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2019年高中数学空间向量与立体几何单元综合测试新人教A版选修2-1
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.以下四组向量中,互相平行的组数为
①a=221,b=3,-2,-2;
②a=84,-6,b=42,-3;
③a=0,-11,b=03,-3;
④a=-320,b=4,-33A.1组 B.2组C.3组D.4组解析∵
②中a=2b,∴a∥b;
③中a=-b,∴a∥b;而
①④中的向量不平行.答案B2.在以下命题中,不正确的个数为
①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=2-2-,则P,A,B,C四点共面;
④若{a,b,c}为空间的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一组基底;
⑤|a·b·c|=|a|·|b|·|c|.A.2个B.3个C.4个D.5个解析
①|a|-|b|=|a+b|⇒a与b共线,但a与b共线时|a|-|b|=|a+b|不一定成立,故不正确;
②b需为非零向量,故不正确;
③因为2-2-1≠1,由共面向量定理知,不正确;
④由基底的定义知正确;
⑤由向量的数量积的性质知,不正确.答案C3.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是 A.与B.与C.与D.与解析建立如图所示的空间直角坐标系.设矩形ABCD的长、宽分别为a,b,PA长为c,则A000,Bb00,D0,a0,Cb,a0,P00,c.则=b,a,-c,=-b,a0,=0,-a,0,=b0,-c,=0,a,-c,=b00,=00,-c,=-b00.∴·=-b2+a2不一定为
0.·=0,·=0,·=
0.答案A4.已知向量e
1、e
2、e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则6a·等于 A.15B.3C.-3D.5解析6a·=3a·b=33e1+2e2-e3·e1+2e3=9|e1|2-6|e3|2=
3.答案B5.如图,AB=AC=BD=1,AB⊂面α,AC⊥面α,BD⊥AB,BD与面α成30°角,则C、D间的距离为 A.1B.2C.D.解析||2=|++|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1+0+0+2×1×1×cos120°=
2.∴||=.答案C6.已知空间三点O000,A-110,B011在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 A.-220B.2,-20C.D.解析由=-110,且点H在直线OA上,可设H-λ,λ,0,则=-λ,λ-1,-1.又BH⊥OA,∴·=0,即-λ,λ-1,-1·-110=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,∴H.答案C7.已知a=cosα,1,sinα,b=sinα,1,cosα,则向量a+b与a-b的夹角是 A.90°B.60°C.30°D.0°解析a+b·a-b=a2-b2=cos2α+sin2α+1-sin2α+1+cos2α=0,∴a+b⊥a-b.答案A8.已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 A.B.C.D.解析以D为坐标原点,以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.则A100,E,F,D1001,l所以=-101,=.设平面AEFD1的法向量为n=x,y,z,则⇒∴x=2y=z.取y=1,则n=212,而平面ABCD的一个法向量为u=001,∵cos〈n,u〉=,∴sin〈n,u〉=.答案C9.在三棱锥PABC中,△ABC为等边三角形,PA⊥平面ABC,且PA=AB,则二面角APBC的平面角的正切值为 A.B.C.D.解析设PA=AB=2,建立如图所示的空间直角坐标系.则B020,C,10,P002,∴=0,-22,=,-10.设n=x,y,z是平面PBC的一个法向量.则即令y=1,则x=,z=
1.即n=.易知m=100是平面PAB的一个法向量.则cos〈m,n〉===.∴正切值tan〈m,n〉=.答案A10.已知=123,=212,=112,点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为 A.B.C.D.解析∵Q在OP上,∴可设Qx,x2x,则=1-x2-x3-2x,=2-x1-x2-2x.∴·=6x2-16x+10,∴x=时,·最小,这时Q.答案C第Ⅱ卷非选择题,共70分
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.已知a=3,-2,-3,b=-1,x-11,且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是__________.解析因为a与b的夹角为钝角,于是-1<cos〈a,b〉<0,因此a·b<0,且a与b的夹角不为π,即cos〈a,b〉≠-
1.解得x∈∪.答案∪12.如图所示,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________.解析=+=+,=+=+,cos〈,〉===.答案13.已知a=x2,-4,b=-1,y3,c=1,-2,z,且a,b,c两两垂直,则x,y,z=__________.解析由题意知解得x=-64,y=-26,z=-
17.答案-64,-26,-1714.已知空间四边形OABC,如图所示,其对角线为OB、AC,M、N分别为OA、BC的中点,点G在线段MN上,且=3,现用基向量、、表示向量,并设=x·+y·+z·,则x、y、z的和为__________.解析=+=+=+=-++-=++,∴x=,y=,z=.∴x+y+z=.答案
三、解答题本大题共4小题,满分50分.15.12分已知a=12,-2.1求与a共线的单位向量b;2若a与单位向量c=0,m,n垂直,求m、n的值.解1设b=λ,2λ,-2λ,而b为单位向量,∴|b|=1,即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=
1.∴λ=±.4分∴b=或b=.6分2由题意,知⇒解得或12分16.12分如下左图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别为AC、AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如下右图.1求证A1C⊥平面BCDE;2若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.解1∵AC⊥BC,DE∥BC,∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D,DE⊥CD,∴DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD,∴A1C⊥平面BCDE.4分2如图所示,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,则A1002,D020,M01,,B300,E220.设平面A1BE的法向量为n=x,y,z,则n·=0,n·=
0.又=30,-2,=-120,∴令y=1,则x=2,z=,∴n=21,.设CM与平面A1BE所成的角为θ.∵=01,,∴sinθ=|cos〈n,〉|=||==.∴CM与平面A1BE所成角的大小为.12分17.12分如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.1求证AM∥平面BDE;2试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60°.解1证明如图,建立空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,则N,E001,∴=.又A,,0,M,∴=.∴=,且NE与AM不共线.∴NE∥AM.又NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,∴AM∥平面BDE.6分2设Pt,t00≤t≤,则=-t,-t1,=,00.又∵与所成的角为60°.=,解之得t=,或t=舍去.故点P为AC的中点.12分18.14分如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙O的直径AB=2,C是的中点,D为AC的中点.1证明平面POD⊥平面PAC;2求二面角BPAC的余弦值.解1证明如图所示,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O000,A-100,B100,C010,P00,,D.设n1=x1,y1,z1是平面POD的一个法向量,则由n1·=0,n1·=0,得4分∴z1=0,x1=y
1.取y1=1,得n1=110.设n2=x2,y2,z2是平面PAC的一个法向量,则由n2·=0,n2·=0,得∴x2=-z2,y2=z2,取z2=1,得n2=-,,1.∵n1·n2=110·-,,1=0,∴n1⊥n
2.从而平面POD⊥平面PAC.8分2∵y轴⊥平面PAB.∴平面PAB的一个法向量为n3=010.由1知,平面PAC的一个法向量为n2=-,,1.设向量n2和n3的夹角为θ,则cosθ===.由图可知,二面角BPAC的平面角与θ相等,∴二面角BPAC的余弦值为.14分。