还剩11页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2019-2020年高三冲刺模拟
(一)数学(理)试题含解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)(xx•山东一模)复数z=|(﹣i)i|+i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为( ) A.2﹣iB.2+iC.4﹣iD.4+i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】直接利用复数模的公式求复数的模,再利用虚数单位i的运算性质化简后得z,则复数z的共轭复数可求.【解析】解由z=|(﹣i)i|+i5=,得.故选A.【点评】本题考查复数模的求法,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题. 2.(5分)(xx•山东一模)若[﹣1,1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1},则实数t的取值范围是( ) A.[﹣1,0]B.[2﹣2,0]C.(﹣∞,﹣2]D.[2﹣2,2+2]【考点】集合的包含关系判断及应用.【专题】计算题;函数的性质及应用;集合.【分析】令y=x2﹣tx+t,由题意,将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围.【解析】解令y=x2﹣tx+t,
①若t=0,则{x||x2≤1}=[﹣1,1],成立,
②若t>0,则ymax=(﹣1)2﹣t(﹣1)+t=2t+1≤1,即t≤0,不成立;
③若t<0,则ymax=
(1)2﹣t+t=1≤1,成立,ymin=()2﹣t•+t≥﹣1,即t2﹣4t﹣4≤0,解得,2﹣2≤t≤2+2,则2﹣2≤t<0,综上所述,2﹣2≤t≤0.故选B.【点评】本题考查了集合的包含关系的应用,属于基础题. 3.(5分)(xx•山东一模)已知M(2,m)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.【分析】根据抛物线的定义和性质,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【解析】解抛物线的交点坐标为F(,0),准线方程为x=﹣,则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣(﹣)=2+,若p≥1,则PF=2+≥,此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立,即充分性不成立,若点M到抛物线焦点的距离不少于3,即PF=2+≥3,即p≥2,则p≥1,成立,即必要性成立,故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件,故选B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键. 4.(5分)(xx•山东一模)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+的离心率为( ) A.B.C.或D.或【考点】圆锥曲线的共同特征;等比数列的性质.【专题】计算题.【分析】先根据等比中项的性质求得m的值,分别看当m大于0时,曲线为椭圆,进而根据标准方程求得a和b,则c可求得,继而求得离心率.当m<0,曲线为双曲线,求得a,b和c,则离心率可得.最后综合答案即可.【解析】解依题意可知m=±=±4当m=4时,曲线为椭圆,a=2,b=1,则c=,e==当m=﹣4时,曲线为双曲线,a=1,b=2,c=则,e=故选D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题,考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用,对基础的把握程度. 5.(5分)(xx•山东一模)在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为( ) A.B.2C.2D.4【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】由条件求得c=2=b,可得B的值,再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值.【解析】解△ABC中,∵b=2,A=120°,三角形的面积S==bc•sinA=c•,∴c=2=b,故B=(180°﹣A)=30°.再由正弦定理可得=2R==4,∴三角形外接圆的半径R=2,故选B.【点评】本题主要考查正弦定理的应用,属于基础题. 6.(5分)(xx•山东一模)某几何体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此几何体的外接球的表面积为( ) A.3πB.4πC.2πD.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】如图所示,该几何体是正方体的内接正四棱锥.因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线,利用球的表面积计算公式即可得出.【解析】解如图所示,该几何体是正方体的内接正四棱锥.因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线,其表面积S=4πR2=3π.故选A.【点评】本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 7.(5分)(xx•山东一模)定义max{a,b}=,设实数x,y满足约束条件,则z=max{4x+y,3x﹣y}的取值范围是( ) A.[﹣8,10]B.[﹣7,10]C.[﹣6,8]D.[﹣7,8]【考点】简单线性规划.