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2019-2020年高三下学期模拟考试数学试题Word版含答案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知集合,,,则▲.{5}2.如果复数的实部与虚部互为相反数则等于▲3.抛物线的焦点坐标是▲(0,1)4.平面向量=
(11),=(-1,m),若∥,则m等于▲-15.已知函数的最小正周期是2,则▲.6.如下图某单位全体成员参加安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40,[40,60,[60,80,[80,100].若低于60分的人数是30,则该单位的人数是▲1007.阅读上边的程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数的取值范围是▲8.已知是不同的平面,是直线,且,则下列三个命题
①②;
③.其中正确的是▲
②③9.在△中,所对边分别为.若,则▲10.过点且与直线和都相切的所有圆的半径之和为▲4211.若函数的值域为,则的取值范围是▲12.若则的最小值为▲
213.在△AOB中,G为△AOB的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心),且.若,则的最小值是▲214.已知是首项为a公差为1的等差数列.若对任意的都有成立则实数a的取值范围是▲.
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.)15.(本小题满分14分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足.1求角A;2若,,D为BC上一点,且求AD的长.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足.1求角A;2若,,D为BC上一点,且求AD的长.解1∵在△ABC中,满足由正弦定理可得,┅3分故;┅5分∵在△ABC中∴┅7分2由题意可得,┅9分┅10分∴┅13分从而可得┅14分16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=BC.点E、F分别是棱PB、边CD的中点.
(1)求证AB⊥面PAD;
(2)求证EF∥面PAD.证明
(1)因为PD⊥面ABCD,所以PD⊥AB.………………2分在平面ABCD中,D作DM//AB,则由AB=12得DM=
12.又BC=10,AD=BC,则AD=5,从而CM=
5.于是在△CDM中,CD=13,DM=12,CM=5,则由及勾股定理逆定理得DM⊥BC.又DM//AB,BC//AD,所以AD⊥AB.又PD∩AD=D,所以AB⊥面PAD.………………6分
(2)[证法一]取AB的中点N,连结EN、FN.因为点E是棱PB的中点,所以在△ABP中,EN//PA.又PA面PAD,所以EN//面PAD.………………8分因为点F分别是边CD的中点,所以在梯形ABCD中,FN//AD.又AD面PAD,所以FN//面PAD.……………10分又EN∩FN=N,PA∩DA=A,所以面EFN//面PAD.………………12分又EF面EFN,则EF//面PAD.………………14分[证法二]延长CD,BA交于点G.连接PG,EG,EG与PA交于点Q.由题设AD∥BC,且AD=BC,所以CD=DG,BA=AG,即点A为BG的中点.又因为点E为棱PB的中点,所以EA为△BPG的中位线,即EA∥PG,且EA:PG=1:2,故有EA:PG=EQ:QG=1:
2.………………10分又F是边CD的中点,并由CD=DG,则有FD:DG=1:
2.………………12分在△GFE中,由于EQ:QG=1:2,FD:DG=1:2,所以EF∥DQ.又EF面PAD,而DQ面PAD,所以EF∥面PAD.………………14分17.(本小题满分14分)时下,网校培训越来越受到广大青年的喜爱,它已经成为青年学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位千套)与销售价格(单位元/套)满足的关系式,其中,为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求的值;
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)解
(1)因为时,,代入关系式,得,解得.
(2)由
(1)可知,套题每日的销售量,所以每日销售套题所获得的利润从而.令,得且在上,函数单调递增;在上,,函数单调递减,所以是函数在内的极大值点,也是最大值点,所以当时,函数取得最大值.故当销售价格为
3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.--------------------------14分18.(本小题满分16分)已知椭圆C的中点在原点焦点在x轴上离心率等于它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.1求椭圆C的方程;2点P23Q2-3在椭圆上A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点i若直线AB的斜率为求四边形APBQ面积的最大值;ii当A、B运动时满足∠APQ=∠BPQ试问直线AB的斜率是否为定值请说明理由.解:1设椭圆的方程为则.由得∴椭圆C的方程为………………4分2i解:设直线的方程为代入得由解得由韦达定理得.………………………6分四边形的面积∴当………9分ii解:当则、的斜率之和为0设直线的斜率为则的斜率为的直线方程为,由1代入2整理得………11分同理的直线方程为可得∴……………14分所以的斜率为定值……16分19.(本小题满分16分)已知函数,,其中,设.
