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2019-2020年高三下学期综合测试
(一)数学(文)试题注意事项1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用锚笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.
一、选择题本题共10小题,每小题5分,共50分1.设复数z=1-3i2+i其中i是虚数单位,则复数z在复平面上所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量a=1,-2,b=m,4,且a∥b,那么2a-b等于A.4,0B.0,4C.4-8D.-4,83.下列命题中,错误的是A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.若直线l不平行平面α,则在平面α内不存在与l平行的直线D.如果平面α不垂直平面,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面4.设数列是等差数列,若数列的前n项和Sn取得最小值为A.4B.7C.8D.155.已知则“a=b”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.如右图,设AB两点在河的两岸,一测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45º,∠CAB=105º后,就可以计算出AB两点的距离为(精确到
0.1)A.
70.7mB.
78.7mC.
86.6mD.
90.6m7.已知z=2x+y,其中x,y满足,且z的最大值是最小值的4倍,则m的值是A.B.C.D.8,如图所示的程序框图运行的结果A.B.C.D.9.通过随机询问110名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑线还是愿意走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列表由,算得附表参照附表,得到的正确结论是A.在犯错误的概率不超过O.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关”B在犯错误的概率不超过O.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关”c.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”D.有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
10.对于任意的实数a、b,记max.设其中gx=y=fx是奇函数.当x≥0时,y=fx的图象与gx的图象如图所示.则下列关于函数y=Fx的说法中,正确的是A.y=Fx有极大值F-1且无最小值B.y=Fx为奇函数c.y=Fx的最小值为-2且最大值为2D.y=Fx在-3,0上为增函数
二、填空题本题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,共(20分)一必做题11~13题11.某赛季,甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示,若甲运动员的中位数为a,乙运动员的众数为b,则a-b=____________.12.已知抛物线y2=4x的焦点为F准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足则∠NMF______________.13.若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足
①X属于τ,ø属于;
②τ中任意多个元素的并集属于τ;
③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={d,b,c},对于下面给出的四个集合τ
①②其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是_____________.二选做题
14、15题,考生只能从中选做一题14.坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,圆C的极坐标方程为,则圆心的极坐标为_____________.15.几何证明选做题如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90º,AD ABBC=346,E、F分别是AB、CD上的点,AE AB=DF DC=13.若四边形ABCD的周长为1,则四边形AEFD的周长为___________.三.解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.本小题满分12分如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.I如果A、B两点的纵坐标分别为、、求COSα和sinβ:Ⅱ在I的条件下,求cosβ-α的值Ⅲ已知点,求函数的值域
17.本小题满分12分如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数箭头指向两个区域的边界时重新转动,且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘,得分记为(ab假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动.Ⅰ请列出一个家庭得分a,b的所有情况;Ⅱ若游戏规定一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和,且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品.请问一个家庭获奖的概率为多少
18.本小题满分14分如图,正三棱锥O-ABC的三条侧棱OAOBOC两条垂直,且长度为
2.E,F分别是AB,AC的中点,H是EF的中点,过EF的一个平面与侧棱OA,OBOC或其延长线分别相交于A1B1C1,已知Ⅰ证明B1C1⊥平面OAH;Ⅱ求三棱锥O-A1B1C1体积.19.本小题满分14分已知数列的前n项为和Sn,点在直线上.数列满足且b3=11,前9项和为153.I求数列的通项公式;II设,问是否存在m∈N*,使得成立若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
20.本小题满分14分已知点A-1,O,B1,0,动点M的轨迹曲线C满足I求曲线C的方程;II试探究曲线C上是否存在点P,使直线PA与PB的斜率若存在,请指出共有几个这样的点并说明理由不必具体求出这些点的坐标.21.本小题满分14分设函数,其中I当a=1时,求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程;Ⅱ当a0时,求函数fx的极大值和极小值;III当a=2时,是否存在函数y=fx图像上两点以及函数y=f/x图像上两点,使得以这四点为顶点的四边形ABCD同时满足如下三个条件
①四边形ABCD是平行四边形
②AB⊥x轴;
③=4.若存在,指出四边形ABCD的个数;若不存在,说明理由.参考答案
一、选择题本题共10小题,每小题5分,共50分
二、填空题本题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,共20分
11.
812.30º
13.
②④
14.
