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2019-2020年高三下学期4月模拟数学(文)试卷含解析
一、选择题本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数对应的点的坐标为( )A.(1,﹣1)B.(﹣1,1)C.D. 2.已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2﹣3x+2≤0},则A∩∁RB=( )A.{x|x≤0}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤1或x>2}D.{x|0≤x<1或x≥2} 3.函数y=x3与y=图形的交点为(a,b),则a所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 4.已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下且回归方程是=
0.95x+a,则当x=6时,y的预测值为( )x01234y
2.
24.
34.
54.
86.7A.
8.4B.
8.3C.
8.2D.
8.1 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.32C.16D. 6.若a<0,则下列不等式成立的是( )A.B.C.D. 7.函数f(x)=的图象大致是( )A.B.C.D. 8.在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,,,则的值为( )A.B.C.D. 9.下列说法正确的是( )A.“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件B.若数据x1,x2,x3,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差为2C.命题“存在x∈R,x2+x+xx>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+xx<0”D.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+cosx≥”发生的概率为 10.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)﹣2,当x∈(0,2]时,f(x)=,若x∈(0,4]时,t2﹣≤f(x)≤3﹣t恒成立,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.C.D.[1,2]
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上.11.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上.则C的方程为 . 12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 . 13.正偶数列有一个有趣的现象
①2+4=6
②8+10+12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…按照这样的规律,则xx在第 个等式中. 14.设z=kx+y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k= . 15.已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点,点N是其焦点,点P在该抛物线上,且满足|PM|=m|PN|,当m取得最大值时,点P恰在以M、N为焦点的双曲线上,则该双曲线的实轴长为 .
三、解答题本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知函数f(x)=,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小值和最小正周期;(Ⅱ)已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=3,f(C)=0,若向量与共线,求a、b的值. 17.某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆,目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R(单位公里)分为3类,即A80≤R<150,B150≤R<250,C R≥250.对这140辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表类型ABC已行驶总里程不超过5万公里的车辆数104030已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020(Ⅰ)从这140辆汽车中任取1辆,求该车行驶总里程超过5万公里的概率;(Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取14辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从C类车中抽取了n辆车.(ⅰ)求n的值;(ⅱ)如果从这n辆车中随机选取2辆车,求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率. 18.如图,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°,O,P分别为AB,CB的中点,M为底面△OBF的重心.(Ⅰ)求证平面ADF⊥平面CBF;(Ⅱ)求证PM∥平面AFC. 19.已知{an}是等差数列,公差为d,首项a1=3,前n项和为Sn.令,{cn}的前20项和T20=330.数列{bn}满足bn=2(a﹣2)dn﹣2+2n﹣1,a∈R.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn+1≤bn,n∈N*,求a的取值范围. 20.已知椭圆C(a>b>0)的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合,原点到过点A(a,0),B(0,﹣b)的直线的距离是.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q,求证点Q在定直线上,并求出定直线的方程. 21.已知函数f(x)=ex+ax(a∈R),g(x)=exlnx(e为自然对数的底数).(Ⅰ)设曲线y=f(x)在x=1处的切线为l,点(1,0)到直线l的距离为,求a的值;(Ⅱ)若对于任意实数x≥0,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围;(Ⅲ)当a=﹣1时,函数M(x)=g(x)﹣f(x)在[1,e]上是否存在极值?若存在,求出极值;若不存在,请说明理由. xx年山东省潍坊市高密市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)参考答案与试题解析
一、选择题本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数对应的点的坐标为( )A.(1,﹣1)B.(﹣1,1)C.D.考点复数的代数表示法及其几何意义.专题数系的扩充和复数.分析直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解答解∵=,∴复数对应的点的坐标为(1,﹣1),故选A.点评本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题. 2.已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2﹣3x+2≤0},则A∩∁RB=( )A.{x|x≤0}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤1或x>2}D.{x|0≤x<1或x≥2}考点交、并、补集的混合运算.专题集合.分析先求出集合AB,再求出B的补集,根据交集的定义即可求出.解答解∵全集为R,集合A={x|2x≥1}={x|x≥0},B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴∁RB={x|x<1或x>2},∴A∩∁RB={x|0≤x≤1或x>2}故选C点评本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3.函数y=x3与y=图形的交点为(a,b),则a所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)考点函数的零点与方程根的关系.专题函数的性质及应用.分析构造函数f(x))=x3﹣,根据函数零点和方程之间的关系判断函数零点的取值范围是解决本题的关键.解答解∵y=x3与y=,∴设f(x)=x3﹣,则函数f(x)为增函数,∵f
(1)=1﹣=1﹣2=﹣1<0,f
(2)=>0,∴函数f(x)的根x∈(1,2),∵函数y=x3与y=图形的交点为(a,b),∴a∈(1,2),故选B.点评本题主要考查函数零点的取值范围的应用,根据函数零点和方程之间的关系,构造函数是解决本题的关键. 4.已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下且回归方程是=
0.95x+a,则当x=6时,y的预测值为( )x01234y
2.
