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2019年高考数学五年高考真题分类汇编第三章三角函数、解三角形理一.选择题1．（xx·湖南高考理）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于 A.B.C.D.【解析】选D 本小题主要考查正弦定理、已知三角函数值求角等知识与方法，考查转化与化归的数学思想．由已知及正弦定理得2sinAsinB＝sinB，因为sinB0，所以sinA＝.又A∈，所以A＝.2．（xx·辽宁高考理）在△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且ab，则∠B＝ A.B.C.D.【解析】选A 本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理，意在考查考生对三角函数基础知识和基本技能的掌握情况．边换角后约去sinB，得sinA＋C＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.3．（xx·浙江高考理）已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝ A.B.C．－D．－【解析】选C 本题考查对任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解，考查考生灵活运用公式以及运算的能力．法一直接法两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－，代入tan2α＝，得到tan2α＝－.法二猜想法由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝，cosα＝，这时sinα＋2cosα＝符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.4．（xx·重庆高考理）4cos50°－tan40°＝ .B.C.D．2－1【解析】选C 本题考查三角函数求值问题，意在考查考生对公式的运用能力．4cos50°－tan40°＝4cos50°－＝－＝＝＝＝＝＝＝.5．（xx·陕西高考理）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】选B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sinB＋C＝sin2A，从而sinB＋C＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝，故选B.6．（xx·江西高考理）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x0xπ，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝fx的图象大致是（）【解析】选D 本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为，显然当x＝0时，y＝，且函数y＝fx是递增函数，可排除B；由平行线分线段成比例定理可知＝，即BE＝，而BE＝CD，所以y＝2EB＋BC＝2－cos0xπ，排除A，C，故选D.7．（xx·山东高考理）将函数y＝sin2x＋φ的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为 A.B.C．0D．－【解析】选B 本题考查三角函数的图象变换、性质等基础知识和基本方法，考查运算求解能力，考查方程思想．把函数y＝sin2x＋φ的图象向左平移个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为.8．（xx·大纲卷高考理）已知函数fx＝cosxsin2x，下列结论中错误的是 A．y＝fx的图象关于点π，0中心对称B．y＝fx的图象关于直线x＝对称C．fx的最大值为D．fx既是奇函数，又是周期函数【解析】选C 本题考查三角函数性质．因为fπ＋x＋fπ－x＝0，所以fx关于点π，0中心对称，排除选项A；因为f＝f＝sinxsin2x，所以fx关于直线x＝对称，排除选项B；由正、余弦函数性质可知，fx既是奇函数，又是周期函数，排除选项D，故选C.9．（xx·湖北高考理）将函数y＝cosx＋sinxx∈R的图象向左平移mm＞0个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A.B.C.D.【解析】选B 本题考查三角函数的图象与性质，意在考查考生对三角函数变形以及图象平移等知识的掌握．y＝cosx＋sinx＝2＝2sin的图象向左平移m个单位后，得到y＝2sin的图象，此图象关于y轴对称，则x＝0时，y＝±2，即2sin＝±2，所以m＋＝＋kπ，k∈Z，由于m0，所以mmin＝，故选B.10．（xx·四川高考理）函数fx＝2sinωx＋φ的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 A．2，－ B．2，－C．4，－D．4，【解析】选A 本题考查三角函数的图象及基本性质，意在考查考生从图象中得到函数性质的转化能力．因为－＝·，所以ω＝2，又因为2×＋φ＝＋2kπk∈Z，且－φ，所以φ＝－，故选A.11．（xx·天津高考理）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC A.B.C.D.【解析】选C 本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用，意在考查考生分析问题的能力．由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝.12．（xx·北京高考文）在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝ A.B.C.D.1【解析】选B 本题主要考查正弦定理，意在考查考生对正、余弦定理掌握的熟练程度，属于容易题．依题意，由＝，即＝，得sinB＝，选B.13．（xx·安徽高考文）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝ A.B.C.D.【解析】选B 本题主要考查解三角形的基本知识，意在考查考生的运算求解能力和推理能力．根据正弦定理可将3sinA＝5sinB化为3a＝5b，所以a＝b，代入b＋c＝2a可得c＝b，然后结合余弦定理可得cosC＝＝－，所以角C＝.14．（xx·山东高考文）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝ A．2B．2C.D．1【解析】选B 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想．由已知及正弦定理得＝＝＝，所以cosA＝，A＝30°.结合余弦定理得12＝2＋c2－2c××，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝
2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足内角和定理，故c＝
2.15．（xx·大纲卷高考文）已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝ A．－B．－C.D.【解析】选A 本题主要考查同角三角函数的基本关系中的平方关系．因为α是第二象限角，所以cosα＝－＝－.16．（xx·大纲卷高考文）若函数y＝sinωx＋φω0的部分图像如图，则ω＝ A．5B．4C．3D．2【解析】选B 本题主要考查三角函数的图像与性质．由函数的图像可得＝·＝－x0＝，解得ω＝
4.17．（xx·福建高考文）将函数fx＝sin2x＋θ的图像向右平移φφ0个单位长度后得到函数gx的图像，若fx，gx的图像都经过点P，则φ的值可以是 A.B.C.D.【解析】选B 本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数fx的图像过点P，所以θ＝，所以fx＝sin；又函数fx的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数gx＝sin，所以sin＝，所以φ可以为.18．（xx·新课标Ⅱ卷高考文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为 A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1【解析】选B 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的内角和定理及面积公式等知识在解三角形中的应用，意在考查考生的基本运算能力及转化与化归思想的应用．由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝
2.又sinA＝sinπ－B－C＝sinB＋C＝sinBcosC＋cosBsinC＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＋
1.19．（xx·新课标Ⅱ卷高考文）已知sin2α＝，则cos2＝ A.B.C.D.【解析】选A 本题主要考查利用二倍角公式及降幂公式、诱导公式等知识求三角函数的值，考查三角恒等变换，意在考查考生的运算求解能力．法一cos2＝＝1－sin2α＝.法二cos＝cosα－sinα，所以cos2＝cosα－sinα2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝.20．（xx·湖南高考文）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于 A.B.C.D.【解析】选A 本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2asinB＝b可化为2sinAsinB＝sinB，又sinB≠0，所以sinA＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.21．（xx·浙江高考文）函数fx＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是 A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【解析】选A 本题主要考查三角变换以及三角函数的性质等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度，以及简单的转化与化归能力、运算求解能力．由fx＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，得最小正周期为π，振幅为
1.
