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2019-2020年高三下学期第六次月考数学试卷(文科)含解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知全集U=R,N={x|<2x<1},M={x|y=ln(﹣x﹣1)},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|﹣3<x<﹣1}B.{x|﹣3<x<0}C.{x|﹣1≤x<0}D.{x|x<﹣3}2.复数z=i(3﹣i)的共轭复数的虚部是( )A.﹣3iB.﹣3C.D.﹣13.已知命题p∃x∈R,sinx=;命题q∀x∈R,x2﹣4x+5>0,则下列结论正确的是( )A.命题p∧q是真命题B.命题p∧¬q是真命题C.命题¬p∧q是真命题D.命题¬p∨¬q是假命题4.已知f()=,则f′
(1)等于( )A.B.﹣C.﹣D.5.为了得到函数y=cos2x的图象,可以将函数y=sin(2x﹣)的图象( )A.向右平移B.向右平移C.向左平移D.向左平移6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9=( )A.63B.45C.43D.817.设x0是函数f(x)=lnx+x﹣4的零点,则x0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)8.设变量x,y满足约束条件,则z=log2(2x﹣y)的最大值为( )A.log23B.0C.2D.19.运行如图所示的程序框图.若输入x=5,则输出y的值为( )A.49B.25C.33D.710.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是
1、
2、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A.6πB.9πC.3πD.12π11.已知双曲线﹣=1的离心率为,则双曲线的两渐近线的夹角为( )A.B.C.D.12.已知函数f(x)=,函数g(x)=f(x)﹣2x恰有三个不同的零点,则z=2a的取值范围是( )A.[,2)B.[1,4]C.[,4)D.[,4)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1﹣x),则f(﹣)= .14.已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直,则cos(+2α)的值为 .15.已知平面向量,且∥,则实数m的值等于 .16.若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,演算步骤或证明过程)17.设数列{an}的各项均为正数,它的前n项和为Sn,点(an,Sn)在函数y=x2+x+的图象上,其中n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证
(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.
(3)求三棱锥E﹣BCD的体积.19.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选20名女生作为样本,测量她们的体重(单位kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,55]上的女生数之比为21.
(1)求a,b的值;
(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.20.设函数f(x)=ax2+lnx,
(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线斜率是﹣1,求a;
(2)已知a<0,若f(x)≤﹣恒成立,求a的取值范围.21.如图,椭圆C+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B,且|AB|=|BF|.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若点M(﹣,)在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程. 请考生从第
22、
23、24三题中任选一题作答.[选修4-1几何证明选讲]22.如图,⊙O的半径为6,线段AB与⊙相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点E.
(1)求BD长;
(2)当CE⊥OD时,求证AO=AD. [选修4-4坐标系与参数方程]23.已知曲线C1的参数方程为(其中θ为参数),点P(﹣1,0),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0.
(1)分别写出曲线C1的普通方程与直线C2的参数方程;
(2)若曲线C1与直线C2交于A,B两点,求|PA|•|PB|. [选修4-5不等式选讲]24.设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立,求m的最大值. xx学年山东省烟台二中高三(下)第六次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知全集U=R,N={x|<2x<1},M={x|y=ln(﹣x﹣1)},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|﹣3<x<﹣1}B.{x|﹣3<x<0}C.{x|﹣1≤x<0}D.{x|x<﹣3}【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【分析】阴影部分用集合表示为N∩CUM,只要求出M、N进行集合的运算即可.