24.
34.
54.
86.7A.
8.4B.
8.3C.
8.2D.
8.1考点线性回归方程.专题应用题;概率与统计.分析线性回归方程=
0.95x+a,必过样本中心点,首先计算出横标和纵标的平均数,代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程,代入x=6,可得y的预测值.解答解由已知可得==2,==
4.5∴=
4.5=
0.95×+a=
1.9+a∴a=
2.6∴回归方程是=
0.95x+
2.6当x=6时,y的预测值=
0.95×6+
2.6=
8.3故选B.点评本题考查线性回归方程,是一个运算量较大的题目,有时题目的条件中会给出要有的平均数,本题需要自己做出,注意运算时不要出错. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.48B.32C.16D.考点由三视图求面积、体积.专题计算题;空间位置关系与距离.分析三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱,底面是直角梯形,利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可.解答解三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱,底面是直角梯形,上底为3,下底长为5,高为2,棱柱的高为4.所以几何体的体积为=32.故选B.点评本题考查三视图求几何体的体积,三视图复原的几何体的形状是解题的关键. 6.若a<0,则下列不等式成立的是( )A.B.C.D.考点不等式比较大小.专题函数的性质及应用.分析根据指数函数的性质即可判断,或者利用特殊值法.解答解∵a<0,假设a=﹣1,∴=2,(
0.2)﹣1=5,2a=﹣2,∴,故选C点评本题考查了指数函数的性质,属于基础题. 7.函数f(x)=的图象大致是( )A.B.C.D.考点函数的图象.专题函数的性质及应用.分析由于函数f(x)=为偶函数,其图象关于y轴对称,可排除C、D,利用极限思想(如x→0+,y→+∞)可排除B,从而得到答案A.解答解定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(x)=,==f(x),∴f(﹣x)=f(x),f(x)为偶函数,.∴其图象关于y轴对称,可排除C,D;又当x→0时,cos(πx)→1,x2→0,∴f(x)→+∞.故可排除B;而A均满足以上分析.故选A.点评本题考查奇偶函数图象的对称性,考查极限思想的运用,考查排除法的应用,属于中档题. 8.在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,,,则的值为( )A.B.C.D.考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.[来源:]分析将所求利用三角形法则表示为AB,AC对应的向量表示,然后利用向量的乘法运算求值.解答解由已知得到=()()=2,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,所以上式==;故选A.点评本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用,用到了向量垂直的数量积为0的性质. 9.下列说法正确的是( )A.“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件B.若数据x1,x2,x3,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差为2C.命题“存在x∈R,x2+x+xx>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+xx<0”D.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+cosx≥”发生的概率为考点命题的真假判断与应用.专题简易逻辑.分析A.“p∧q为真”⇒“p∨q为真”,反之不成立,即可判断出正误;B.利用方差的性质即可判断出正误;C.利用命题的否定即可判断出正误;D.sinx+cosx≥化为,由于x∈[0,π],可得,再利用几何概率计算公式即可判断出正误.解答解A.“p∧q为真”⇒“p∨q为真”,反之不成立,因此“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件,不正确;B.数据x1,x2,x3,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差为4,因此不正确;C.命题“存在x∈R,x2+x+xx>0”的否定是“任意x∈R,x2+x+xx≤0”,因此不正确;D.在区间[0,π]上随机取一个数x,则sinx+cosx≥化为,∴,∴事件“sinx+cosx≥”发生的概率P==,正确.故选D.点评本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、几何概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)﹣2,当x∈(0,2]时,f(x)=,若x∈(0,4]时,t2﹣≤f(x)≤3﹣t恒成立,则实数t的取值范围是( )A.[2,+∞)B.C.D.[1,2]考点分段函数的应用.专题函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析由f(x+2)=2f(x)﹣2,求出x∈(2,3),以及x∈[3,4]的函数的解析式,分别求出(0,4]内的四段的最小值和最大值,注意运用二次函数的最值和函数的单调性,再由t2﹣≤f(x)≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f(x)min,f(x)max≤3﹣t,解不等式即可得到所求范围解答解当x∈(2,3),则x﹣2∈(0,1),则f(x)=2f(x﹣2)﹣2=2(x﹣2)2﹣2(x﹣2)﹣2,即为f(x)=2x2﹣10x+10,当x∈[3,4],则x﹣2∈[1,2],则f(x)=2f(x﹣2)﹣2=﹣2.