22.（xx·新课标Ⅰ卷高考文）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝ A．10B．9C．8D．5【解析】选D 本题主要考查三角函数的化简，考查利用余弦定理解三解形以及方程思想．化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据，解方程，得b＝
5.23．（xx·天津高考文）函数fx＝sin在区间上的最小值为 A．－1B．－C.D．0【解析】选B 本题主要考查三角函数的性质，意在考查考生的数形结合能力．由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数fx＝sin在区间上的最小值为－.24．（xx·湖北高考文）将函数y＝cosx＋sinxx∈R的图像向左平移mm0个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是 A.B.C.D.【解析】选B 本题主要考查三角函数的性质和三角函数平移变换．y＝cosx＋sinx＝2cos，左移m个单位得y＝2cos，图像关于y轴对称，则m－＝kπ，k∈Z，令k＝0，得m＝.25．（xx·陕西高考文）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为 A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】选A 本题主要考查三角恒等变换及正弦定理．依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sinB＋C＝sin2A，由三角形内角和及互补角的意义，得sinB＋C＝sin2A＝1，所以A＝，选A.26．（xx·江西高考文）若sin＝，则cosα＝ A．－B．－C.D.【解析】选C 本题主要考查余弦的二倍角公式，考查运算求解能力．因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝.27．（xx·四川高考文）函数fx＝2sinωx＋φ的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是 A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【解析】选A 本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查考生基本方法的掌握和数形结合的能力．由图知最小正周期T＝2＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标代入fx＝2sin2x＋φ，得sin＝1，φ＝－，选A.28．（xx·广东高考文）已知sin＝，那么cosα＝ A．－B．－C.D.【解析】选C 本题主要考查诱导公式知识，意在考查考生的运算求解能力．sin＝sin＝sin＝cosα＝.29．（xx·辽宁高考文）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝ A.B.C.D.【解析】选A 本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理，意在考查考生对三角函数基础知识和基本技能的掌握情况．边换角后约去sinB，得sinA＋C＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.30．（xx·重庆高考理）设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tanα＋β的值为 A．－3B．－1C．1D．3【解析】选A由题意可知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tanα＋β＝＝－
3.31．（xx·山东高考理）若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝ A.B.C.D.【解析】选D因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，所以cos2θ0，所以cos2θ＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sinθ＝.32．（xx·江西高考理）若tanθ＋＝4，则sin2θ＝ A.B.C.D.【解析】选D法一∵tanθ＋＝＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.法二∵tanθ＋＝＋＝＝∴4＝，故sin2θ＝.33．（xx·辽宁高考理）已知sinα－cosα＝，α∈0，π，则tanα＝ A．－1B．－C.D．1【解析】选A由sinα－cosα＝sinα－＝，α∈0，π，解得α＝，所以tanα＝tan＝－
1.34．（xx·天津高考理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝ A.B．－C．±D.【解析】选A由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理及8b＝5c得cosB＝＝＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.35．（xx·陕西高考理）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为 A. B. C. D．－【解析】选C由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，又c2＝a2＋b2，得2abcosC＝a2＋b2，即cosC＝≥＝.36．（xx·上海高考理）在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】选C由正弦定理得a2＋b2c2，所以cosC＝0，所以∠C是钝角，故△ABC是钝角三角形．37．（xx·湖南高考理）函数fx＝sinx－cosx＋的值域为 A．[－22]B．[－，]C．[－11]D．[－，]【解析】选B因为fx＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sinx－，所以函数fx的值域为[－，]．38．（xx·湖南高考理）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB―→·BC―→＝1，则BC＝ A.B.C．2D.【解析】选A设角A，B，C的对边分别为a，b，c.AB―→·BC―→＝1，即accosB＝－
1.在△ABC中，再根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即BC＝.39．（xx·大纲卷高考理）已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝ A．－B．－C.D.【解析】选A将sinα＋cosα＝两边平方，可得1＋sin2α＝，sin2α＝－，所以－sinα＋cosα2＝1－sin2α＝，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以－sinα＋cosα＝－，所以cos2α＝－sinα＋cosαcosα＋sinα＝－40．（xx·浙江高考理）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 【解析】选A变换后的三角函数为y＝cosx＋1，结合四个选项可得A选项正确．41．（xx·安徽高考理）在平面直角坐标系中，点O00，P68，将向量OP―→绕点O按逆时针方向旋转后得向量OQ―→，则点Q的坐标是 A．－7，－B．－7，C．－4，－2D．－4，2【解析】选A画出草图，可知点Q落在第三象限，则可排除B、D；代入A，cos∠QOP＝＝＝，所以∠QOP＝.代入C，cos∠QOP＝＝≠，故答案为A.42．（xx·新课标高考理）已知ω＞0，函数fx＝sinωx＋在，π单调递减，则ω的取值范围是 A．[，]B．[，]C．0，]D．02]【解析】选A函数fx＝sinωx＋的图像可看作是由函数fx＝sinx的图像先向左平移个单位得fx＝sinx＋的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数fx＝sinx＋的减区间是[，]，所以要使函数fx＝sinωx＋在，π上是减函数，需满足解得≤ω≤.43．（xx·浙江高考文）把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 【解析】选A变换后的三角函数为y＝cosx＋1，结合四个选项可得A正确．44．（xx·湖北高考文）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且ABC3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为 A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】选D由题意可得abc，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2n1，且n∈N*，则由余弦定理可得3n＋1＝20n＋2·，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶
4.
45..（xx·四川高考文）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝ A. B.C.D.【解析】选B由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.46．（xx·辽宁高考文）已知sinα－cosα＝，α∈0，π，则sin2α＝ A．－1B．－C.D．1【解析】选A法一由sinα－cosα＝可得sinα－cosα2＝2，即sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝2，则2sinαcosα＝－1，所以sin2α＝－
1.法二因为sinα－cosα＝sinα－＝，不妨取α＝，则sin2α＝sin＝－
1.47．（xx·天津高考文）将函数fx＝sinωx其中ω0的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，0，则ω的最小值是 A.B．1C.D．2【解析】选D将函数fx＝sinωx的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为fx＝sinωx－＝sinωx－．又因为函数图像过点，0，所以sin－＝sin＝0，所以＝kπ，即ω＝2kk∈Z，因为ω0，所以ω的最小值为
2.48．（xx·山东高考文）函数y＝2sin0≤x≤9的最大值与最小值之和为 A．2－B．0C．－1D．－1－【解析】选A当0≤x≤9时，－≤－≤，－≤sin－≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－，其和为2－.49．（xx·上海高考文）若Sn＝sin＋sin＋…＋sinn∈N*，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 A．16B．72C．86D．100【解析】选C因为fx＝sin的最小正周期T＝14，又sin0，sin0，…，sin0，sin＝0，所以在S1，S2，…，S14中有12个是正数，故在S1，S2，…，S100中有7×12＋2＝86个是正数．50．（xx·上海高考文）在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】选C利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状．由正弦定理得a2＋b2c2，所以cosC＝0，所以∠C是钝角，故△ABC是钝角三角形．51．（xx·福建高考文）函数fx＝sinx－的图象的一条对称轴是 A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－【解析】选Cfx＝sinx－的图象的对称轴为x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，当k＝－1时，则其中一条对称轴为x＝－.52．（xx·安徽高考文）要得到函数y＝cos2x＋1的图象，只要将函数y＝cos2x的 A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解析】选Cy＝cos2x的图象向左平移个单位后即变成y＝cos2x＋＝cos2x＋1的图象．53．（xx·广东高考文）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝ A．4B．2C.D.【解析】选B由正弦定理得＝，即＝，所以AC＝×＝
2.54．（xx·湖南高考文）在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 A.B.C.D.【解析】选B由余弦定理得2＝22＋AB2－2×2ABcos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝.55．（xx·大纲卷高考文）若函数fx＝sinφ∈[02π]是偶函数，则φ＝ A.B.C.D.【解析】选C若fx为偶函数，则f0＝±1，即sin＝±1，∴＝kπ＋k∈Z．∴φ＝3kπ＋k∈Z．只有C项符合．56．（xx·大纲卷高考文）已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝ A．－B．－C.D.【解析】选A因为α是第二象限角，所以cosα＝－＝－，所以sin2α＝2sinα·cosα＝2××－＝－.57．（xx·新课标高考文）已知ω00φπ，直线x＝和x＝是函数fx＝sinωx＋φ图像的两条相邻的对称轴，则φ＝ A.B.C.D.【解析】选A由于直线x＝和x＝是函数fx＝sinωx＋φ图像的两条相邻的对称轴，所以函数fx的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋k∈Z，又0φπ，所以φ＝.
58.（xx·重庆高考文）＝ A．－B．－C.D.【解析】选C原式＝＝＝＝.59．（2011·新课标高考）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝ A．－B．－C.D.【解析】选B由角θ的终边在直线y＝2x上可得tanθ＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.60．（2011·新课标高考）设函数fx＝sinωx＋φ＋cosωx＋φω0，|φ|的最小正周期为π，且f－x＝fx，则 A．fx在0，单调递减B．fx在，单调递减C．fx在0，单调递增D．fx在，单调递增【解析】选Ay＝sinωx＋φ＋cosωx＋φ＝sinωx＋φ＋，由最小正周期为π得ω＝2，又由f－x＝fx可知fx为偶函数，|φ|可得φ＝，所以y＝cos2x，在0，单调递减．61．（2011·大纲卷高考）设函数fx＝cosωxω0，将y＝fx的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 A.B．3C．6D．9【解析】选C依题意得，将y＝fx的图象向右平移个单位长度后得到的是fx－＝cosωx－＝cosωx－的图象，其与原图象重合，故cosωx＝cosωx－，ωx－ωx－＝2kπ，即ω＝6kk∈N*，因此ω的最小值是6，选C.62．（2011·安徽高考）已知函数fx＝sin2x＋φ，其中φ为实数，若fx≤|f|对x∈R恒成立，且ffπ，则fx的单调递增区间是 A．[kπ－，kπ＋]k∈ZB．[kπ，kπ＋]k∈ZC．[kπ＋，kπ＋]k∈ZD．[kπ－，kπ]k∈Z【解析】选C因为当x∈R时，fx≤|f|恒成立，所以f＝sin＋φ＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f＝sinπ＋φ＝－sinφfπ＝sin2π＋φ＝sinφ，故sinφ0，所以φ＝2kπ－，所以fx＝sin2x－，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，所以x∈[kπ＋，kπ＋]k∈Z，故选C.63．（2011·山东高考）若函数fx＝sinωxω0在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝ A．3B．2C.D.【解析】选C由于函数fx＝sinωx的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，为这个函数的四分之一周期，故＝，解得ω＝.64．（2011·四川高考）在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是 A．0，]B．[，πC．0，]D．[，π【解析】选C由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，于是可得b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，可得cosA≥，注意到在△ABC中，0Aπ，故A∈0，]．65．（2011·重庆高考）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足a＋b2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 A.B．8－4C．1D.【解析】选A依题意得两式相减得ab＝，选A.
