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2019-2020年高三上学期迎一模模拟考试数学试题Word版含答案一.填空题(每题5分,共70分)1.已知集合,,则=▲.【答案】2.复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为▲.【答案】43.已知命题是真命题,则实数的取值范围是_______.【答案】
4.从长度为
2、
3、
5、6的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率为.【答案】5.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下,则在区间[4,5)上的数据的频数为__________.【答案】30.6.在如图所示的算法流程图中,若输出的y的值为26,则输入的x的值为▲.【答案】47.在平面直角坐标系xOy中,点F为抛物线x2=8y的焦点,则F到双曲线的渐近线的距离为▲.【答案】8.已知a,b为实数,且a≠b,a0,则a▲2b-填“”、“”或“=”【答案】“”9.是直角边等于4的等腰直角三角形,是斜边的中点,,向量的终点在的内部(不含边界),则的取值范围是.【答案】10.已知正数依次成等比数列,且公比.将此数列删去一个数后得到的数列按原来的顺序是等差数列,则公比的取值集合是.【答案】;11.已知棱长为1的正方体,是棱的中点,是线段上的动点,则△与△的面积和的最小值是.【答案】;12.已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为.【答案】
13.若对任意的x∈D,均有f1x≤fx≤f2x成立,则称函数fx为函数f1x到函数f2x在区间D上的“折中函数”.已知函数fx=k-1x-1,gx=0,hx=x+1lnx,且fx是gx到hx在区间[12e]上的“折中函数”,则实数k的取值集合为________.【答案】{2}14.若实数xy满足x-4=2,则x的取值范围是.【答案】{0}[4,20].
二、解答题本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在平面上,点,点在单位圆上,()
(1)若点,求的值;
(2)若,,求.
15.
(1)由于,,所以,,所以,所以;
(2)由于所以.所以,所以,所以.16.(本小题满分14分)如图,六面体ABCDE中,面DBC⊥面ABC,AE⊥面ABC.
(1)求证AE//面DBC;
(2)若AB⊥BC,BD⊥CD,求证AD⊥DC.16.
(1)过点D作DO⊥BC,O为垂足.因为面DBC⊥面ABC,又面DBC∩面ABC=BC,DO面DBC,所以DO⊥面ABC.又AE⊥面ABC,则AE//DO.又AE面DBC,DO面DBC,故AE//面DBC.
(2)由
(1)知DO⊥面ABC,AB面ABC,所以DO⊥AB.又AB⊥BC,且DO∩BC=O,DO,BC平面DBC,则AB⊥面DBC.因为DC面DBC,所以AB⊥DC.又BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB面ABD,则DC⊥面ABD.又AD面ABD,故可得AD⊥DC.17.(本小题满分14分)如图,某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的.位于该市的某大学与市中心的距离,且.现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站,在OB上设一站B,铁路在部分为直线段,且经过大学.其中,,.
(1)求大学与站的距离;
(2)求铁路段的长.
17.
(1)在中,,且,,由余弦定理得,,即大学与站的距离为;
(2),且为锐角,,在中,由正弦定理得,即,,,,,,,又,,在中,,由正弦定理得,,即,,即铁路段的长为.18.(本小题满分16分)设椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于不同的两点,以线段为直径作圆.若圆与轴相交于不同的两点,求的面积;
(3)如图,、、、是椭圆的顶点,是椭圆上除顶点外的任意点,直线交轴于点,直线交于点.设的斜率为,的斜率为,求证为定值.
18.
(1)圆的方程为,直线与圆O相切,,即,又,,,椭圆的方程为;
(2)由题意,可得,圆的半径,,的面积为;
(3)由题意可知,的斜率为,直线的方程为,由,得,其中,,,则直线的方程为,令,则,即,直线的方程为,由,解得,,的斜率,(定值).19.本小题满分16分已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2ann∈N*.1证明数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;2若bn=2n+1an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式2010的n的最小值.19.1因为Sn+n=2an,所以Sn-1=2an-1-n-1n≥2,n∈N*.两式相减,得an=2an-1+
1.所以an+1=2an-1+1n≥2,n∈N*,所以数列{an+1}为等比数列.因为Sn+n=2an,令n=1得a1=
1.a1+1=2,所以an+1=2n,所以an=2n-
1.2因为bn=2n+1an+2n+1,所以bn=2n+1·2n.所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+2n-1·2n-1+2n+1·2n,
①2Tn=3×22+5×23+…+2n-1·2n+2n+1·2n+1,
②①-
②,得-Tn=3×2+222+23+…+2n-2n+1·2n+1=6+2×-2n+1·2n+1=-2+2n+2-2n+1·2n+1=-2-2n-1·2n+
1.所以Tn=2+2n-1·2n+
1.若2010,则2010,即2n+
12010.由于210=1024211=2048,所以n+1≥11,即n≥
10.所以满足不等式2010的n的最小值是
10.
20.(本小题满分16分)已知函数,,设.
(1)若在处取得极值,且,求函数hx的单调区间;
(2)若时函数hx有两个不同的零点x1x
2.
①求b的取值范围;
②求证.
20.1因为,所以由可得a=b-
3.又因为在处取得极值,所以,所以a=-2b=
1.所以,其定义域为(0,+)令得,当
(01)时,,当(1+),所以函数hx在区间
(01)上单调增;在区间(1+)上单调减.
(2)当时,,其定义域为(0,+).
①由得,记,则所以在单调减,在单调增,所以当时取得最小值.又,所以时,而时所以b的取值范围是(,0).
②由题意得所以所以,不妨设x1x2要证只需要证.即证,设则所以所以函数在(1,+)上单调增,而,所以即所以.第Ⅱ卷(附加题,共40分)21.[选做题]B.(选修4-2矩阵与变换)已知点Pa,b,先对它作矩阵M对应的变换,再作N对应的变换,得到的点的坐标为8,,求实数a,b的值.B.依题意,NM,由逆矩阵公式得,NM,所以,即有,.C.(选修4-4坐标系与参数方程)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.1把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程;2已知为椭圆上一点求到直线的距离的最小值.C.1直线l的极坐标方程则即所以直线l的直角坐标方程为;2P为椭圆上一点设其中则P到直线l的距离所以当时的最小值为【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.22.(本小题满分10分)抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得数字分别为x,y.设为随机变量,若为整数,则;若为小于1的分数,则;若为大于1的分数,则.
(1)求概率;
(2)求的分布列,并求其数学期望.22.
(1)依题意,数对(x,y)共有16种,其中使为整数的有以下8种(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),所以;
(2)随机变量的所有取值为,,,有以下6种(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),故;有以下2种(3,2),(4,3),故;01所以的分布列为,答的数学期望为.23.(本小题满分10分)已知.⑴求及;⑵试比较与的大小,并说明理由.23.⑴令,则,令,则,所以.⑵要比较与的大小,只要比较与的大小.当时,,当或时,,当n=4或5时,猜想当时,.下面用数学归纳法证明
①由上述过程可知,当时,结论成立.
②假设当时结论成立,即,两边同乘以,得,而,所以,即时结论也成立.由
①②可知,当时,成立.综上所述,当时,;当或时,;当时,.(第6题)结束输出yy←x22x+2y←5x4Y输入x开始N第15题图AEDCBLABOMLL第18题图。