当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为﹣;当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为;当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为﹣;当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值,且为﹣1.综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为﹣.若x∈(0,4]时,t2﹣≤f(x)恒成立,则有t2﹣≤﹣.解得1≤t≤.当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,当x∈(2,3)时,f(x)∈[﹣,﹣2),当x∈[3,4]时,f(x)∈[﹣1,0],即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.[来源:]由f(x)max≤3﹣t,即为3﹣t≥1,解得t≤2,即有实数t的取值范围是[1,2].故选D.点评本题考查分段函数的运用,主要考查分段函数的最小值,运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上.11.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上.则C的方程为 (x﹣2)2+y2=10 .考点圆的标准方程.专题计算题.分析根据题意可知线段AB为圆C的一条弦,根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C,所以由A和B的坐标表示出直线AB的方程,然后根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1由直线AB的斜率求出AB垂直平分线的斜率,又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标,由中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程,又因为圆心在x轴上,所以把求出AB的垂直平分线与x轴的交点坐标即为圆心C的坐标,然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径,根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可.解答解由A(5,1),B(1,3),得到直线AB的方程为y﹣3=(x﹣1),即x+2y﹣7=0,则直线AB的斜率为﹣,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2,又设线段AB的中点为D,则D的坐标为(,)即(3,2),所以线段AB的垂直平分线的方程为y﹣2=2(x﹣3)即2x﹣y﹣4=0,令y=0,解得x=2,所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为(2,0),而圆的半径r=|AC|==,综上,圆C的方程为(x﹣2)2+y2=10.故答案为(x﹣2)2+y2=10点评此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系,灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值,掌握垂径定理的灵活运用,会根据圆心和半径写出圆的标准方程,是一道中档题. 12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 4 .考点程序框图.专题图表型;算法和程序框图.分析模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,S的值,当S=2059时,不满足条件S<100,退出循环,输出k的值为4.解答解模拟执行程序框图,可得k=0,S=0满足条件S<100,S=1,k=1满足条件S<100,S=3,k=2满足条件S<100,S=11,k=3满足条件S<100,S=11+211=2059,k=4不满足条件S<100,退出循环,输出k的值为4.故答案为4.点评本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的k,S的值是解题的关键,属于基础题. 13.正偶数列有一个有趣的现象
①2+4=6
②8+10+12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…按照这样的规律,则xx在第 31 个等式中.考点归纳推理.专题推理和证明.分析从已知等式分析,发现规律为各等式首项分别为2×1,2(1+3),2(1+3+5),…,即可得出结论解答解
①2+4=6;
②8+10+12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…其规律为各等式首项分别为2×1,2(1+3),2(1+3+5),…,所以第n个等式的首项为2[1+3+…+(2n﹣1)]=2n2,当n=31时,等式的首项为1922,所以xx在第31个等式中故答案为31.点评本题考查归纳推理,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是确定各等式的首项 14.设z=kx+y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k= 2 .考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析先画出可行域,得到角点坐标.再对k进行分类讨论,通过平移直线z=kx+y得到最大值点A,即可得到答案.解答解可行域如图由得A(4,4),[来源:]同样地,得B(0,2),z=kx+y,即y=﹣kx+z,分k>0,k<0两种情况.当k>0时,目标函数z=kx+y在A点取最大值,即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,即12=4k+4,得k=2;当k<0时,
①当k>﹣时,目标函数z=kx+y在A点(4,4)时取最大值,即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,此时,12=4k+4,故k=2.