(1)当时试将表示成的函数并探究函数是否有极值;7分
(2)当时,若存在,使成立,试求的范围.9分解
(1)∵∴…………………………………………………3分∴设是的两根,则,∴在定义域内至多有一解欲使在定义域内有极值,只需在内有解,且的值在根的左右两侧异号,∴得………………………………………6分综上当时在定义域内有且仅有一个极值,当时在定义域内无极值…7分
(2)∵存在,使成立等价于的最大值大于0…9分∵,∴∴得.当时,得;当时,得…………………………12分当时,不成立……………………………………13分当时,得;当时,得;综上得或…………16分20.(本小题满分16分)设数列{bn}满足bn+2=-bn+1-bnn∈N*,b2=2b
1.1若b3=3,求b1的值;2求证数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列;3设数列{Tn}满足Tn+1=Tnbn+1n∈N*,且T1=b1=-,若存在实数p,q,对任意n∈N*都有p≤T1+T2+T3+…+Tn<q成立,试求q-p的最小值.1解 ∵bn+2=-bn+1-bn,∴b3=-b2-b1=-3b1=3,∴b1=-1;3分2证明 ∵bn+2=-bn+1-bn
①,∴bn+3=-bn+2-bn+1
②,
②-
①得bn+3=bn,5分∴bn+1bn+2bn+3+n+1-bnbn+1bn+2+n=bn+1bn+2bn+3-bn+1=1为常数,∴数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列.7分3解 ∵Tn+1=Tn·bn+1=Tn-1bnbn+1=Tn-2bn-1bnbn+1=…=b1b2b3…bn+1当n≥2时Tn=b1b2b2…bn*,当n=1时,T1=b1适合*式∴Tn=b1b2b3…bnn∈N*.9分∵b1=-,b2=2b1=-1,b3=-3b1=,bn+3=bn,∴T1=b1=-,T2=T1b2=,T3=T2b3=,T4=T3b4=T3b1=T1,T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=T2,T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=T3,……T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3nb3n+1+T3n-1b3nb3n+1b3n+2+T3nb3n+1b3n+2b3n+3=T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3nb1b2b3=T3n-2+T3n-1+T3n,∴数列{T3n-2+T3n-1+T3nn∈N*是等比数列,首项T1+T2+T3=且公比q=,11分记Sn=T1+T2+T3+…+Tn,
①当n=3kk∈N*时,Sn=T1+T2+T3+T4+T5+T6…+T3k-2+T3k-1+T3k==3,∴≤Sn<3;13分
②当n=3k-1k∈N*时Sn=T1+T2+T3+T4+T5+T6+…+T3k-2+T3k-1+T3k-T3k=3-b1b2b3k=3-4·k∴0≤Sn<3;14分
③当n=3k-2k∈N*时Sn=T1+T2+T3+T4+T5+T6+…+T3k-2+T3k-1+T3k-T3k-1-T3k=3-b1b2b3k-1b1b2-b1b2b3k=3-k-1-k=3-·k,∴-≤Sn<
3.15分综上得-≤Sn<3则p≤-且q≥3,∴q-p的最小值为.16分附加题姓名解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.B.选修4—2矩阵与变换(本小题满分10分)已知曲线,对它先作矩阵对应的变换,再作矩阵对应的变换,得到曲线,求实数的值.解…………………………………2分设P是曲线上的任一点,它在矩阵BA变换作用下变成点,则………5分,则即…………8分又点在曲线上,则,,所以,………………10分C.选修4—4坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,直线m的参数方程为EQ\b\lc\{\a\alx=3+EQ\F2ty=-3+EQ\F2t(t为参数);在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsinθ=8cosθ.若直线m与曲线C交于A、B两点,求线段AB的长.解直线m的普通方程为.………………2分曲线C的普通方程为.………………4分由题设直线m与曲线C交于A、B两点,可令.联立方程,解得,则有,.………………7分于是.故.………………10分22.(本小题满分10分)已知△ABC的三边长为有理数.1求证cosA是有理数;2求证对任意正整数n,cosnA是有理数.[证明]1由AB,BC,AC为有理数及余弦定理知cosA=是有理数.2用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数.
①当n=1时,由1知cosA是有理数,从而有sinA·sinA=1-cos2A也是有理数.
②假设当n=kk≥1时,coskA和sinA·sinkA都是有理数.当n=k+1时,由cosk+1A=cosA·coskA-sinA·sinkA,sinA·sink+1A=sinA·sinA·coskA+cosA·sinkA=sinA·sinA·coskA+sinA·sinkA·cosA,由
①及归纳假设,知cosk+1A与sinA·sink+1A都是有理数.即当n=k+1时,结论成立.综合
①②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数.23.(本小题满分10分)已知集合,其中,表示的所有不同值的个数.
(1)已知集合,,分别求,;
(2)求的最小值.解
(1)由2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得lP=5由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,得lQ=6
(3)不妨设a1<a2<a3<…<an,可得a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an,故ai+aj1≤i<j≤n中至少有2n-3个不同的数,即lA≥2n-3.事实上,设a1,a2,a3,…,an成等差数列,考虑ai+aj1≤i<j≤n,根据等差数列的性质,当i+j≤n时,ai+aj=a1+ai+j-1;当i+j>n时,ai+aj=ai+j-n+an;因此每个和ai+aj1≤i<j≤n等于a1+ak2≤k≤n-1中的一个,或者等于al+an1≤l≤n-1中的一个.故对这样的集合A,lA=2n-3,所以lA的最小值为2n-3.ABPQOxy。