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2019-2020年高三下学期摸底考试数学(文)试题含答案参考公式三棱锥的体积公式,其中表示三棱锥的底面面积,表示三棱锥的高.第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在复平面内,复数是虚数单位)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设全集是则=()A.{2}B.{2,4,5,6}C.{1,2,3,4,6}D.{4,6}
3.设函数则满足的的值是A.2B.16C.2或16D.或
164.一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为()A.B.8C.D.
125.设向量且则锐角为( )A. B. C. D.
6.某程序框图如图所示,该程序运行输出的的值是()A.4B.5C.6D.
77.已知等差数列中是方程的两根则等于()A. B.C.D.
8.如果实数满足,则目标函数的最大值为( )A.2B.C.3D.
9.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于灯塔A在观察站C的北偏东灯塔B在观察站C的南偏东,则灯塔A与灯塔B的距离为A. B. C. D.
10.直线和圆的关系是()A.相离B.相交C.相交或相切D.相切
11.函数的图象大致是()
12.已知且当时均有则实数的取值范围是A. B. C. D.数学第Ⅱ卷(非选择题,共90分)注意事项第Ⅱ卷共6页,用钢笔或中性笔直接答在试题卷中,答卷前将密封线内的项目填写好.题号二三总分复核人171819202122得分
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.等差数列的前项和为,若则.14.对某校400名学生的体重(单位)进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,则学生体重在60以上的人数为.15.已知函数是上的减函数,那么的取值范围是.
16.已知点F
1、F2分别是椭圆的左、右焦点,过F1且垂直于轴的直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF2为正三角形,则该椭圆的离心率是.
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知向量函数.
(1)求的最小正周期;
(2)当时若求的值.18.(本小题满分12分)双胞胎姐弟玩数字游戏,先由姐姐任想一个数字记为,再由弟弟猜姐姐刚才想的数字,把弟弟想的数字记为,且
(1)求姐弟两人想的数字之差为3的概率;
(2)若姐弟两人想的数字相同或相差1,则称“双胞胎姐弟有心灵感应”,求“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率.
19.(本小题满分12分)已知点12是函数=(且)的图象上一点数列{}的前项和=.1求数列{}的通项公式;2若,求数列{}的前项和.20.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45,点E、F分别为棱AB、PD的中点.
(1)求证AF∥平面PCE;
(2)求证平面PCE⊥平面PCD;
(3)求三棱锥C-BEP的体积.21.(本小题满分13分)已知椭圆C:=1的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.1求椭圆的方程;2设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于、两点,坐标原点到直线的距离为,求△面积的最大值.
22.(本小题满分13分)已知函数,设曲线在与轴交点处的切线为,为的导函数,满足.
(1)求;
(2)设,求函数在(其中)上的最大值;
(3)设,若对一切,不等式恒成立,求实数的取值范围.高三数学(文)参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)题号123456789101112答案ABCABACBDBDC
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.8;
14.100;
15.;
16.;
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)解
(1)……………………………1分…………………………………………2分.……………………………………………4分的最小正周期是.…………………………………6分
(2)由得…………………………8分∵,∴ ∴……10分∴……………………………………………………12分18(本小题满分12分)解
(1)所有基本事件为(1,1),(2,2),(2,3),(4,4),(5,5),(6,6)(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1)(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),(1,6),(6,1),共计36个.………………………………………2分记“两人想的数字之差为3”为事件A,……………………………3分事件A包含的基本事件为(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),共计6个.…………4分∴两人想的数字之差为3的概率为………………………………6分
(2)记“两人想的数字相同或相差1”为事件B,……………………7分事件B包含的基本事件为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),共计16个.……………………10分∴“双胞胎姐弟有心灵感应”的概率为……………………………12分
19.(本小题满分12分)解1把点12代入函数fx=ax得a=2,所以数列{an}的前n项和为Sn=fn-1=2n-
1.……………………2分当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,……………………………5分对n=1时也适合.∴an=2n-
1.…………………………………………6分2由于bn=nan,所以bn=n·2n-
1.……………7分Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,
①2Tn=1·21+2·22+3·23+…+n-1·2n-1+n·2n
②……………9分由
①-
②得-Tn=20+21+22+…+2n-1-n·2n,…………………10分所以Tn=n-12n+
1.…………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)证明:
(1)取PC的中点G,连结FG、EG∴FG为△CDP的中位线∴FGCD∵四边形ABCD为矩形,E为AB的中点∴ABCD∴FGAE∴四边形AEGF是平行四边形……………2分∴AF∥EG又EG平面PCE,AF平面PCE∴AF∥平面PCE………………………4分
(2)∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥AD,PA⊥CD,又AD⊥CD,PAAD=A∴CD⊥平面ADP又AF平面ADP∴CD⊥AF直角三角形PAD中,∠PDA=45°∴△PAD为等腰直角三角形∴PA=AD=2∵F是PD的中点∴AF⊥PD,又CDPD=D∴AF⊥平面PCD……………………………………………………………6分∵AF∥EG∴EG⊥平面PCD又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD……………………………………………………8分
(3)三棱锥C-BEP即为三棱锥P-BCEPA是三棱锥P-BCE的高,…………………………………………………9分Rt△BCE中,BE=1,BC=2,…………………………………………………10分∴三棱锥C-BEP的体积VC-BEP=VP-BCE=……12分21(本小题满分12分)解
(1)设椭圆的半焦距为,依题意∴,∴所求椭圆方程为.……………………………………5分
(2)设,.坐标原点到直线的距离为,得.………………………………………6分把代入椭圆方程,整理得,,.………………………………………8分…………………………………9分.…………11分当且仅当,即时等号成立.所以,.所以,面积的最大值.…………………13分
22.(本小题满分14分)解
(1),,函数的图像关于直线对称,则.…………………2分直线与轴的交点为,,且,即,且,解得,.则.…………………………………………………5分
(2),…………6分其图像如图所示.当时,,根据图像得(ⅰ)当时,最大值为;……7分(ⅱ)当时,最大值为;……8分(ⅲ)当时,最大值为.…9分
(3)方法一,,,当时,,不等式恒成立等价于且恒成立,……11分由恒成立,得恒成立,当时,,,又且实数的取值范围是……………………………13分方法二(数形结合法)作出函数的图像,其图像为线段(如图),的图像过点时,或,要使不等式对恒成立,必须,…………………………………11分又当函数有意义时,,当时,由恒成立,得,因此,实数的取值范围是.………………13分方法三,的定义域是,要使恒有意义,必须恒成立,,,即或.
①由得,即对恒成立,…………………11分令,的对称轴为,则有或或解得.
②综合
①、
②,实数的取值范围是.…………………13分开始k=0S=10S0k=k+1S=S-2k是输出k结束否。