66.（2011·天津高考）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为 A.B.C.D.【解析】选D设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，在△ABD中，由余弦定理得cosA＝＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得＝＝，解得sinC＝，故选择D.67．（2011·福建高考）若tanα＝3，则的值等于 A．2B．3C．4D．6【解析】选D＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.68．（2011·湖北高考）已知函数fx＝sinx－cosx，x∈R，若fx≥1，则x的取值范围 A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}【解析】选B根据题意，变形得fx＝2sinx－，fx≥1，所以2sinx－≥1，即sinx－≥，由图象可知满足＋2kπ≤x－≤＋2kπk∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπk∈Z．69．（2011·浙江高考）若0＜α＜，－＜β＜0，cos＋α＝，cos－＝，则cosα＋＝ A.B．－C.D．－【解析】选C对于cosα＋＝cos[＋α－－]＝cos＋αcos－＋sin＋αsin－，而＋α∈，，－∈，，因此sin＋α＝，sin－＝，则cosα＋＝×＋×＝.70．（2011·辽宁高考）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝ A．2B．2C.D.【解析】选D由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB·sin2A＋cos2A＝sinA，所以sinB＝sinA.∴＝＝.71．（2011·辽宁高考）设sin＋θ＝，则sin2θ＝ A．－B．－C.D.【解析】选Asin2θ＝－cos＋2θ＝2sin2＋θ－1＝2×2－1＝－.
72.（xx·上海高考文）若△的三个内角满足，则△（）A.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【解析】选C由及正弦定理得a:b:c=5:11:13，由余弦定理得，所以角C为钝角.
73.（xx·浙江高考理）设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题.因为0＜x＜，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B.
74.（xx·全国卷Ⅱ高考理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【解析】选B=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.
75.（xx·辽宁高考理）设0函数y=sinx++2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（）A.B.C.D.3【解析】选C将y=sinx++2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k即，又因为，所以k≥1故≥，所以选C.
76.（xx·天津高考理）在△ABC中，内角ABC的对边分别是abc，若，，则A=A.B.C.D.【解析】选A由由正弦定理得，所以cosA==，所以A=
30077.（xx·四川高考文）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A.B.C.D.【解析】选C将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sinx－再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.
78.xx·广东高考文已知中，的对边分别为若且，则（）A.2B．4＋C．4—D．【解析】由可知所以由正弦定理得故选A.
79.（xx·浙江高考文）已知是实数，则函数的图象不可能是（）【解析】选D对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．
80.xx·山东高考理将函数的图象向左平移个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A.B.C.D.【解析】选B将函数的图象向左平移个单位得到函数即的图象再向上平移1个单位所得图象的函数解析式为故选B.
81.（xx·天津高考文）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A.B.C.D.【解析】选D由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D
82.（xx·辽宁高考文）已知，则（）A.B.C.D.【解析】选D＝＝.
83.（xx·浙江高考文）已知是实数，则函数的图象不可能是（）【解析】选D对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．
84.（xx·天津高考文））已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A.B.C.D.【解析】选D由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D.
85.（xx·宁夏海南高考理）有四个关于三角函数的命题xR+=；:x、yRsinx-y=sinx-siny；:x=sinx；:sinx=cosyx+y=.其中假命题的是（）A.，B.，C.，D.，【解析】选A xR+=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x=sinx；是假命题，.选A.二.填空题
86.（xx·福建高考理）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，BD＝＝＝.【答案】87．（xx·安徽高考理）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________.【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用．由3sinA＝5sinB可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5tt0，则b＝3t，c＝7t，可得cosC＝＝＝－，故C＝.【答案】88．（xx·浙江高考理）在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.【解析】本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题．考查考生灵活利用公式的能力．△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得3a2－2c22＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.【答案】89．（xx·新课标Ⅰ卷高考理）设当x＝θ时，函数fx＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.【解析】本题考查三角函数诱导公式、两角差的三角函数公式、三角函数的化简运算及求最值的方法，意在考查考生利用两角差的三角函数公式进行化简、运算和转化的能力．先利用asinx＋bcosx的结构通过构造进行合并化简为一个函数，然后讨论函数fx取到最值的条件，并利用诱导公式求解．fx＝sinx－2cosx＝＝sinx－φ，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋k∈Z时函数fx取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时函数fx取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.【答案】－
90.（xx·新课标Ⅱ卷高考理）设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.【解析】本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．法一由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sinθ＋cosθ＝sin＝－.法二如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tanθ＝－.又因为θ在第二象限，则sinθ＝，cosθ＝－，从而sinθ＋cosθ＝－＝－.【答案】－91．（xx·江西高考理）函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________．【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期性，意在考查考生的转化与化归能力以及运算能力．y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin2x－＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π.【答案】π92．（xx·大纲卷高考理）已知α是第三象限角，sinα＝－，则cotα＝________.【解析】本题考查同角三角函数关系．由α是第三象限角及sinα＝－，可得cosα＝－，所以cotα＝
2.【答案】293．（xx·四川高考理）设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．【解析】本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin2α＝－sinα，所以2sinαcosα＝－sinα，cosα＝－.又α∈，所以α＝，tan2α＝tan＝.【答案】94．（xx·重庆高考文）设0≤α≤π，不等式8x2－8sinαx＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．【解析】本题主要考查二次函数的图像、三角函数的运算、三角不等式的解法、不等式恒成立问题．根据题意可得8sinα2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，2sin2α－1－2sin2α≤0，即－≤sinα≤.因为0≤α≤π，故α∈（0，）∪（，π）.【答案】（0，）∪（，π）95．（xx·江苏高考文）函数y＝3sin的最小正周期为________．【解析】本题主要考查三角函数的周期性，意在考查学生的运算能力．T＝＝π.【答案】π
96.（xx·新课标Ⅱ高考文）函数y＝cos2x＋φ－π≤φπ的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.【解析】本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y＝cos2x＋φ的图像向右平移个单位后得到y＝cos的图像，化简得y＝－cos2x＋φ，又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπk∈Z，所以φ＝＋2kπk∈Z，结合－π≤φπ知φ＝.【答案】
97.（xx·新课标Ⅰ卷高考文）设当x＝θ时，函数fx＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ________.【解析】本题主要考查三角函数的化简与求值．fx＝sinx－φ，其中sinφ＝，cosφ＝，当x＝θ时，fx最大，即θ－φ＝＋2kπk∈Z，∴θ＝＋φ＋2kπk∈Z，cosθ＝cos＝－sinφ＝－.