【专题】分类讨论;转化思想;不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,结合新定义得到目标函数的分段函数,然后化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解析】解由约束条件作出可行域如图,由定义max{a,b}=,得z=max{4x+y,3x﹣y}=,当x+2y≥0时,化z=4x+y为y=﹣4x+z,当直线y=﹣4x+z过B(﹣2,1)时z有最小值为4×(﹣2)+1=﹣7;当直线y=﹣4x+z过A(2,2)时z有最大值为4×2+1×2=10;当x+2y<0时,化z=3x﹣y为y=3x﹣z,当直线y=3x﹣z过B(﹣2,1)时z有最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7;当直线y=﹣4x+z过A(2,﹣2)时z有最大值为4×2﹣1×(﹣2)=10.综上,z=max{4x+y,3x﹣y}的取值范围是[﹣7,10].故选B.【点评】本题是新定义题,考查了简单的线性规划,考查了数形结合及数学转化思想方法,是中档题. 8.(5分)(xx•山东一模)函数y=log3(x+3)﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则的最小值为( ) A.2B.4C.8D.16【考点】基本不等式;对数函数的图像与性质.【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标,再根据点在直线上,代入化简得到2m+n=1,再根据基本不等式,即可求出结果【解析】解∵y=log3(x+3)﹣1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,当x+3=1时,即x=﹣2时,y=﹣1,∴A点的坐标为(﹣2,﹣1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴﹣2m﹣n+1=0,即2m+n=1,∵m,n均大于0,∴=+=2+++2≥4+2=8,当且仅当m=,n=时取等号,故的最小值为8,故选C【点评】本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式,属于中档题 9.(5分)(xx•山东一模)已知△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,且acosC+c=b,若a=1,c﹣2b=1,则角B为( ) A.B.C.D.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】解三角形.【分析】已知等式利用正弦定理化简,整理求出cosA的值,求出A的度数,利用余弦定理列出关系式,把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程,与已知等式联立求出b与c的值,再利用正弦定理求出sinB的值,即可确定出B的度数.【解析】解已知等式利用正弦定理化简得sinAcosC+sinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由sinC≠0,整理得cosA=,即A=,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,即1=b2+c2﹣bc
①,与c﹣2b=1联立,解得c=,b=1,由正弦定理=,得sinB===,∵b<c,∴B<C,则B=.故选B.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键. 10.(5分)(xx•山东一模)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l y=g(x),当x≠x0时,若>0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”,则f(x)=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是( ) A.1B.C.eD.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题;新定义;导数的概念及应用;导数的综合应用.【分析】当a=4时,函数y=H(x)在其图象上一点P(x0,f(x0))处的切线方程为y=g(x)=(2x0+﹣6)(x﹣x0)++x02﹣6x0+4lnx0.由此能推导出y=h(x)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标.【解析】解当a=4时,函数y=h(x)在其图象上一点P(x0,h(x0))处的切线方程为y=g(x)=(2x0+﹣6)(x﹣x0)+x02﹣6x0+4lnx0,设m(x)=h(x)﹣g(x)=x2﹣6x+4lnx﹣(2x0+﹣6)(x﹣x0)﹣x02+6x0﹣4lnx0,则m(x0)=0.m′(x)=2x+﹣6﹣(2x0+﹣6)=2(x﹣x0)(1﹣)=(x﹣x0)(x﹣)若x0<,φ(x)在(x0,)上单调递减,∴当x∈(x0,)时,m(x)<m(x0)=0,此时<0;若x0,φ(x)在(,x0)上单调递减,∴当x∈(,x0)时,m(x)>m(x0)=0,此时<0;∴y=h(x)在(0,)∪(,+∞)上不存在“类对称点”.若x0=,(x﹣)2>0,∴m(x)在(0,+∞)上是增函数,当x>x0时,m(x)>m(x0)=0,当x<x0时,m(x)<m(x0)=0,故>0.即此时点P是y=f(x)的“类对称点”综上,y=h(x)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标.故选B.【点评】本题考查函数的单调增区间的求法,探索满足函数在一定零点下的参数的求法,探索函数是否存在“类对称点”.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用,此题是难题.
