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2019-2020年高三下学期得分训练
(五)数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅱ卷第22—24题为选做题,其它题为必做题.考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)
1.选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.集合,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.
2.等于A.B.2C.-2D.+
23.下列命题中正确的是 A.命题“x∈R≤0”的否定是“x∈R≥0”; B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件;C.若“,则ab”的否命题为真;D.若实数xy∈[-11]则满足的概率为.
4.如果运行如图的程序框图,那么输出的结果是A.1,8,16 B.1,7,15C.2,10,18 D.1,9,
175.已知长方形的四个顶点A00B20C21和D01,一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角),设坐标为(),若,则tan的取值范围是()A.() B.() C.() D.()6.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上,则()A. B. C. D.
7.设的最大值为A.2B.C.1D.
8.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为()A.B.C.D.
9.若为有理数),则()A.45B.55C.70D.
8010.椭圆的左、右焦点分别为、弦过,若的内切圆周长为,、两点的坐标分别为和,则的值为()A.B.C.D.
11.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2则四面体ABCD的体积的最大值为()A.B.C.D.
12.记实数,,……中的最大数为max,最小数为min已知ABC的三边长为abc(),定义它的亲倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的()A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷(非选择题共90分)
2.填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.设等比数列的公比,前项和为,则
14.若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示单位:cm则它的侧视图的面积为
15.若xy满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是
16.观察下列等式,,,,………由以上等式推测到一个一般的结论对于,.
3.解答题本大题共6小题,满分70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.本题满分12分在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c向量p=sinAb+c q=a-csinC-sinB满足|p+q|=|p-q|.Ⅰ求角B的大小;Ⅱ设m=sinC+n=2kcos2Ak1m·n有最大值为3,求k的值.
18.本题满分12分某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.(Ⅰ)求直方图中的值;(Ⅱ)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿;(Ⅲ)从学校的新生中任选4名学生,这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为,求的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率)
19.本题满分12分如图,在四面体ABOC中且.(Ⅰ)设为为的中点,证明在上存在一点,使,并计算的值;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值
20.本题满分12分已知m1,直线,椭圆C,、分别为椭圆C的左、右焦点.(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
21.本题满分12分已知函数的图象过坐标原点O且在点处的切线的斜率是.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)求在区间上的最大值;Ⅲ对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22.(本小题满分10分)选修4—1几何证明选讲如图,在直径是AB的半圆上有两个不同的点M、N设AN与BM的交点是P.求证AP·AN+BP·BM=23.(本小题满分10分)选修4—4坐标系与参数方程已知圆C的参数方程为,若P是圆C与y轴正半轴的交点,以圆心C为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P的圆C的切线的 极坐标方程.24.(本小题满分10分)选修4—5不等式选讲已知,且.求证xx年大庆实验中学高三理科数学得分训练试题
(五)参考答案
一、1—6DDCDCD7—12CCCABA
二、
13、
1514、3/
415、(-42)
16、
三、
17、解Ⅰ由条件|p+q|=|p-q|,两边平方得p·q=0,又p=sinAb+cq=a-csinC-sinB代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,根据正弦定理,可化为aa-c+b+cc-b=0即,又由余弦定理=2acosB所以cosB=,B=.
18、解(Ⅰ)由直方图可得.所以.………………………………………2分(Ⅱ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为,………………………………………3分因为,所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………5分(Ⅲ)的可能取值为0,1,2,3,
4.………………………………………6分由直方图可知,每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为,.所以的分布列为01234………………………………………11分.(或)所以的数学期望为
1.………………………………………12分
19、解法一(Ⅱ)连接,由,知.又,又由,.是在平面内的射影.在等腰中,为的中点,根据三垂线定理,知为二面角的平面角.在等腰中,,在中,,中,. 即,所以存在点 使得 且.(Ⅱ)记平面的法向量为则由,,且,得, 故可取又平面的法向量为..二面角的平面角是锐角,记为,则.
20、解(Ⅰ)因为直线经过点(,0),所以=,得.又因为m1,所以,故直线的方程为.
21、解(Ⅰ)当时,,则依题意得,即 解得(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当时,,令得当变化时,的变化情况如下表又,,∴在上的最大值为
2.
②当时.当时最大值为0;当时在上单调递增∴在最大值为综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;当时,即时,在区间上的最大值为Ⅲ假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧不妨设,则,显然∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上
22、证明过点P作PE⊥AB于E,∵AB为直径,∴∠ANB=∠AMB=,∴PEBN四点共圆,PEAM四点共圆.由割线定理得,AE·AB=AP·AN
①BE·AB=BP·BM
②,由
①+
②得,ABAE+BE=AP·AN+BP·BM即AP·AN+BP·BM=.
23、解由题设知,圆心C(,0),P(0,1),∴∠PCO=,设M()是过P点的圆C的切线上的任意一点,则在Rt△PMC中,有即为所求切线的 极坐标方程.
24、证明因为=,所以,当x∈01时,所以,当时,所以从而|.。