②当k时,目标函数z=kx+y在B点(0,2)时取最大值,即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大,此时,12=0×k+2,故k不存在.综上,k=2.故答案为2.点评本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义. 15.已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点,点N是其焦点,点P在该抛物线上,且满足|PM|=m|PN|,当m取得最大值时,点P恰在以M、N为焦点的双曲线上,则该双曲线的实轴长为 4(﹣1) .考点双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析过P作准线的垂线,垂足为B,则由抛物线的定义,结合|PM|=m|PN|,可得=,设PM的倾斜角为α,则当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论.解答解过P作准线的垂线,垂足为B,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PM|=m|PN|,∴|PM|=m|PB|∴=,设PM的倾斜角为α,则sinα=,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,设直线PM的方程为y=kx﹣2,代入x2=8y,可得x2=8(kx﹣2),即x2﹣8kx+16=0,∴△=64k2﹣64=0,∴k=±1,∴P(4,2),∴双曲线的实轴长为PM﹣PN=﹣4=4(﹣1).故答案为4(﹣1).点评本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PM与抛物线相切,是解题的关键.
三、解答题本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知函数f(x)=,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小值和最小正周期;[来源:](Ⅱ)已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=3,f(C)=0,若向量与共线,求a、b的值.考点三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法.专题三角函数的求值.分析(Ⅰ)由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x﹣)﹣1,可得最小值和周期;(Ⅱ)由f(C)=sin(2C﹣)﹣1=0结合角的范围可得C=,再由向量共线和正弦定理可得b=2a,由余弦定理可得ab的方程,解方程组可得.解答解(Ⅰ)化简可得f(x)=sin2x﹣cos2x﹣1=sin(2x﹣)﹣1,∴f(x)的最小值为﹣2,最小正周期为T=π(Ⅱ)∵f(C)=sin(2C﹣)﹣1=0,∴sin(2C﹣)=1,∵0<C<π,∴﹣<2C﹣<,∴2C﹣=,∴C=,∵与共线,∴sinB﹣2sinA=0,∴由正弦定理可得==,即b=2a,
①∵c=3,∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos,
②联立
①②解方程组可得点评本题考查三角函数的最值,涉及三角函数的周期性和余弦定理,属中档题. 17.某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆,目前我国主流纯电动汽车按续驶里程数R(单位公里)分为3类,即A80≤R<150,B150≤R<250,C R≥250.对这140辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表类型ABC已行驶总里程不超过5万公里的车辆数104030已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020(Ⅰ)从这140辆汽车中任取1辆,求该车行驶总里程超过5万公里的概率;(Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取14辆车进行车况分析,按表中描述的六种情况进行分层抽样,设从C类车中抽取了n辆车.(ⅰ)求n的值;(ⅱ)如果从这n辆车中随机选取2辆车,求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率.考点列举法计算基本事件数及事件发生的概率.专题[来源:Z_xx_k]概率与统计.分析(Ⅰ)根据概率公式计算即可,(Ⅱ)(ⅰ)根据分层值抽样的方法即可求出n的;(ⅱ)一一列举出所有的基本事件,找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可解答解(Ⅰ)从这140辆汽车中任取1辆,则该车行驶总里程超过5万公里的概率为=,(Ⅱ)(ⅰ)依题意.