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文本内容:
2019-2020年高三下学期第一次模拟考试数学理试题含答案第Ⅰ卷
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)设集合,,则满足的集合有(A)1个(B)3个(C)4个(D)8个
(2)若复数是纯虚数,则实数等于(A)(B)2(C)(D)-2
(3)已知为等差数列,其前n项和为,若,,则公差d等于(A)1(B)(C)2(D)3
(4)执行如图所示的程序框图,则输出的的值为(A)4(B)5(C)6(D)7
(5)定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,,则的值为(A)(B)(C)(D)
(6)已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则球的表面积是(A)(B)(C)(D)
(7)下列叙述中,正确的个数是
①命题p“”的否定形式为“”;
②O是△ABC所在平面上一点,若,则O是△ABC的垂心;
③“M>N”是“”的充分不必要条件;
④命题“若,则”的逆否命题为“若,则”.(A)1(B)2(C)3(D)4
(8)有以下四种变换方式
①向左平行移动个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的;
②向右平行移动个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的;
③每个点的横坐标缩短为原来的,再向右平行移动个单位长度;
④每个点的横坐标缩短为原来的,再向左平行移动个单位长度.其中能将函数的图象变为函数的图象是()(A)
①和
④(B)
①和
③(C)
②和
④(D)
②和
③
(9)用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为(A)144(B)120(C)108(D)72
(10)已知函数(k∈R),若函数有三个零点,则实数k的取值范围是(A)k≤2(B)-1<k<0(C)-2≤k<-1(D)k≤-2
(11)已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且,则△AFK的面积为(A)4(B)8(C)16(D)32
(12)已知,,且.现给出如下结论
①;
②;
③;
④;
⑤;
⑥.其中正确结论的序号是(A)
①③⑤(B)
①④⑥(C)
②③⑤(D)
②④⑥第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答
二、填空题本大题共4小题,每小题5分
(13)在的展开式中,常数项为______.用数字作答
(14)在中,若,,,则=.
(15)设x,y满足约束条件,向量,且a∥b,则m的最小值为.
(16)已知x,y为正实数,且满足,若对任意满足条件的x,y,都有恒成立,则实数a的取值范围为.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分12分)已知等比数列中,,且满足,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,数列的前n项和为,求.
(18)(本小题满分12分)xx年某大学的自主招生工作分笔试和面试两部分该校从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)分别求第3,4,5组的频率;(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试.(i)已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组,求学生甲和乙同时进入第二轮面试的概率;(ii)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有X名学生被考官D面试,求X的分布列和数学期望.
(19)(本小题满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.(Ⅰ)求证DE∥平面PBC;(Ⅱ)求证AB⊥PE;(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.
(20)(本小题满分12分)已知椭圆C的方程为,其离心率为,经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,P为椭圆上的点,O为坐标原点,且满足,求的取值范围.
(21)(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)若函数在上为减函数,求实数a的最小值;(Ⅱ)若存在,使fx1≤成立,求实数a的取值范围.请考生在第
22、
23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图,已知切⊙于点E,割线PBA交⊙于A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证(Ⅰ);(Ⅱ).
(23)(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程已知圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(Ⅰ)将圆的参数方程化为普通方程,将圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)圆、是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.
(24)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数.(Ⅰ)求不等式的解集;(Ⅱ)若关于x的不等式的解集非空,求实数的取值范围.参考答案
一、选择题
(1)D
(2)B
(3)C
(4)A
(5)A
(6)C
(7)C
(8)A
(9)C
(10)D
(11)D
(12)C
二、填空题
(13)135
(14)3
(15)-6
(16)
三、解答题
(17)解(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为q,依题意,有,解之得或;又由已知单调递增,∴,∴………………4分(Ⅱ)依题意,∴
①,∴
②,∴
①-
②得,………………12分
(18)解(Ⅰ)第3组的频率为
0.3,第4组的频率为
0.2,第5组的频率为
0.
1.……………2分(Ⅱ)(i)设事件A:学生甲和乙同时进入第二轮面试,则(ii)由分层抽样的定义知6名学生有3名来自第3组,2名来自第4组,1名来自第5组,所以X的可能取值为0,1,2,且………………10分分布列如下X012P所以………………12分
(19)解(Ⅰ)D、E分别为AB、AC中点,\DE∥BC.DEË平面PBC,BCÌ平面PBC,∴DE∥平面PBC………………2分(Ⅱ)连结PD,PA=PB,PD⊥AB.DE∥BC,BC⊥AB,DE⊥AB.又,AB⊥平面PDE.PEÌ平面PDE,AB⊥PE.………………6分(Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.…………………7分如图,以D为原点建立空间直角坐标系B100,P00,E00=10,=0).设平面PBE的法向量,令得.DE⊥平面PAB,平面PAB的法向量为.设二面角的A-PB-E大小为,由图知,,所以,即二面角的A-PB-E的大小为.………………12分
(20)解(Ⅰ)由已知可得,所以又解之得.故椭圆的方程为.………………5分(Ⅱ)由消y化简整理得,
①设点的坐标分别为,则.………………8分由于点在椭圆上,所以.从而,化简得,经检验满足
①式.又因为,得3≤4k2+3≤4,有≤≤1,故…………12分
(21)解(Ⅰ)由已知得x>0,x≠1.因fx在上为减函数,故在上恒成立.所以当时,.又,故当,即时,.所以于是,故a的最小值为.………………4分(Ⅱ)命题“若存在使成立”等价于“当时,有”.由
(1),当时,,.问题等价于“当时,有”.
①当时,由
(1),在上为减函数,则=,故.………………8分
②当时,由于在上为增函数,故的值域为,即.(i),即,在恒成立,故在上为增函数,于是,=,矛盾.(ii),即,由的单调性和值域知,存在唯一,使,且满足当时,,为减函数;当时,,为增函数;所以,=,.所以,,与矛盾.综上,得.………………12分
(22)解(Ⅰ)切⊙于点,平分,………………5分(Ⅱ)∽,同理∽,………………10分
(23)解(Ⅰ)由得x2+y2=1,又∵ρ=2cosθ+=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ.∴x2+y2-x+y=0,即………………5分(Ⅱ)圆心距,得两圆相交由得,A10,B,∴………………10分
(24)解(Ⅰ)原不等式等价于或或解之得或或即不等式的解集为………………5分(Ⅱ)∵,∴解此不等式得或………………10分开始是否输出k结束s<100k=k+1s=s+2sk=0s=0(第4题)2222正视图侧视图俯视图(第6题)·············分数
75859510080900.
010.
020.
030.
040.
050.
060.07频率组距PABCED·ABCODEPPABCEDPABCEDxyz。