15.三.解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.【解析】Ⅰ由三角函数的定义,得又α是锐角,所以…4分Ⅱ由Ⅰ知.因为是钝角,所以所以.……………8分Ⅲ由题意可知,所以因为从而因此函数的值域为.………………12分17.【解析】Ⅰ由题意可知,一个家庭的得分情况共有9种,分别为22,23,25,32,33,35,53,52,55.……………6分Ⅱ记事件A一个家庭在游戏中获奖,则符合获奖条件的得分情况包括22,33,35,53,55共5种,…………………………10分所以.所以一个家庭获奖的概率为.……………12分18.【解析】Ⅰ依题设,EF是△ABC的中位线,所以EF∥BC,又EF平面OBC,BC平面0BC,所以EF∥平面0BC,………2分又EF面A1B1C1,面A1B1C1面OBC=B1Cl,所以EF∥B1C1………4分又H是EF的中点,所以AH⊥EF,则AH⊥B1C1.…………5分因为OA⊥OB,OA⊥OC,OBOC=O,所以OA⊥平面OBC而B1Cl平面OBC,所以OA⊥B1C1,又OAAH=A,所以B1C1⊥平面OAH.……………8分Ⅱ作EM⊥OB1于M,则EM∥OA,则M是OB的中点.则EM=OM=1.设OB1=x,则MB1=x-1,由得.解得x=3.即OB1=OC1=3.…………11分从而.…………14分19.【解析】解Ⅰ由题意,得即.…………………1分故当n≥2时,.………3分当n=1时,a1=Sl=6,所以,an=n+5n∈N*.……………4分又bn+1-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+l=bn+1-bnn∈N*,所以为等差数列,………………5分于是.而b3=11,故………………7分因此,bn=b3+3n-3=3n+2,即bn=3n+2n∈N*.……………………………………8分Ⅱ…………………………9分
①当m为奇数时,m+15为偶数.此时fm+15=3m+15+2=3m+47,5fm=5m+5=5m+25,所以3m+47=5m+25,m=11.………………………………………………1分
②当m为偶数时,m+15为奇数,此时fm+15=m+15+5=m+20,5fm=53m+2=15m+10,所以m+20=15m+10,m=舍去.……………………………………13分综上,存在唯一正整数m=11,使得fm+15=5fm成立.……………………14分20.【解析】Ⅰ设Mx,y,在△MAB中,根据余弦定理得.…………2分即而所以.所以…………5分又因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆点M在x轴上也符合题意,所以a=2,c=1.所以曲线C的方程为.…………7分Ⅱ由Ⅰ知曲线C是椭圆,它的两个焦点坐标分别为A-1,0,B1,0,设Px,y是椭圆上的点,由,……11分这是实轴在x轴,顶点是椭圆的两个焦点的双曲线,它与椭圆的交点即为点P.由于双曲线的两个顶点在椭圆内,根据椭圆和双曲线的对称性可知,它们必有四个交点.即圆心M的轨迹上存在四个点P,使直线PA与PB的斜率=1.………………………14分21.【解析】Ⅰ当a=1时,fx=-x3+x2+x+1,得f2=-1,且f/x=-3x2+2x+1f/2=-7.所以,曲线fx在点2f2处的切线方程是y+1=-7x-2,整理得7x+y-13=0.……3分Ⅱ令fx=0,解得.由于a0故…………………4分当x变化时,f/x,fx的变化如下表因此,函数处取得极小值;函数fx在x=a处取得极大值fa,且fa=1+a3.………………………………………8分Ⅲ若存在满足题意的四边形ABCD,则方程=4至少有两个相异实根,且每个实根对应一条垂直于x轴且与fx、f/x图像均相交的线段这些线段长度均相等.………1O分
①当时.,令令g/x=0,得x=0或,当x变化时,g/x,gx的变化如下表由表格知,g0为gx的极大值,为gx的极大值而故gx的图像与x轴有且只有一个交点,gx有且只有一个零点.……………………11分
②当x3-5x2+3=-4时,x3-5x2+7=0,令gx=x3-5x2+7,g/x=3x2-10x,由
①知g0为gx的极大值,为gx的极大值而,而故gx的图像与x轴有三个交点,gx有三个零点,……………………2分由
①②知,方程|x3-5x2+3|=4有四个不同的实根,从小到大依次记为x
1、x
2、x
3、x4,这四个根对应的四条线段中的每两条对应一个平行四边形ABCD,共有x
1、x2,x
1、x
32、x3,x
2、x4,x
3、x46个,所以满足题意的平行四边形ABCD有6个.……………………14分。