(ⅱ)5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆,记为A,B,C;5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆,记为M,N.“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN.“从5辆车中随机选取2辆车,恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种AM,AN,BM,BN,CM,CN.设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D,则P(D)==.答选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为.点评本题考查了古典概率模型的问题,关键是不重不漏的列举出基本事件,属于基础题 18.如图,矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,∠BAF=60°,O,P分别为AB,CB的中点,M为底面△OBF的重心.(Ⅰ)求证平面ADF⊥平面CBF;(Ⅱ)求证PM∥平面AFC.考点平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.专题证明题;空间位置关系与距离.分析(Ⅰ)矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,CB⊥AB,所以可推断出CB⊥平面ABEF,又AF⊂平面BDC1,所以CB⊥AF,进而由余弦定理求得BF,推断出AF2+BF2=AB2得AF⊥BF同时利用AF∩CB=B判断出AF⊥平面CFB,即可证明平面ADF⊥平面CBF;(Ⅱ)连结OM延长交BF于H,则H为BF的中点,又P为CB的中点,推断出PH∥CF,又利用线面判定定理推断出PH∥平面AFC,连结PO,同理推断出PO∥平面AFC,利用面面平行的判定定理,推断出平面POO1∥平面AFC,最后利用面面平行的性质推断出PM∥平面AFC解答证明(Ⅰ)∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直,CB⊥AB∴CB⊥平面ABEF,又AF⊂平面BDC1,∴CB⊥AF又AB=2,AF=1,∠BAF=60°,由余弦定理知BF=,AF2+BF2=AB2得AF⊥BF∵AF∩CB=B,∴AF⊥平面CFB∵AF⊂平面AFC,∴平面ADF⊥平面CBF;(Ⅱ)连结OM延长交BF于H,则H为BF的中点,又P为CB的中点,∴PH∥CF,又∵AF⊂平面AFC,∴PH∥平面AFC连结PO,则PO∥AC,AC⊂平面AFC,PO∥平面AFCPO∩PO1=P,∴平面POO1∥平面AFC,PM⊂平面AFC,∴PM∥平面AFC.点评本题主要考查了面面垂直的判定,线面平行的判定,面面平行的判定,以及线面垂直的性质,属于中档题. 19.已知{an}是等差数列,公差为d,首项a1=3,前n项和为Sn.令,{cn}的前20项和T20=330.数列{bn}满足bn=2(a﹣2)dn﹣2+2n﹣1,a∈R.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn+1≤bn,n∈N*,求a的取值范围.考点数列递推式;等差数列的性质.专题综合题;等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)利用T20=330,求出公差,即可求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)先求出bn,再根据bn+1≤bn,n∈N*,结合函数的单调性,即可求a的取值范围.解答解(Ⅰ)设等差数列的公差为d,因为,所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330,[来源:学#科#网Z#X#X#K]则a2+a4+a6+…+a20=330…(3分)则解得d=3所以an=3+3(n﹣1)=3n…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=2(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2(a﹣2)3n﹣1+2n﹣[2(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1]=4(a﹣2)3n﹣2+2n﹣1=由bn+1≤bn⇔…(10分)因为随着n的增大而增大,所以n=1时,最小值为,所以…(12分)点评本题考查数列的通项,考查数列与不等式的联系,考查学生的计算能力,属于中档题. 20.已知椭圆C(a>b>0)的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合,原点到过点A(a,0),B(0,﹣b)的直线的距离是.