【解答】解图中阴影部分表示的集合N∩CUM,由N={x|<2x<1}={x|﹣3<x<0},M={x|y=ln(﹣x﹣1)={x|x<﹣1},则CUM={x|x≥﹣1},则N∩CUM={x|﹣1≤x<0}.故选C. 2.复数z=i(3﹣i)的共轭复数的虚部是( )A.﹣3iB.﹣3C.D.﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出.【解答】解复数z=i(3﹣i)=3i+1的共轭复数=1﹣3i的虚部为﹣3.故选B. 3.已知命题p∃x∈R,sinx=;命题q∀x∈R,x2﹣4x+5>0,则下列结论正确的是( )A.命题p∧q是真命题B.命题p∧¬q是真命题C.命题¬p∧q是真命题D.命题¬p∨¬q是假命题【考点】复合命题的真假.【分析】根据复合命题真假关系进行判断即可.【解答】解由题意得,因为﹣1≤sinx≤1,所以命题p是假命题,所以¬p为真命题;又因为x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1>0恒成立,所以命题q为真命题,所以命题¬p∧q是真命题,故选C. 4.已知f()=,则f′
(1)等于( )A.B.﹣C.﹣D.【考点】导数的运算;函数解析式的求解及常用方法.【分析】利用换元法求出函数的解析式,再求导,代值计算即可.【解答】解令,则,f(t)==,因此f(x)=,则根据求导公式有f′(x)=﹣,所以f′
(1)=.故选C 5.为了得到函数y=cos2x的图象,可以将函数y=sin(2x﹣)的图象( )A.向右平移B.向右平移C.向左平移D.向左平移【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】由于y=cos2x=sin2(x+),由此根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得出结论.【解答】解y=cos2x=sin(2x+)=sin2(x+),故把函数y=sin(2x﹣)=y=sin[2(x﹣)](x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度,即可得到y=cos2x的图象.故选D. 6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则S9=( )A.63B.45C.43D.81【考点】等差数列的前n项和.【分析】由已知利用等差数列性质前n项和公式列出方程组,由此能求出结果.【解答】解∵等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=9,S6=36,∴由题意,得,解得a1=1,d=2,则S9=9a5=9(a1+4d)=81.故选D. 7.设x0是函数f(x)=lnx+x﹣4的零点,则x0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【考点】函数零点的判定定理.【分析】由函数的解析式可得f
(2)<0,f
(3)>0,再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点x0所在的区间.【解答】解∵x0是函数f(x)=1nx+x﹣4的零点,f
(2)=ln2﹣2<0,f
(3)=ln3﹣1>0,∴函数的零点x0所在的区间为(2,3),故选C. 8.设变量x,y满足约束条件,则z=log2(2x﹣y)的最大值为( )A.log23B.0C.2D.1【考点】简单线性规划.【分析】设2x﹣y=t,作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可.【解答】解令2x﹣y=t,如下图所示,作不等式组所表示的区域,作直线l2x﹣y=t,平移l,可知当x=1,y=0时,tmax=2,zmax=log22=1,故选D. 9.运行如图所示的程序框图.若输入x=5,则输出y的值为( )A.49B.25C.33D.7【考点】程序框图.【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的x,y的值,第三次执行循环体得到y=33,执行是,则输出y=33.【解答】解若输入x=5,第一次执行循环体得到y=9,执行否,则x=9;第二次执行循环体得到y=17,执行否,则x=17;第三次执行循环体得到y=33,执行是,则输出y=33.故选C. 10.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是
1、
2、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )A.6πB.9πC.3πD.12π【考点】球的体积和表面积.【分析】长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,求出直径即可求出表面积.【解答】解由题意得,此问题是球内接长方体,所以可得长方体的对角线长等于球的直径,即,所以,所以求得表面积为.故选B. 11.已知双曲线﹣=1的离心率为,则双曲线的两渐近线的夹角为( )A.B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的方程,求出渐近线方程,利用双曲线的离心率为,可得渐近线的斜率k=±1,即可得到双曲线两条渐近线的夹角.【解答】解双曲线的方程为﹣=1,则渐近线方程为y=±x,∵双曲线的离心率为,∴,∴a2+b2=2a2,得a2=b2,则两渐近线方程,渐近线的斜率k=±1,故两渐近线夹角为,故选D. 12.已知函数f(x)=,函数g(x)=f(x)﹣2x恰有三个不同的零点,则z=2a的取值范围是( )A.[,2)B.[1,4]C.[,4)D.[,4)【考点】函数零点的判定定理.【分析】由已知写出分段函数g(x),求出两段函数的零点,由每一段函数的零点在其定义域内列不等式组求得a的范围,进一步得到z=2a的取值范围.