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)(xx•山东一模)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a,若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3},则实数a的值为 a=1 .【考点】其他不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】不等式即|2x﹣a|≤6﹣a,解得a﹣3≤x≤3.再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得a﹣3=﹣2,由此求得实数a的值.【解析】解由题意可得,不等式即|2x﹣a|≤6﹣a,∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a,解得a﹣3≤x≤3.再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得a﹣3=﹣2,故a=1,故答案为a=1.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 12.(5分)(xx•山东一模)已知点A(2,0)抛物线C x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM||MN|= 1 .【考点】抛物线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标,从而得到AF的斜率k=﹣.过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中,根据tan∠MNP=,从而得到|PN|=2|PM|,进而算出|MN|=|PM|,由此即可得到|FM||MN|的值.【解析】解∵抛物线C x2=4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0),∴抛物线的准线方程为l y=﹣1,直线AF的斜率为k==﹣,过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|,∵Rt△MPN中,tan∠MNP=﹣k=,∴=,可得|PN|=2|PM|,得|MN|==|PM|因此可得|FM||MN|=|PM||MN|=1.故答案为1.【点评】本题给出抛物线方程和射线FA,求线段的比值.着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题. 13.(5分)(xx•山东一模)已知函数则= .【考点】定积分.【专题】导数的综合应用.【分析】=,由定积分的几何意义可知表示上半圆x2+y2=1(y≥0)的面积,即可得出.利用微积分基本定理即可得出dx=.【解析】解=,由定积分的几何意义可知表示上半圆x2+y2=1(y≥0)的面积,∴=.又dx==e2﹣e.∴==好.故答案为.【点评】本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理,属于中档题. 14.(5分)(xx•山东一模)把座位编号为
1、
2、
3、
4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为 96 .(用数字作答)【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】概率与统计.【分析】根据题意,先将票分为符合题意要求的4份,可以转化为将
1、
2、
3、
4、5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号的问题,用插空法易得其情况数目,再将分好的4份对应到4个人,由排列知识可得其情况数目,由分步计数原理,计算可得答案.【解析】解先将票分为符合条件的4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人一张,1人2张,且分得的票必须是连号,相当于将
1、
2、
3、
4、5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有C43=4种情况,再对应到4个人,有A44=24种情况,则共有4×24=96种情况.故答案为96.【点评】本题考查排列、组合的应用,注意将分票的问题转化为将
1、
2、
3、
4、5这五个数用3个板子隔开,分为四部分的问题,用插空法进行解决. 15.(5分)(xx•山东一模)已知函数f(x)=xex,记f0(x)=f′(x),f1(x)=f′(x0),…,fn(x)=f′n﹣1(x)且x2>x1,对于下列命题
①函数f(x)存在平行于x轴的切线;
②>0;
③f′xx(x)=xex+xxex;
④f(x1)+x2<f(x2)+x1.其中正确的命题序号是
①③ (写出所有满足题目条件的序号).【考点】导数的运算.【专题】导数的概念及应用.【分析】根据导数的几何意义判断
①正确,根据导数和函数的单调性判断
②错;根据导数的运算,得到
③正确,根据导数与函数的单调性的关系判断
④错【解析】解对于
①,因为f′(x)=(x+1)ex,易知f′(﹣1)=0,函数f(x)存在平行于x轴的切线,故
①正确;对于
②,因为f′(x)=(x+1)ex,所以x∈(﹣∞,﹣1)时,函数f(x)单调递减,x∈(﹣1,+∞)时,函数f(x)单调递增,故>0的正负不能定,故
②错;对于
③,因为f1(x)=f′(x0)=xex+2ex,f2(x)=f′(x1)=xex+3ex,…,fn(x)=f′n﹣1(x)=xex+(n+1)ex,所以f′xx(x)=fxx(x)=xex+xxex;故
③正确;对于
④,f(x1)+x2<f(x2)+x1等价于f(x1)﹣x1<f(x2)﹣x2,构建函数h(x)=f(x)﹣x,则h′(x)=f′(x)﹣1=(x+1)ex﹣1,易知函数h(x)在R上不单调,故
④错;故答案为
①③【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系,以及导数的运算法则,属于中档题
三、解答题本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)(xx•山东一模)已知函数f(x)=2sinx+2sin(x﹣).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知f(A)=,a=b,证明C=3B.【考点】两角和与差的正弦函数;正弦定理.【专题】计算题;三角函数的图像与性质;解三角形.【分析】
(1)运用两角差的正弦公式,即可化简,再由正弦函数的单调增区间,即可得到;
(2)由f(A)=,及0<A<π,即可得到A=,再由正弦定理,及边角关系,即可得证.【解析】
(1)解函数f(x)=2sinx+2sin(x﹣)=2(sinx+sinx﹣cosx)=2(sinx﹣cosx)=2sin(x﹣),令2kπ﹣≤x﹣≤2k,k∈Z,则2kπ﹣≤x≤2kπ,则f(x)的单调递增区间是[2kπ﹣,2kπ],k∈Z.
