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2019-2020年高三下学期第五次周末综合测试(理科数学)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域是A.B.C.D.2.函数的零点个数是A.0B.1C.2D.33.已知等差数列{an}与等比数列{bn},满足a3=b3,2b3-b2b4=0,则{an}的前5项和S5=A.5B.10C.20D.404.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,若S4=1,则S8=A.17B.C.5D.5.已知直线l与圆x2+y2=1相切,则直线l的倾斜角为A.B.C.D.6.设函数fx=cosx,把fx的图象向右平移m个单位后,图象恰好为函数y=-fx的图象,则m的值可以为A.B.C.D.π7.设F1-c,
0、F2c,0是椭圆的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为A.B.C.D.8.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数f M→N,若点A1,f
1、B2,f
2、C3f3,△ABC的外接圆圆心为D,且,则满足条件的函数fx有A.6个B.10个C.12个D.16个
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知变量x,y满足则x+y的最小值为_______.
10.已知曲线y=x3+bx+c上一点A1,2的切线为y=x+1,则b2+c2=____.
11.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A,B两点,且,则a=____.12.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为_________.
13.过点的直线l将圆x-22+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=________.
14.已知,则siny-cos2x的最大值为_______
三、解答题本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分12分)已知函数,且y=fx的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点1,
2.I求φII计算f1+f2+...+fxx.
16.(本小题满分12分)已知函数fx=ax3+3x2-x+1a∈R.1当a=-3时,求证fx在R上是减函数;2如果对任意x∈R,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
17.(本小题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,点在直线上,数列{bn}满足,b3=11,且{bn}的前9项和为
153.1求数列{an}和{bn}的通项公式;2设,记数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
18.(本小题满分14分)已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.1试求圆C的方程.2若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B.满足CA⊥CB,求直线l的方程.
19.(本小题满分14分)设数列{an}的前项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-5n+2Sn=An+B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数.I求A与B的值;II证明数列{an}为等差数列;III证明不等式对任何正整数m、n都成立.
20.(本小题满分14分)已知平面内一动点P到点F1,0的距离与点P到y轴的距离的差等于1.I求动点P的轨迹C的方程;II过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.参考答案
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
210.
1311.12.13.14.
三、解答题本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解I∵y=f(x)的最大值为2,A0,A=2.又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω0,,..∵y=fx过1,2点,.,,,又,.II解法一,.∴f1+f2+f3+f4=2+1+0+1=4.又∵y=fx的周期为4,xx=4×502∴f1+f2+…+fxx=4×502=xx.解法二,,,∴f1+f2+f3+f4=4.又y=fx的周期为4,xx=4×502∴f1+f2+…+fxx=4×502=xx.
16.解1a=-3恒成立∴fx在R上是减函数2fx=3ax2+6x-1,由fx≤4x恒成立,∴3ax2+2x-1≤0,
①当a=0时,不成立
②由a≠0时,得综上,实数a的取值范围是17.解1由题意,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+5,当n=1时,a1=S1=6也适合上式,∴an=n+5(n∈N*)∴数列{bn}是等差数列,由{bn}的前9项和为153得,从而又b3=11得d=3,b1=5,∴bn=3n+22,,数列{Tn}是递增数列,∴只要,∴k19∴kmax=1818.(本小题满分14分)已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.1试求圆C的方程.2若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B.满足CA⊥CB,求直线l的方程.解1由题意知此平面区域表示的是以O0,0,P4,0,Q0,2构成的三角形及其内部,且△OPQ是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是2,1,半径是,所以圆C的方程是x-22+y-12=5.2设直线l的方程是y=x+b.因为,所以圆心C到直线l的距离是,即解得所以直线l的方程是
19.设数列{an}的前项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且5n-8Sn+1-5n+2Sn=An+B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数.I求A与B的值;II证明数列{an}为等差数列;III证明不等式对任何正整数m、n都成立.解I由a1=1a2=6a3=11得S1=1,S2=7,S3=18.把n=1,2分别代入(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,得解得,A=-20,B=-8.II由I知,5nSn+1-Sn-8Sn+1-2Sn=-20n-8,即5nan+1-8Sn+1-2Sn=-20n-8,
①又5n+1an+2-8Sn+2-2Sn+1=-20n+1-8.
②②-
①得,5n+1an+2-5nan+1-8an+2-2an+1=-20即5n-3an+2-5n+2an+1=-
20.
③又5n+2an+3-5n+7an+2=-20.
④④-
③得,5n+2an+3-2an+2+an+1=0,∴an+3-2an+2+an+1=0,∴an+3-an+2=an+2-an+1=…=a3-a2=5,又a2-a1=5,因此,数列{an}是首项为1,公差为5的等差数列.III由II知,an=5n-4,(n∈N*),考虑5amn=55mn-4=25mn-
20.,.厖.即,.因此,
20.已知平面内一动点P到点F1,0的距离与点P到y轴的距离的差等于1.I求动点P的轨迹C的方程;II过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点DE,求的最小值.解析I设动点P的坐标为x,y,由题意为.化简得,当x≥0时,y2=4x;当x0时,y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4xx≥0和y=0x0II由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=kx-1.由,得.设,则x1,x2是上述方程的两个实根,于是.因为,所以l2的斜率为.设,则同理可得,x3x4=1故当且仅当即时,取最小值
16.另可设直线参数方程或用极坐标求解.。