【解答】解由f(x)=,得g(x)=f(x)﹣2x=,而方程﹣x+2=0的解为2,方程x2+3x+2=0的解为﹣1或﹣2,∴,解得﹣1≤a≤2,∴z=2a的取值范围是.故选D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1﹣x),则f(﹣)= ﹣ .【考点】函数的值.【分析】根据函数的周期性和奇偶性求出函数值即可.【解答】解∵f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1﹣x),∴f(﹣)=f(2﹣)=f(﹣)=﹣f()=,故答案为﹣. 14.已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直,则cos(+2α)的值为 .【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】利用同角三角函数的基本关系,诱导公式,求得要求式子的值.【解答】解由题意得,∴=,故答案为. 15.已知平面向量,且∥,则实数m的值等于 .【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系,然后解二元一次方程组即可求出m的值.【解答】解∵平面向量,且∥,∴(2m+1,3)=λ(2,m)=(2λ,λm),∴2m+1=2λ,3=λm.解得m=﹣2或.故答案为. 16.若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 ﹣1≤a<1 .【考点】函数的值域.【分析】f(x)=lnx,在x≥1的值域[0,+∞),要使值域为R,(1﹣a)x+2a最大值必须大于等于0,由一次函数图象及性质即可得到答案.【解答】解∵f(x)=lnx,在x≥1的值域[0,+∞),∴(1﹣a)x+2a在x<1时,最大值必须大于等于0,即满足,解得﹣1≤a<1.故答案为﹣1≤a<1
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,演算步骤或证明过程)17.设数列{an}的各项均为正数,它的前n项和为Sn,点(an,Sn)在函数y=x2+x+的图象上,其中n∈N*.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(Ⅰ)由题意可知,n≥2时,,两式相减可知an﹣an﹣1=4,当n=1时,a1=2,可知数列{an}是以2为首项,以4为公差的等差数列,数列{an}的通项公式;(Ⅱ)由cn===(﹣),采用“裂项法”,即求得数列{cn}的前n项和Tn.【解答】解(Ⅰ)将点(an,Sn)代入函数y=x2+x+,可知,
①当n≥2时,,
②①﹣
②得,即(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣4)=0,∵数列{an}的各项均为正数,∴an﹣an﹣1=4(n≥2),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当n=1时,a1=2,∴数列{an}是以2为首项,以4为公差的等差数列,∴an=4n﹣2(n∈N*).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ)∵cn===(﹣),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴Tn=[(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)],=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣),=,Tn=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证
(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.
(3)求三棱锥E﹣BCD的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.【分析】
(1)连接AC交BD于点O,连接OE,利用中位线定理得出OE∥PA,故PA∥平面EDB;
(2)由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC,结合BC⊥CD得BC⊥平面PCD,于是BC⊥DE,结合DE⊥PC得DE⊥平面PBC,故而DE⊥PB,结合PB⊥EF即可得出PB⊥平面DEF;
(3)依题意,可得VE﹣BCD=VP﹣BCD=S△BCD•PD.【解答】证明
(1)连接AC交BD于点O,连接OE.∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.又E为PC的中点,∴OE∥PA.又EO⊂平面BDE,PA⊄平面BDE∴PA∥平面BDE.
(2)∵PD⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形,∴BC⊥CD.又PD∩DC=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,∴BC⊥平面PCD.又DE⊂平面PCD,∴BC⊥DE.∵PD=DC,E是PC的中点,∴DE⊥PC.又PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PC∩BC=C,∴DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB,且PD∩DC=D,∴PB⊥平面DEF.
(3)∵E是PC的中点,∴VE﹣BCD=VP﹣BCD=S△BCD•PD==. 19.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选20名女生作为样本,测量她们的体重(单位kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,55]上的女生数之比为21.