95.【答案】－
98.（xx·江西高考文）设fx＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|fx|≤a，则实数a的取值范围是________．【解析】本题主要考查两角和与差的公式、辅助角公式的应用、三角函数的基本性质，考查化归与转化思想．由题意知fx＝2sin，则|fx|≤2，所以a≥
2.【答案】[2，＋∞
99.（xx·四川高考文）设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．【解析】本题主要考查简单的三角恒等变换，意在考查考生对公式的掌握与应用．∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－，又α∈，∴sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.【答案】100．（xx·山东高考文）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在01，此时圆上一点P的位置在00，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于21时，OP―→的坐标为________．【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－，所以PB＝sin2－＝－cos2，CB＝cos2－＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以OP―→＝2－sin21－cos2．【答案】2－sin21－cos2101（xx·重庆高考理）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.【解析】由题意知sinA＝，sinB＝，则sinC＝sinA＋B＝sinAcosB＋cosAsinB＝，所以c＝＝.【答案】
102.（xx·上海高考理）函数fx＝的值域是________．【解析】因为fx＝－2－sinxcosx＝－2－sin2x，且sin2x∈[－11]，所以函数fx的值域是[－，－]．【答案】[－，－]103（xx·湖南高考理）函数fx＝sinωx＋φ的导函数y＝f′x的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．1若φ＝，点P的坐标为0，，则ω＝________；2若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．【解析】f′x＝ωcosωx＋φ．1当φ＝，x＝0时，由＝ωcos，得ω＝3；2曲线y＝f′x的半周期为，在这个半周期内，曲线与x轴围成的区域的面积为xCxAωcosωx＋φdx，根据三角函数图象的关系，这个定积分等于0ωsinωxdx＝－cosωx0＝2，此时三角形ABC的面积为××ω＝，所以所求的概率为.【答案】3
104.（xx·江苏高考理）设α为锐角，若cosα＋＝，则sin2α＋的值为________．【解析】因为α为锐角，cosα＋＝，所以sinα＋＝，sin2α＋＝，cos2α＋＝，所以sin2α＋＝sin[2α＋－]＝×＝.【答案】
105.（xx·大纲卷高考理）当函数y＝sinx－cosx0≤x＜2π取得最大值时，x＝________.【解析】y＝sinx－cosx＝2sinx－cosx＝2sinx－的最大值为2，又0≤x＜2π，故当x－＝，即x＝时，y取得最大值．【答案】π
106.（xx·北京高考理）在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.【解析】根据余弦定理代入b2＝4＋7－b2－2×2×7－b－，解得b＝
4.【答案】
4107.．（xx·湖北高考理）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＋b－ca＋b＋c＝ab，则角C＝________【解析】∵a＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝－，C＝.【答案】
108.（xx·福建高考理）已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【解析】依题意得，△ABC的三边长分别为a，a2aa＞0，则最大边2a所对的角的余弦值为＝－.【答案】－
109.（xx·安徽高考理）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________写出所有正确命题的编号．
①若ab＞c2，则C＜；
②若a＋b＞2c，则C＜；
③若a3＋b3＝c3，则C＜ ；
④若a＋bc＜2ab，则C＞
⑤若a2＋b2c2＜2a2b2，则C＞.【解析】
①由ab＞c2，得－c2＞－ab，由余弦定理可知cosC＝＞＝，因为C∈0，π，函数y＝cosx在0，π上是减函数，所以C＜，即
①正确．
②由余弦定理可知cosC＝＞＝＝≥＝，所以C＜，即
②正确．
③若C是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即2＋2≤1，而，∈01，而函数y＝ax0＜a＜1在R上是减函数，所以3＋3＜2＋2≤1与a3＋b3＝c3矛盾，所以假设不成立，所以C＜，即
③正确．
④因为a＋bc＜2ab，所以c＜≤＝，即ab＞c2，转化为命题
①，故
④错误．
⑤因为a2＋b2c2＜2a2b2，所以c2＜≤＝ab，即ab＞c2，转化为命题
①，故
⑤错误．【答案】
①②③110．（xx·江苏高考文）设α为锐角，若cosα＋＝，则sin2α＋的值为________．【解析】因为α为锐角，cosα＋＝，所以sinα＋＝，sin2α＋＝，cos2α＋＝，所以sin2α＋＝sin[2α＋－]＝×＝.【答案】111（xx·上海高考文）函数fx＝的最小正周期是________．【解析】∵fx＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，∴T＝π，故答案为π.【答案】π112．（xx·福建高考文）在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝________.【解析】由正弦定理得＝，得AC＝.【答案】113．（xx·北京高考文）在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．【解析】由正弦定理可知sin∠B＝＝＝，所以∠B＝或舍去，所以∠C＝π－∠A－∠B＝π－－＝.【答案】114（xx·大纲卷高考文）当函数y＝sinx－cosx0≤x2π取得最大值时，x＝________.【解析】y＝sinx－cosx＝2sinx－cosx＝2sinx－的最大值为2，又0≤x2π，故当x－＝，即x＝时，y取得最大值．【答案】π
115.（xx·重庆高考文）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝________.【解析】由余弦定理及题中条件可得cosC＝＝＝，解得c＝2，所以三角形ABC为以BC为底边的等腰三角形，故B＝C，得cosB＝.由同角三角函数的基本关系式可得sin2B＝1－cos2B＝，又因为B∈0，π，可得sinB＝.【答案】116．（2011·新课标高考）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为____．【解析】在△ABC中，根据＝＝，得AB＝·sinC＝sinC＝2sinC，同理BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sinπ－C＝4sinC＋2cosC＝2sinC＋φtanφ＝，因此AB＋2BC的最大值为
2.【答案】2117．（2011·北京高考）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝____；a＝____.【解析】因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝
2.【答案】 2118．（2011·大纲卷高考）已知α∈，π，sinα＝，则tan2α＝____.【解析】依题意得cosα＝－＝－，tanα＝＝－，tan2α＝＝＝－.【答案】－119．（2011·安徽高考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．【解析】不妨设角A＝120°，cb，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝＝－，解得b＝10，所以S＝bcsin120°＝
15.【答案】15120．（2011·重庆高考）已知sinα＝＋cosα，且α∈0，，则的值为____．【解析】依题意得sinα－cosα＝，又sinα＋cosα2＋sinα－cosα2＝2，即sinα＋cosα2＋2＝2，故sinα＋cosα2＝；又α∈0，，因此有sinα＋cosα＝，所以＝＝－sinα＋cosα＝－.【答案】－121．（2011·福建高考）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．【解析】在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cosC＝，∴sinC＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.【答案】122．（2011·江苏高考）已知tanx＋＝2，则的值为________．【解析】由tanx＋＝＝2，得tanx＝，tan2x＝＝，故＝×＝.【答案】123．（2011·江苏高考）函数fx＝Asinωx＋φA，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0的部分图象如图所示，则f0的值是________．【解析】由图可知A＝，＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，又函数图象经过点，0，所以2×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为fx＝sin2x＋，所以f0＝sin＝.【答案】124．（2011·辽宁高考）已知函数fx＝Atanωx＋φω＞0，|φ|＜，y＝fx的部分图象如图，则f＝________.【解析】由图象可知，此正切函数的半周期等于π－π＝π＝π，即周期为π，所以，ω＝
2.由题意可知，图象过定点π，0，所以0＝Atan2×π＋φ，即π＋φ＝kπk∈Z，所以，φ＝kπ－πk∈Z，又|φ|＜π，所以，φ＝π.再由图象过定点01，所以，A＝
1.综上可知，fx＝tan2x＋π．故有fπ＝tan2×π＋π＝tanπ＝.【答案】
125.（xx·广东高考理）已知abc分别是△ABC的三个内角ABC所对的边，若a=1b=A+C=2B则sinC=.【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，5U，.【答案】1三.解答题126．（xx·湖南高考理）已知函数fx＝sin＋cos，gx＝2sin
2.1若α是第一象限角，且fα＝，求gα的值；2求使fx≥gx成立的x的取值集合．解本小题主要考查两角差的正、余弦公式，二倍角公式，同角三角函数关系式及三角函数单调性，考查三角恒等变形能力和运算求解能力．属中档题．fx＝sin＋cos＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，gx＝2sin2＝1－cosx.1由fα＝得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα
0.从而gα＝1－cosα＝1－＝1－＝.2fx≥gx等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥
1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使fx≥gx成立的x的取值集合为.127．（xx·福建高考理）已知函数fx＝sinωx＋φω00φπ的周期为π，图象的一个对称中心为.将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数gx的图象．1求函数fx与gx的解析式；2是否存在x0∈，使得fx0，gx0，fx0·gx0按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；3求实数a与正整数n，使得Fx＝fx＋agx在0，nπ内恰有2013个零点．解本小题主要考查同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．法一1由函数fx＝sinωx＋φ的周期为π，ω0，得ω＝＝
2.又曲线y＝fx的一个对称中心为，φ∈0，π，故f＝sin＝0，得φ＝，所以fx＝cos2x.将函数fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变后可得y＝cosx的图象，再将y＝cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数gx＝cos的图象，所以gx＝sinx.2当x∈时，sinx，0cos2x，所以sinxcos2xsinxcos2x.问题转化为方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在内是否有解．设Gx＝sinx＋sinxcos2x－2cos2x，x∈，则G′x＝cosx＋cosxcos2x＋2sin2x2－sinx．因为x∈，所以G′x0，Gx在内单调递增．又G＝－0，G＝0，且函数Gx的图象连续不断，故可知函数Gx在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0∈满足题意．3依题意，Fx＝asinx＋cos2x，令Fx＝asinx＋cos2x＝
0.当sinx＝0，即x＝kπk∈Z时，cos2x＝1，从而x＝kπk∈Z不是方程Fx＝0的解，所以方程Fx＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπk∈Z．现研究x∈0，π∪π，2π时方程a＝－的解的情况．令hx＝－，x∈0，π∪π，2π，则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝hx，x∈0，π∪π，2π的交点情况．h′x＝，令h′x＝0，得x＝或x＝.当x变化时，h′x，hx的变化情况如下表xH′x＋0－－0＋hx1－1当x0且x趋近于0时，hx趋向于－∞，当xπ且x趋近于π时，hx趋向于－∞，当xπ且x趋近于π时，hx趋向于＋∞，当x2π且x趋近于2π时，hx趋向于＋∞.故当a1时，直线y＝a与曲线y＝hx在0，π内无交点，在π，2π内有2个交点；当a－1时，直线y＝a与曲线y＝hx在0，π内有2个交点，在π，2π内无交点；当－1a1时，直线y＝a与曲线y＝hx在0，π内有2个交点，在π，2π内有2个交点．由函数hx的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝hx在0，nπ内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝hx在0，nπ内恰有2013个交点；又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝hx在0，π∪π，2π内有3个交点，由周期性，2013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝
1342.综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数Fx＝fx＋agx在0，nπ内恰有2013个零点．法二
1、2同法一．3依题意，Fx＝asinx＋cos2x＝－2sin2x＋asinx＋
1.现研究函数Fx在02π]上的零点的情况．设t＝sinx，pt＝－2t2＋at＋1－1≤t≤1，则函数pt的图象是开口向下的抛物线，又p0＝10，p－1＝－a－1，p1＝a－
1.当a1时，函数pt有一个零点t1∈－10另一个零点t21，舍去，Fx在02π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈π，2π；当a－1时，函数pt有一个零点t1∈01另一个零点t2－1，舍去，Fx在02π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈0，π；当－1a1时，函数pt有一个零点t1∈－10，另一个零点t2∈01，Fx在0，π和π，2π上分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a≠±1时，函数Fx在0，nπ内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．当a＝1时，函数pt有一个零点t1∈－10，另一个零点t2＝1；当a＝－1时，函数pt有一个零点t1＝－1，另一个零点t2∈01，从而当a＝1或a＝－1时，函数Fx在02π]上有3个零点．由正弦函数的周期性，2013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝
1342.综上，当a＝1，n＝1342或a＝－1，n＝1342时，函数Fx＝fx＋agx在0，nπ内恰有2013个零点．128．（xx·辽宁高考理）设向量a＝sinx，sinx，b＝cosx，sinx，x∈.1若|a|＝|b|，求x的值；2设函数fx＝a·b，求fx的最大值．解本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．1由|a|2＝sinx2＋sinx2＝4sin2x，|b|2＝cosx2＋sinx2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝
1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.2fx＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值
1.所以fx的最大值为.129．（xx·安徽高考理）已知函数fx＝4cosωx·sinω0的最小正周期为π.1求ω的值；2讨论fx在区间上的单调性．解本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．1fx＝4cosωx·sin＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝2sin＋.因为fx的最小正周期为π，且ω0，从而有＝π，故ω＝
1.2由1知，fx＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，fx单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，fx单调递减．综上可知，fx在区间上单调递增，在区间上单调递减．130．（xx·重庆高考理）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c
2.1求C；2设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．解本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力．1因为a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理有cosC＝＝＝－.故C＝.2由题意得＝.因此tanαsinA－cosAtanαsinB－cosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsinA＋B＋cosAcosB＝.