(2)证明由f(A)=,则sin(A﹣)=,由0<A<π,则﹣<A﹣<,则A=,由=,a=b,则sinB=,由a>b,A=,B=,C=,故C=3B.【点评】本题考查三角函数的化简,正弦函数的单调区间,考查正弦定理及边角关系,注意角的范围,属于中档题. 17.(12分)(xx•山东一模)xx年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子,每个盒子中放一只福娃,每种福娃的数量如下表福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量11123从中随机地选取5只.(Ⅰ)求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率;(Ⅱ)若完整地选取奥运会吉祥物记10分;若选出的5只中仅差一种记8分;差两种记6分;以此类推.设ξ表示所得的分数,求ξ的分布列及数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据排列组合知识得出P=运算求解即可.(Ⅱ)确定ξ的取值为10,8,6,4.分别求解P(ξ=10),P(ξ=8),P(ξ=6),P(ξ=4),列出分布列即可.【解析】解(Ⅰ)选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===,(Ⅱ)ξ的取值为10,8,6,4.P(ξ=10)==,P(ξ=8)=,P(ξ=6)==,P(ξ=4)==ξ的分布列为ξ10864P﹣Eξ==
7.5.【点评】本题综合考查了运用排列组合知识,解决古典概率分布的求解问题,关键是确定随机变量的数值,概率的求解,难度较大,仔细分类确定个数求解概率,属于难题. 18.(12分)(xx•山东一模)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE EB=CF FA=CP PB=12(如图1).将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)
(1)求证A1E⊥平面BEP
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;
(3)求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值.【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.【专题】空间角.【分析】
(1)设正三角形ABC的边长为3.在图1中,取BE的中点D,连结DF.由已知条件推导出△ADF是正三角形,从而得到EF⊥AD.在图2中,推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角,且A1E⊥BE.由此能证明A1E⊥平面BEP.
(2)建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小.
(3)分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量,利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值.【解析】
(1)证明不妨设正三角形ABC的边长为3.在图1中,取BE的中点D,连结DF.∵AE EB=CF FA=12,∴AF=AD=2,而∠A=60度,∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1,∴EF⊥AD.在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角.由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE.又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.
(2)建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),F(0,,0),P(1,,0),则,.设平面ABP的法向量为,由平面ABP知,,即令,得,.,,∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度.
(3),设平面A1FP的法向量为.由平面A1FP知,令y2=1,得,.,所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是.【点评】本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成的角的求法,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 19.(12分)(xx•山东一模)数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和为Sn,满足Sn2=an(Sn﹣).
(1)求Sn的表达式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,不等式Tn≥(m2﹣5m)对所有的n∈N*恒成立,求正整数m的最大值.【考点】数列的求和;数列递推式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】
(1)当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,代入利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出.【解析】解
(1)∵Sn2=an(Sn﹣)=.化为,∴数列是首项为==1,公差为2的等差数列.故=1+2(n﹣1)=2n﹣1,∴Sn=.