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q,求证点Q在定直线上,并求出定直线的方程.考点直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析(Ⅰ)由抛物线的焦点坐标求得c=1,结合隐含条件得到a2=b2+1,再由点到直线的距离公式得到关于a,b的另一关系式,联立方程组求得a,b的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,消去y得到(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,由判别式等于0整理得到4k2﹣m2+3=0,代入(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0求得P的坐标,然后写出直线F1Q方程为,联立方程组,求得x=4,即说明点Q在定直线x=4上.解答(Ⅰ)解由抛物线的焦点坐标为(1,0),得c=1,因此a2=b2+1
①,直线AB,即bx﹣ay﹣ab=0.∴原点O到直线AB的距离为
②,联立
①②,解得a2=4,b2=3,∴椭圆C的方程为;(Ⅱ)由,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,(*)由直线与椭圆相切,得m≠0且△=64k2m2﹣4(4k2+3)(4m2﹣12)=0,整理得4k2﹣m2+3=0,将4k2+3=m2,即m2﹣3=4k2代入(*)式,得m2x2+8kmx+16k2=0,即(mx+4k)2=0,解得,∴,又F1(1,0),∴,则,∴直线F1Q方程为,联立方程组,得x=4,∴点Q在定直线x=4上.点评本题考查了椭圆方程的求法,考查了点到直线距离公式的应用,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了两直线交点坐标的求法,是中档题. [来源:学|科|网]21.已知函数f(x)=ex+ax(a∈R),g(x)=exlnx(e为自然对数的底数).(Ⅰ)设曲线y=f(x)在x=1处的切线为l,点(1,0)到直线l的距离为,求a的值;(Ⅱ)若对于任意实数x≥0,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围;(Ⅲ)当a=﹣1时,函数M(x)=g(x)﹣f(x)在[1,e]上是否存在极值?若存在,求出极值;若不存在,请说明理由.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)由导函数求出曲线y=f(x)在x=1处的切线l的方程,再由点(1,0)到直线l的距离为列式求解a的值;[来源:Z§xx§k](Ⅱ)当x=0时,对任意实数a,f(x)=ex>0恒成立;当x>0时,由f(x)>0恒成立,分离参数a,然后构造辅助函数,由导数求其最大值,则a的范围可求;(Ⅲ)把f(x)和g(x)的解析式代入M(x)=g(x)﹣f(x),整理后求其导函数,由其导函数恒大于0得到M(x)是定义域内的增函数,从而说明函数M(x)=g(x)﹣f(x)在[1,e]上不存在极值.解答解(Ⅰ)∵f(x)=ex+ax,∴f′(x)=ex+a,f
(1)=e+a,y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′
(1)=e+a,∴切线l的方程为y﹣(e+a)=(e+a)(x﹣1),即(e+a)x﹣y=0.又切线l与点(1,0)距离为,∴,解之得,a=﹣e+1,或a=﹣e﹣1;(Ⅱ)∵对于任意实数x≥0,f(x)>0恒成立,∴若x=0,则a为任意实数时,f(x)=ex>0恒成立;若x>0,f(x)=ex+ax>0恒成立,即在x>0上恒成立,设,则,当x∈(0,1)时,Q′(x)>0,则Q(x)在(0,1)上单调递增.当x∈(1,+∞)时,Q′(x)<0,则Q(x)在(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,Q(x)取得最大值,Q(x)max=Q
(1)=﹣e,∴a的取值范围为(﹣e,+∞).综上,对于任意实数x≥0,f(x)>0恒成立的实数a的取值范围为(﹣e,+∞);(Ⅲ)依题意,M(x)=exlnx﹣ex+x,∴,设,则,当x∈[1,e],h′(x)≥0,故h(x)在[1,e]上单调增函数,因此h(x)在[1,e]上的最小值为h
(1)=0,即,又ex>0,∴在[1,e]上,,即M(x)=g(x)﹣f(x)在[1,e]上不存在极值.点评本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查了函数恒成立问题,训练了利用构造函数法求解字母的范围,解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数,属高考试卷中的压轴题. 。