①因为C＝，所以A＋B＝，所以sinA＋B＝，因为cosA＋B＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝－＝.由
①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝
4.
131.（xx·新课标Ⅰ卷高考理）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.1若PB＝，求PA；2若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．1由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.2设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.132．（xx·新课标Ⅱ卷高考理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.1求B；2若b＝2，求△ABC面积的最大值．解本题主要考查解三角形的基本知识，意在考查考生运用正、余弦定理以及三角形面积公式求解相关问题的能力，属于得分题．1由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．
①又A＝π－B＋C，故sinA＝sinB＋C＝sinBcosC＋cosBsinC．
②由
①②和C∈0，π得sinB＝cosB.又B∈0，π，所以B＝.2△ABC的面积S＝acsinB＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋
1.133．（xx·北京高考理）在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.1求cosA的值；2求c的值．解本题考查正弦定理、二倍角公式、三角恒等变换公式等基础知识，意在考查方程思想和考生的运算求解能力．1因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.2由1知cosA＝，所以sinA＝＝.又∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝.在△ABC中，sinC＝sinA＋B＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝
5.134．（xx·陕西高考理）已知向量a＝，b＝sinx，cos2x，x∈R，设函数fx＝a·b.1求fx的最小正周期．2求fx在上的最大值和最小值．解本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性，意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．fx＝·sinx，cos2x＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝cossin2x－sincos2x＝sin.1fx的最小正周期为T＝＝＝π，即函数fx的最小正周期为π.2∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，知当2x－＝，即x＝时，fx取得最大值
1.当2x－＝－，即x＝0时，fx取得的最小值－.因此，fx在上的最大值是1，最小值是－.135．（xx·江西高考理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋cosA－sinAcosB＝
0.1求角B的大小；2若a＋c＝1，求b的取值范围．解本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力．1由已知得－cosA＋B＋cosAcosB－sinAcosB＝0，即有sinAsinB－sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝，又0Bπ，所以B＝.2由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cosB＝，所以b2＝32＋.又0a1，于是有≤b21，即有≤b
1.136．（xx·广东高考理）已知函数fx＝cos，x∈R.1求f的值；2若cosθ＝，θ∈，求f.解本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数的基本关系、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力．1f＝cos＝cos＝cos＝
1.2f2θ＋＝cos＝cos＝cos2θ－sin2θ.因为cosθ＝，θ∈，所以sinθ＝－.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.所以f＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.137．xx·山东高考理设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.1求a，c的值；2求sinA－B的值．解本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角差的正弦公式等基础知识，考查方程思想，考查运算求解能力．1由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝a＋c2－2ac1＋cosB，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝
9.解得a＝3，c＝
3.2在△ABC中，sinB＝＝，由正弦定理得sinA＝＝.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝＝.因此sinA－B＝sinAcosB－cosAsinB＝.138．xx·大纲卷高考理设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.a＋b＋ca－b＋c＝ac.1求B；2若sinAsinC＝，求C.解1因为a＋b＋ca－b＋c＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.2由1知A＋C＝60°，所以cosA－C＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cosA＋C＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.139．xx·湖北高考理在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cosB＋C＝
1.1求角A的大小；2若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．解本题考查三角恒等变换公式、三角形的面积公式、正余弦定理等基础知识，考查化归与转化思想、方程思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．1由cos2A－3cosB＋C＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即2cosA－1cosA＋2＝0，解得cosA＝或cosA＝－2舍去．因为0Aπ，所以A＝.2由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝
20.又b＝5，知c＝
4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.140．xx·四川高考理在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2·cosB－sinA－BsinB＋cosA＋C＝－.1求cosA的值；2若a＝4，b＝5，求向量B在B方向上的投影．解本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想．1由2cos2cosB－sinA－BsinB＋cosA＋C＝－，得[cosA－B＋1]cosB－sinA－BsinB－cosB＝－，即cosA－BcosB－sinA－BsinB＝－.则cosA－B＋B＝－，即cosA＝－.2由cosA＝－，0＜A＜π，得sinA＝，由正弦定理，有＝，所以，sinB＝＝.由题知a＞b，则A＞B，故B＝.根据余弦定理，有42＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7舍去．故向量在B方向上的投影为|B|cosB＝.141．xx·天津高考理已知函数fx＝－sin＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.1求fx的最小正周期；2求fx在区间上的最大值和最小值．解本小题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角公式，三角函数的最小正周期、单调性、最值等基础知识，考查考生的基本运算能力．1fx＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin.所以fx的最小正周期T＝＝π.2因为fx在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f0＝－2，f＝2，f＝2，故函数fx在区间上的最大值为2，最小值为－
2.142．xx·北京高考文已知函数fx＝2cos2x－1sin2x＋cos4x.1求fx的最小正周期及最大值；2若α∈，且fα＝，求α的值．解本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、三角函数的周期和最值等相关知识，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力．1因为fx＝2cos2x－1sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝sin4x＋cos4x＝sin，所以fx的最小正周期为，最大值为.2因为fα＝，所以sin＝
1.因为α∈，所以4α＋∈，即4α＋＝.故α＝.143．xx·江苏高考文如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.1求索道AB的长；2问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？3为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力．1在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－A＋C]＝sinA＋C＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040m．所以索道AB的长为1040m.2假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了100＋50tm，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝100＋50t2＋130t2－2×130t×100＋50t×＝20037t2－70t＋50，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．3由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500m．乙从B出发时，甲已走了50×2＋8＋1＝550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在，单位m/min范围内．144．xx·安徽高考文设函数fx＝sinx＋sin.1求fx的最小值，并求使fx取得最小值的x的集合；2不画图，说明函数y＝fx的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到．解本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换等基础知识与基本技能，考查逻辑推理和运算求解能力．1因为fx＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin，所以当x＋＝2kπ－，即x＝2kπ－k∈Z时，fx取最小值－.此时x的取值集合为xx＝2kπ－，k∈Z.2先将y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得y＝sinx的图像；再将y＝sinx的图像上所有的点向左平移个单位，得y＝fx的图像．145．xx·山东高考文设函数fx＝－sin2ωx－sinωxcosωxω＞0，且y＝fx图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.1求ω的值；2求fx在区间上的最大值和最小值．解本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力．1fx＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－·－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω0，所以＝4×，因此ω＝
1.2由1知fx＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤
1.因此－1≤fx≤.故fx在区间π，上的最大值和最小值分别为，－
1.146．xx·大纲卷高考文设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋b＋ca－b＋c＝ac.1求B；2若sinAsinC＝，求C.解本题主要考查余弦定理、三角恒等变换公式等基础知识，考查转化与化归、方程等数学思想，考查逻辑思维能力和简单的计算能力．1因为a＋b＋ca－b＋c＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理得cosB＝＝－，因此B＝120°.2由1知A＋C＝60°，所以cosA－C＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cosA＋C＋2sinAsinC＝＋2×＝，故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.147．xx·福建高考文如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．1若OM＝，求PM的长；2若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．解本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．1在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理，得OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos45°，得MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝
