Ⅰ曲线C化为ρ2-6ρcosθ+2ρsinθ+1=0,再化为直角坐标方程为x2+y2-6x+2y+1=0,化为标准方程是x-32+y+12=9,直线l的参数方程为,t为参数.5分Ⅱ将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,整理得t2+4t+7=0,△=42-4×7=200,则t1+t2=-4,t1·t2=7,所以|AB|=|t1-t2|===
2.10分23本小题满分10分选修4-5不等式选讲已知函数fx=|x+1|,gx=m-2|x-5|若2fx≥gx+2恒成立,实数m的最大值为t.Ⅰ求实数t.Ⅱ已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=aa0,且x+y+z的最大值是,求a的值.【解析】Ⅰ由题意得∀x∈R,2fx=2≥gx+2=m-2=m-2,从而有m≤2,由绝对值不等式的性质可知2≥2=8,因此,实数m的最大值t=
8.5分Ⅱ由柯西不等式≥,因为2x2+3y2+6z2=aa0,所以a≥x+y+z2,因为x+y+z的最大值是1,所以a=1,当2x=3y=6z时,x+y+z取最大值,所以a=
1.10分。