(2)bn===,故Tn=+…+=.又∵不等式Tn≥(m2﹣5m)对所有的n∈N*恒成立,∴≥(m2﹣5m),化简得m2﹣5m﹣6≤0,解得﹣1≤m≤6.∴正整数m的最大值为6.【点评】本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.(13分)(xx•山东一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(﹣1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.(Ⅰ)求椭圆G的标准方程;(Ⅱ)已知直线l1y=kx+m1与椭圆G交于A,B两点,直线l2y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆G交于C,D两点,且|AB|=|CD|,如图所示.(ⅰ)证明m1+m2=0;(ⅱ)求四边形ABCD的面积S的最大值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.【专题】综合题.【分析】(Ⅰ)根据F1(﹣1,0),∠PF1O=45°,可得b=c=1,从而a2=b2+c2=2,故可得椭圆G的标准方程;(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(ⅰ)直线l1y=kx+m1与椭圆G联立,利用韦达定理,可求AB,CD的长,利用|AB|=|CD|,可得结论;(ⅱ)求出两平行线AB,CD间的距离为d,则,表示出四边形ABCD的面积S,利用基本不等式,即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值.【解析】(Ⅰ)解设椭圆G的标准方程为.因为F1(﹣1,0),∠PF1O=45°,所以b=c=1.所以,a2=b2+c2=2.…(2分)所以,椭圆G的标准方程为.…(3分)(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(ⅰ)证明由消去y得.则,…(5分)所以===.同理.…(7分)因为|AB|=|CD|,所以.因为m1≠m2,所以m1+m2=0.…(9分)(ⅱ)解由题意得四边形ABCD是平行四边形,设两平行线AB,CD间的距离为d,则.因为m1+m2=0,所以.…(10分)所以=.(或)所以当时,四边形ABCD的面积S取得最大值为.…(12分)【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查弦长的计算,考查三角形的面积,同时考查利用基本不等式求最值,正确求弦长,表示出四边形的面积是解题的关键. 21.(14分)(xx•山东一模)已知函数f(x)=aln(x+1)﹣ax﹣x2.(Ⅰ)若x=1为函数f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)讨论f(x)在定义域上的单调性;(Ⅲ)证明对任意正整数n,ln(n+1)<2+.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.【专题】导数的综合应用.【分析】(I)由,f′
(1)=0,知,由此能求出a.(Ⅱ)由,令f′(x)=0,得x=0,或,又f(x)的定义域为(﹣1,+∞),讨论两个根及﹣1的大小关系,即可判定函数的单调性;(Ⅲ)当a=1时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f
(0),即ln(x+1)≤x+x2,由此能够证明ln(n+1)<2+.【解析】解
(1)因为,令f
(1)=0,即,解得a=﹣4,经检验此时,x∈(0,1),f(x)>0,f(x)递增;x∈(1,+∞),f(x)<0,f(x)递减,∴f(x)在x=1处取极大值.满足题意.
(2),令f(x)=0,得x=0,或,又f(x)的定义域为(﹣1,+∞)
①当,即a≥0时,若x∈(﹣1,0),则f(x)>0,f(x)递增;若x∈(0,+∞),则f(x)<0,f(x)递减;
②当,即﹣2<a<0时,若x∈(﹣1,,则f(x)<0,f(x)递减;若,0),则f(x)>0,f(x)递增;若x∈(0,+∞),则f(x)<0,f(x)递减;
③当,即a=﹣2时,f(x)≤0,f(x)在(﹣1,+∞)内递减,
④当,即a<﹣2时,若x∈(﹣1,0),则f(x)<0,f(x)递减;若x∈(0,,则f(x)>0,f(x)递增;若,+∞),则f(x)<0,f(x)递减;
(3)由
(2)知当a=1时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f
(0),即ln(x+1)≤x+x2,∵,∴,i=1,2,3,…,n,∴,∴.【点评】本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性,证明对任意的正整数n.解题时要认真审题,注意导数的合理运用,恰当地利用裂项求和法进行解题.。