3.2设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得＝，所以OM＝，同理ON＝.故S△OMN＝×OM×ON×sin∠MON＝×＝＝＝＝＝＝.因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin2α＋30°的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－
4.148．xx·湖南高考文已知函数fx＝cosx·cos.1求f的值；2求使fx成立的x的取值集合．解本题主要考查三角函数值的求解、三角函数化简和解三角不等式，意在考查考生的算求解能力和转化处理能力．1f＝cos·cos＝－cos·cos＝－2＝－.2fx＝cosx·cos＝cosx·＝cos2x＋sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝cos＋.fx等价于cos＋，即cos
0.于是2kπ＋2x－2kπ＋，k∈Z.解得kπ＋xkπ＋，k∈Z.故使fx成立的x的取值集合为.149．xx·浙江高考文在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.1求角A的大小；2若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．1由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.2由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝
36.又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.150．xx·天津高考文在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝.1求b的值；2求sin的值．解本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．1在△ABC中，由＝，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，又a＝3，故c＝
1.由b2＝a2＋c2－2accosB，cosB＝，可得b＝.2由cosB＝，得sinB＝，从而得cos2B＝2cos2B－1＝－，sin2B＝2sinBcosB＝.所以sin＝sin2Bcos－cos2Bsin＝.151．xx·湖北高考文在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cosB＋C＝
1.1求角A的大小；2若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．解本题主要考查三角函数，三角形的面积公式，正弦定理和余弦定理等知识的综合应用，考查考生的化简、运算、求解能力．1由cos2A－3cosB＋C＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即2cosA－1cosA＋2＝0，解得cosA＝或cosA＝－2舍去．因为0Aπ，所以A＝.2由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝
20.又b＝5，知c＝
4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.152．xx·陕西高考文已知向量a＝，b＝sinx，cos2x，x∈R，设函数fx＝a·b.1求fx的最小正周期；2求fx在上的最大值和最小值．解本题主要考查向量的数量积的运算、三角变换的方法以及三角函数的有界性，凸显向量和三角的网络交汇以及等价转化思想的具体应用．意在考查考生应用向量和三角工具解决问题的能力．fx＝·sinx，cos2x＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝cossin2x－sincos2x＝sin.1fx的最小正周期为T＝＝＝π，即函数fx的最小正周期为π.2∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，fx取得最大值
1.当2x－＝－，即x＝0时，f0＝－，当2x－＝，即x＝时，f＝，∴fx的最小值为－.因此，fx在上的最大值是1，最小值是－.153．xx·江西高考文在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝
1.1求证a，b，c成等差数列；2若C＝，求的值．解本题主要考查正弦定理、余弦定理、倍角公式、等差数列的概念等基础知识，意在考查考生的三角恒等变换能力与运算求解能力，以及运用所学知识综合分析、解决问题的能力．1证明由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B.因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．2由C＝，c＝2b－a及余弦定理得2b－a2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以＝.154．xx·四川高考文在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA－B·cosB－sinA－BsinA＋C＝－.1求sinA的值；2若a＝4，b＝5，求向量BA―→在BC―→方向上的投影．解本题主要考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想．1由cosA－BcosB－sinA－BsinA＋C＝－，得cosA－BcosB－sinA－BsinB＝－.则cosA－B＋B＝－，即cosA＝－.又0＜A＜π，则sinA＝.2由正弦定理，有＝，所以，sinB＝＝.由题知a＞b，则A＞B，故B＝.根据余弦定理，有42＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7负值舍去．故向量BA―→在BC―→方向上的投影为|BA―→|cosB＝.155．xx·广东高考文已知函数fx＝cos，x∈R.1求f的值；2若cosθ＝，θ∈，求f.解本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、两角和与差的三角函数．在考查基础知识的同时突出基本运算能力，与xx年三角题相比较，试卷结构稳定，涉及求值知识点，稳定平和中有亮点，为高考复习作出了较好的方向指向．1f＝cos＝cos＝×＝
1.2∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＜0，sinθ＝－＝－.故f＝cos＝cos＝＝＝cosθ＋sinθ＝－＝－.156．xx·辽宁高考文设向量a＝sinx，sinx，b＝cosx，sinx，x∈.1若|a|＝|b|，求x的值；2设函数fx＝a·b，求fx的最大值．解本题主要考查向量的坐标运算、模的定义、向量的数量积运算、三角函数式的化简，以及闭区间上的函数最值问题，意在考查考生向量与三角函数的综合运用能力．1由|a|2＝sinx2＋sinx2＝4sin2x，|b|2＝cosx2＋sinx2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝
1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.2fx＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值
1.所以fx的最大值为.157．xx·重庆高考理设fx＝4cosωx－sinωx－cos2ωx＋π，其中ω
0.1求函数y＝fx的值域；2若fx在区间[－，]上为增函数，求ω的最大值．解1fx＝4cosωx＋sinωxsinωx＋cos2ωx＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋1，因为－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝fx的值域为[1－，1＋]．2因y＝sinx在每个闭区间[2kπ－，2kπ＋]k∈Z上为增函数，故fx＝sin2ωx＋1ω0在每个闭区间[－，＋]k∈Z上为增函数．依题意知[－，]⊆[－，＋]对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是解得ω≤，故ω的最大值为.158．xx·广东高考理已知函数fx＝2cosωx＋其中ω0，x∈R的最小正周期为10π.1求ω的值；2设α，β∈[0，]，f5α＋π＝－，f5β－π＝，求cosα＋β的值．解1∵fx＝2cosωx＋，ω0的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.2由1知fx＝2cosx＋，而α，β∈[0，]，f5α＋＝－，f5β－＝，∴2cos[5α＋＋]＝－，2cos[5β－＋]＝，即cosα＋＝－，cosβ＝，于是sinα＝，cosα＝，sinβ＝，∴cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.159．xx·山东高考理已知向量m＝sinx1，n＝Acosx，cos2xA0，函数fx＝m·n的最大值为
6.1求A；2将函数y＝fx的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝gx的图像，求gx在[0，]上的值域．解1fx＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝Asin2x＋cos2x＝Asin2x＋．因为A0，由题意知A＝
6.2由1fx＝6sin2x＋．将函数y＝fx的图像向左平移个单位后得到y＝6sin[2x＋＋]＝6sin2x＋的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋的图像．因此gx＝6sin4x＋．因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]，故gx在[0，]上的值域为[－36]．160．xx·江西高考理在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin＋C－csin＋B＝a.1求证B－C＝；2若a＝，求△ABC的面积．解1证明由bsin＋C－csin＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsin＋C－sinCsin＋B＝sinA，sinBsinC＋cosC－sinCsinB＋cosB＝，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sinB－C＝1，由于0B，Cπ，从而B－C＝.2B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝sinsin＝cossin＝.
161.xx·四川高考理函数fx＝6cos2＋sinωx－3ω0在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B、C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．1求ω的值及函数fx的值域；2若fx0＝，且x0∈－，，求fx0＋1的值．解1由已知可得，fx＝3cosωx＋sinωx＝2sinωx＋，又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，所以函数fx的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝.函数fx的值域为[－2，2]．2因为fx0＝，由1有fx0＝2sin＋＝，即sin＋＝.由x0∈－，，知＋∈－，，所以cos＋＝＝.故fx0＋1＝2sin＋＋＝2sin[＋＋]＝2[sin＋cos＋cos＋sin]＝2××＋×＝.162．xx·辽宁高考理在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．1求cosB的值；2边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解1由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝.2法一由已知b2＝ac，及cosB＝，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝.法二由已知b2＝ac，及cosB＝，根据余弦定理得cosB＝，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝.163．xx·天津高考理已知函数fx＝sin2x＋＋sin2x－＋2cos2x－1，x∈R.1求函数fx的最小正周期；2求函数fx在区间[－，]上的最大值和最小值．解1fx＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2x·sin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin2x＋． 所以，fx的最小正周期T＝＝π.2因为fx在区间[－，]上是增函数，在区间[，]上是减函数．又f－＝－1，f＝，f＝1，故函数fx在区间[－，]上的最大值为，最小值为－
1.164．xx·陕西高考理函数fx＝Asinωx－＋1A0，ω0的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.1求函数fx的解析式；2设α∈0，，f＝2，求α的值．解1∵函数fx的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，故函数fx的解析式为y＝2sin2x－＋
1.2∵f＝2sinα－＋1＝2，即sinα－＝，∵0α，∴－α－，∴α－＝，故α＝.165．xx·江苏高考理在△ABC中，已知AB―→·AC―→＝3BA―→·BC―→.1求证tanB＝3tanA；2若cosC＝，求A的值．解1因为AB―→·AC―→＝3BA―→·BC―→，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知＝，从而sinBcosA＝3sinAcosB，又因为0＜A＋B＜π，所以cosA＞0，cosB＞0，所以tanB＝3tanA.2因为cosC＝，0＜C＜π，所以sinC＝＝，从而tanC＝2，于是tan[π－A＋B]＝2，即tanA＋B＝－2，亦即＝－2，由1得＝－2，解得tanA＝1或－，因为cosA＞0，故tanA＝1，所以A＝.166．xx·大纲卷高考理△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cosA－C＋cosB＝1，a＝2c，求C.解由B＝π－A＋C，得cosB＝－cosA＋C．于是cosA－C＋cosB＝cosA－C－cosA＋C＝2sinAsinC，由已知得sinAsinC＝.