(1)求a,b的值;
(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】
(1)根据频率的求法及所有小组的频率和为1,构造关于a,b的方程组,解之即得a,b的值;
(2)根据概率的求法,计算可得答案,分别求出包含基本事件及从(50,60]中任意抽取2个个体基本事件总数,最后求出它们的比值即可.【解答】解
(1)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a(人),样本中体重在区间(50,55]上的女生有b×5×20=100b(人),依题意,有100a=2×100b,即a=2b
①,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据频率分布直方图可知(
0.02+b+
0.06+a)×5
②,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立
①②得a=
0.08,b=
0.04;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)样本中体重在区间(50,55]上的女生有
0.04×5×20=4人,体重在区间(55,60]上的女生有
0.2×5×20=2人,可知从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况,可知其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况,记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M,则.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20.设函数f(x)=ax2+lnx,
(1)若函数y=f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线斜率是﹣1,求a;
(2)已知a<0,若f(x)≤﹣恒成立,求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】
(1)求出函数的导数,得到f′
(1)=﹣1,求出a的值即可;
(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值,得到关于a的不等式,解出即可.【解答】解
(1)由f(x)=ax2+lnx,可得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以f
(1)=﹣1,解得a=﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分
(2).令f(x)=0,则.当时,f(x)>0;当时,f(x)<0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故为函数f(x)的唯一极大值点,所以f(x)的最大值为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意有,解得.所以a的取值范围为.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21.如图,椭圆C+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A、B,且|AB|=|BF|.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若点M(﹣,)在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(Ⅰ)由已知得,由此能求出.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=4b2,设椭圆C.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由,,得,直线l的方程为2x﹣y+2=0.由,由此能求出椭圆C的方程.【解答】(本题满分13分)解(Ⅰ)由已知,即,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2﹣c2)=5a2,∴.…(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=4b2,∴椭圆C.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由,,得,即,即,从而,进而直线l的方程为,即2x﹣y+2=0.…由,即17x2+32x+16﹣4b2=0..,.∵OP⊥OQ,∴,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.从而,解得b=1,∴椭圆C的方程为.… 请考生从第
22、
23、24三题中任选一题作答.[选修4-1几何证明选讲]22.如图,⊙O的半径为6,线段AB与⊙相交于点C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB与⊙O相交于点E.
(1)求BD长;
(2)当CE⊥OD时,求证AO=AD.【考点】相似三角形的判定.【分析】
(1)证明△OBD∽△AOC,通过比例关系求出BD即可.
(2)通过三角形的两角和,求解角即可.【解答】解
(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB.∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴,∵OC=OD=6,AC=4,∴,∴BD=9.…
(2)证明∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A.∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO.∴AD=AO… [选修4-4坐标系与参数方程]23.已知曲线C1的参数方程为(其中θ为参数),点P(﹣1,0),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0.
(1)分别写出曲线C1的普通方程与直线C2的参数方程;
(2)若曲线C1与直线C2交于A,B两点,求|PA|•|PB|.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】
(1)利用同角三角函数的关系消去参数得出C1的普通方程,把C2的极坐标方程先化成普通方程求出倾斜角和一个特殊点,再得出标准参数方程;
(2)把直线的标准参数方程代入C1的普通方程,利用根与系数的关系和参数的几何意义解出.【解答】解
(1)曲线C1的普通方程为,直线C2的普通方程为x﹣y+1=0,可知该直线过点P(﹣1,0),倾斜角为45°,所以直线C2的参数方程为(t为参数).
(2)将代入,得,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则,于是|PA|•|PB|=. [选修4-5不等式选讲]24.设函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立,求m的最大值.【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.【分析】
(1)对x讨论,分当x≥4时,当﹣≤x<4时,当x<﹣时,分别解一次不等式,再求并集即可;
(2)运用绝对值不等式的性质,求得F(x)=f(x)+3|x﹣4|的最小值,即可得到m的范围,从而求m的最大值.【解答】解
(1)当x≥4时,f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0,得x>﹣5,所以x≥4成立;当时,f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0,得x>1,所以1<x<4成立;当时,f(x)=﹣x﹣5>0,得x<﹣5,所以x<﹣5成立.综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<﹣5}.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)令F(x)=f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9,当时等号成立.即有F(x)的最小值为9,所以m≤9.即m的最大值为9.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ xx年12月1日。