①由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC.
②由
①、
②得sin2C＝，于是sinC＝－舍去，或sinC＝.又a＝2c，所以C＝.167．xx·北京高考理已知函数fx＝.1求fx的定义域及最小正周期；2求fx的单调递增区间．解1由sinx≠0得x≠kπk∈Z，故fx的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为fx＝＝2cosxsinx－cosx＝sin2x－cos2x－1＝sin2x－－1，所以fx的最小正周期T＝＝π.2函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]k∈Z．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπk∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπk∈Z．所以fx的单调递增区间为[kπ－，kπ和kπ，kπ＋]k∈Z．168．xx·湖北高考理已知向量a＝cosωx－sinωx，sinωx，b＝－cosωx－sinωx2cosωx，设函数fx＝a·b＋λx∈R的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈，1．1求函数fx的最小正周期；2若y＝fx的图象经过点，0，求函数fx在区间[0，]上的取值范围．解1因为fx＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－＋λ.由直线x＝π是y＝fx图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋k∈Z，即ω＝＋k∈Z．又ω∈，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以fx的最小正周期是.2由y＝fx的图象过点，0，得f＝0，即λ＝－2sin×－＝－2sin＝－，即λ＝－.故fx＝2sinx－－，由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sinx－≤1，得－1－≤2sinx－－≤2－，故函数fx在[0，]上的取值范围为[－1－，2－]．169．xx·浙江高考理在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.1求tanC的值；2若a＝，求△ABC的面积．解1因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sinA＋C＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC.所以tanC＝.2由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.于是sinB＝cosC＝.由a＝及正弦定理＝，得c＝.设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.170．xx·福建高考理某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数1sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；2sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；3sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；4sin2－18°＋cos248°－sin－18°cos48°；5sin2－25°＋cos255°－sin－25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；2根据1的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解1选择2式，计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.2法一三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinα·cos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝sin2α＋cos30°cosα＋sin30°sinα2－sinαcos30°·cosα＋sin30°sinα＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.法二三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinα·cos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝＋－sinαcos30°cosα＋sin30°sinα＝－cos2α＋＋cos60°cos2α＋sin60°sin2α－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－1－cos2α＝1－cos2α－＋cos2α＝.171．xx·安徽高考理设函数fx＝cos2x＋＋sin2x.1求fx的最小正周期；2设函数gx对任意x∈R，有gx＋＝gx，且当x∈[0，]时，gx＝－fx．求gx在区间[－π，0]上的解析式．解1fx＝cos2x＋＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，故fx的最小正周期为π.2当x∈[0，]时，gx＝－fx＝sin2x，故
①当x∈[－，0]时，x＋∈[0，]．由于对任意x∈R，gx＋＝gx，从而gx＝gx＋＝sin[2x＋]＝sinπ＋2x＝－sin2x.
②当x∈[－π，－时，x＋π∈[0，．从而gx＝gx＋π＝sin[2x＋π]＝sin2x.综合
①、
②得gx在[－π，0]上的解析式为gx＝172．xx·新课标高考理已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝
0.1求A；2若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.解1由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝
0.因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝
0.由于sinC≠0，所以sinA－＝.又0＜A＜π，故A＝.2△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝
4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝
8.解得b＝c＝
2.173．（xx·浙江高考文）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.1求角B的大小；2若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解1由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB，所以tanB＝，所以B＝.2由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝
2.174．（xx·湖北高考文）设函数fx＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λx∈R的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈，1．1求函数fx的最小正周期；2若y＝fx的图像经过点，0，求函数fx的值域．解1因为fx＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－＋λ.由直线x＝π是y＝fx图像的一条对称轴，可得sin2ωπ－＝±
1.所以2ωπ－＝kπ＋k∈Z，即ω＝＋k∈Z．又ω∈，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以fx的最小正周期是.2由y＝fx的图像过点，0得f＝0，即λ＝－2sin×－＝－2sin＝－，即λ＝－，故fx＝2sinx－－，函数fx的值域为[－2－，2－]．
175.（xx·四川高考文）已知函数fx＝cos2－sincos－.1求函数fx的最小正周期和值域；2若fα＝，求sin2α的值．解1fx＝cos2－sincos－＝1＋cosx－sinx－＝cosx＋．所以fx的最小正周期为2π，值域为[－，]．2由1知fα＝cosα＋＝，所以cosα＋＝.所以sin2α＝－cos＋2α＝－cos2α＋＝1－2cos2α＋＝1－＝.176．（xx·辽宁高考文）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．1求cosB的值；2边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解1由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝.2法一由已知b2＝ac，及cosB＝，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，所以sinAsinC＝1－cos2B＝.法二由已知b2＝ac，及cosB＝，根据余弦定理得cosB＝，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝.177．（xx·天津高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝2，c＝，cosA＝－.1求sinC和b的值；2求cos2A＋的值．解1在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝.又由＝及a＝2，c＝，可得sinC＝.由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋b－2＝0，因为b0，故解得b＝
1.所以sinC＝，b＝
1.2由cosA＝－，sinA＝，得cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAcosA＝－.所以，cos2A＋＝cos2Acos－sin2Asin＝.
178.（xx·山东高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinBtanA＋tanC＝tanAtanC.1求证a，b，c成等比数列；2若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.解1在△ABC中，由于sinBtanA＋tanC＝tanAtanC，所以sinB＋＝·，因此sinBsinAcosC＋cosAsinC＝sinAsinC，所以sinBsinA＋C＝sinAsinC.又A＋B＋C＝π，所以sinA＋C＝sinB，因此sin2B＝sinAsinC.由正弦定理得b2＝ac，即a，b，c成等比数列．2因为a＝1，c＝2，所以b＝，由余弦定理得cosB＝＝＝，因为0Bπ，所以sinB＝＝，故△ABC的面积S＝acsinB＝×1×2×＝.
179.（xx·江苏高考文）在△ABC中，已知AB―→·AC―→＝3BA―→·BC―→.1求证tanB＝3tanA；2若cosC＝，求A的值．解1因为AB―→·AC―→＝3BA―→·BC―→，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知＝，从而sinBcosA＝3sinAcosB，又因为0A＋Bπ，所以cosA0，cosB0，所以tanB＝3tanA.2因为cosC＝，0Cπ，所以sinC＝＝，从而tanC＝2，于是tan[π－A＋B]＝2，即tanA＋B＝－2，亦即＝－2，由1得＝－2，解得tanA＝1或－，因为cosA0，故tanA＝1，所以A＝.180．（xx·福建高考文）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°
④sin2－18°＋cos248°－sin－18°cos48°；
⑤sin2－25°＋cos255°－sin－25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；2根据1的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解1选择
②式，计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.2法一三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝sin2α＋cos30°cosα＋sin30°sinα2－sinαcos30°cosα＋sin30°sinα＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.法二三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝＋－sinαcos30°cosα＋sin30°sinα＝－cos2α＋＋cos60°cos2α＋sin60°sin2α－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－1－cos2α＝1－cos2α－＋cos2α＝.181．（xx·安徽高考文）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.1求角A的大小；2若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解1法一由题设知，2sinBcosA＝sinA＋C＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝.由于0Aπ，故A＝.法二由题设可知，2b·＝a·＋c·，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝.由于0Aπ，故A＝.2法一因为AD―→2＝2＝AB―→2＋AC―→2＋2AB―→·AC―→＝1＋4＋2×1×2×cos＝，所以|AD―→|＝，从而AD＝.法二因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝.因为BD＝，AB＝1，所以AD＝＝.182．（xx·北京高考文）已知函数fx＝.1求fx的定义域及最小正周期；2求fx的单调递减区间．解1由sinx≠0得x≠kπk∈Z，故fx的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为fx＝sinx－cosx＝2cosxsinx－cosx＝sin2x－cos2x－1＝sin2x－－1，所以fx的最小正周期T＝＝π.2函数y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]k∈Z．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπk∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋k∈Z．所以fx的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]k∈Z．183．（xx·广东高考文）已知函数fx＝Acos＋，x∈R，且f＝.1求A的值；2设α，β∈[0，]，f4α＋π＝－，f4β－π＝，求cosα＋β的值．解1因为f＝，所以Acos×＋＝Acos＝A＝，所以A＝
2.2由1知fx＝2cos＋，f4α＋＝2cosα＋＋＝－2sinα＝－，所以sinα＝，因为α∈[0，]，所以cosα＝；又因为f4β－＝2cosβ－＋＝2cosβ＝，所以cosβ＝，因为β∈[0，]，所以sinβ＝.所以cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
184.（xx·湖南高考文）已知函数fx＝Asinωx＋φx∈R，ω00φ的部分图象如图所示．1求函数fx的解析式；2求函数gx＝fx－－fx＋的单调递增区间．解1由题设图象知，周期T＝2－＝π，所以ω＝＝2，因为点，0在函数图象上，所以Asin2×＋φ＝0，即sin＋φ＝
0.又因为0φ，所以＋φ.从而＋φ＝π，即φ＝.又点01在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝
2.故函数fx的解析式为fx＝2sin2x＋．2gx＝2sin[2x－＋]－2sin[2x＋＋]＝2sin2x－2sin2x＋＝2sin2x－2sin2x＋cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin2x－．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数gx的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
185.（xx·新课标高考文）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asinC－ccosA.1求A；2若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.解1由c＝asinC－ccosA及正弦定理得sinAsinC－cosAsinC－sinC＝
0.由于sinC≠0，所以sinA－＝.又0Aπ，故A＝.2△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝
4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝
8.解得b＝c＝
2.185（xx·大纲卷高考文）△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足2b2＝3ac，求A.解由A、B、C成等差数列及A＋B＋C＝180°得B＝60°，A＋C＝120°.由2b2＝3ac及正弦定理得2sin2B＝3sinAsinC，故sinAsinC＝，cosA＋C＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－，即cosAcosC－＝－，cosAcosC＝0，cosA＝0或cosC＝0，所以A＝90°，或A＝30°.
186.（xx·重庆高考文）设函数fx＝Asinωx＋φ其中A0，ω0，－πφ≤π在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.1求fx的解析式；2求函数gx＝的值域．解1由题设条件知fx的周期T＝π，即＝π，解得ω＝
2.因fx在x＝处取得最大值2，所以A＝
2.从而sin2×＋φ＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－πφ≤π得φ＝，故fx的解析式为fx＝2sin2x＋．2gx＝＝＝＝cos2x＋1cos2x≠．因cos2x∈
[01]，且cos2x≠，故gx的值域为[1，∪，]．187．（2011·大纲卷高考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.解由a＋c＝b及正弦定理可得sinA＋sinC＝sinB.又由于A－C＝90°，B＝180°－A＋C，故cosC＋sinC＝sinA＋C＝sin90°＋2C＝cos2C.cosC＋sinC＝cos2C，cos45°－C＝cos2C.因为0°＜C＜90°，所以2C＝45°－C，C＝15°.188．（2011·北京高考）已知函数fx＝4cosxsinx＋－
1.1求fx的最小正周期；2求fx在区间[－，]上的最大值和最小值．解1因为fx＝4cosxsinx＋－1＝4cosxsinx＋cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋，所以fx的最小正周期为π.2因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，fx取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，fx取得最小值－
1.189．（2011·江西高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.1求sinC的值；2若a2＋b2＝4a＋b－8，求边c的值．解1由已知得sinC＋sin＝1－cosC，即sin2cos＋1＝2sin2，由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝，两边平方整理得sinC＝.2由sin－cos＝＞0得，即Cπ，则由sinC＝得cosC＝－，由a2＋b2＝4a＋b－8得a－22＋b－22＝0，则a＝2，b＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，所以c＝＋
1.190．（2011·山东高考）本小题满分12分在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.1求的值；2若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.解1由正弦定理得，设＝＝＝k，则＝＝，＝.即cosA－2cosCsinB＝2sinC－sinAcosB，化简可得sinA＋B＝2sinB＋C．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝
2.2由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，从而c＝
2.又因为cosB＝，且0Bπ，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.191．（2011·四川高考）已知函数fx＝sinx＋＋cosx－，x∈R.1求fx的最小正周期和最小值；2已知cosβ－α＝，cosβ＋α＝－，0＜α＜β≤，求证[fβ]2－2＝
0.解1∵fx＝sinx＋－2π＋sinx－＋＝sinx－＋sinx－＝2sinx－．∴T＝2π，fx的最小值为－
2.2由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－.两式相加得2cosβcosα＝
0.∵0＜α＜β≤，∴β＝.∴[fβ]2－2＝4sin2－2＝
0.192．（2011·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC.1求角C的大小；2求sinA－cosB＋的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．解1由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为0＜A＜π，所以sinA＞
0.从而sinC＝cosC.又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝.2由Ⅰ知，B＝－A.于是sinA－cosB＋＝sinA－cosπ－A＝sinA＋cosA＝2sinA＋．因为0＜A＜，所以＜A＋＜.从而当A＋＝，即A＝时，2sinA＋取最大值
2.综上所述，sinA－cosB＋的最大值为2，此时A＝，B＝.193．（2011·重庆高考）设a∈R，fx＝cosxasinx－cosx＋cos2－x满足f－＝f0，求函数fx在[，]上的最大值和最小值．解fx＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x.由f－＝f0得－·＋＝－1，解得a＝
2.因此fx＝sin2x－cos2x＝2sin2x－．当x∈[，]时，2x－∈[，]，fx为增函数，当x∈[，]时，2x－∈[，]，fx为减函数，所以fx在[，]上的最大值为f＝
2.又因f＝，f＝，故fx在[，]上的最小值为f＝.194．（2011·重庆高考）已知函数fx＝2sinx－，x∈R.1求f的值；2设α，β∈[0，]，f3α＋＝，f3β＋2π＝，求cosα＋β的值．解1∵fx＝2sinx－，∴f＝2sin－＝2sin＝.2∵α，β∈[0，]，f3α＋＝，f3β＋2π＝，∴2sinα＝，2sinβ＋＝，即sinα＝，cosβ＝，∴cosα＝，sinβ＝，∴cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.195．（2011·天津高考）已知函数fx＝tan2x＋，1求fx的定义域与最小正周期；2设α∈0，，若f＝2cos2α，求α的大小．解1由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以fx的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．fx的最小正周期为.2由f＝2cos2α，得tanα＋＝2cos2α，＝2cos2α－sin2α，整理得＝2cosα＋sinαcosα－sinα．因为α∈0，，所以sinα＋cosα≠
0.因此cosα－sinα2＝，即sin2α＝.由α∈0，，得2α∈0，．所以2α＝，即α＝.196．（2011·江苏高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.1若sinA＋＝2cosA，求A的值；2若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．解1由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.2由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c
2.故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sinC＝cosA＝.197．（2011·湖北高考）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.1求△ABC的周长；2求cosA－C的值．解1∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝
4.∴c＝
2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝
5.2∵cosC＝，∴sinC＝＝＝.∴sinA＝＝＝.∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角，∴cosA＝＝＝，∴cosA－C＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.198．（2011·浙江高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinBp∈R，且ac＝b
2.1当p＝，b＝1时，求a，c的值；2若角B为锐角，求p的取值范围．解1由题设并利用正弦定理，得解得或2由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a＋c2－2ac－2accosB＝p2b2－b2－b2cosB，即p2＝＋cosB，因为0＜cosB＜1，得p2∈，2．由题设知p＞0，所以＜p＜.199．（2011·陕西高考）叙述并证明余弦定理．解余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.法一如图，a2＝BC―→·BC―→＝AC―→－AB―→·AC―→－AB―→＝AC2―→－2AC―→·AB―→＋AB2―→＝AC2―→－2|AC―→|·|AB―→|cosA＋AB2―→＝b2－2bccosA＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.法二已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则CbcosA，bsinA，Bc0，∴a2＝|BC|2＝bcosA－c2＋bsinA2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A＝b2＋c2－2bccosA.同理可证b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.
200.（xx·辽宁高考文）在中，分别为内角的对边，且
（1）求的大小；
（2）若，试判断的形状.解
（1）由已知，根据正弦定理得，即由余弦定理得，故
（2）由
（1）得又，得，因为，故，所以是等腰的钝角三角形.
201.（xx·四川高考理）
（1）证明两角和的余弦公式；由推导两角和的正弦公式.
（2）已知△ABC的面积，且，求cosC.解1
①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P
4.则P110P2cosαsinαP3cosα＋βsinα＋βP4cos－βsin－β由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cosα＋β－1]2＋sin2α＋β＝[cos－β－cosα]2＋[sin－β－sinα]2展开并整理得2－2cosα＋β＝2－2cosαcosβ－sinαsinβ∴cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由
①易得cos－α＝sinαsin－α＝cosαsinα＋β＝cos[－α＋β]＝cos[－α＋－β]＝cos－αcos－β－sin－αsin－β＝sinαcosβ＋cosαsinβ.2由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝bcsinA＝＝bccosA＝3＞0∴A∈0cosA＝3sinA，又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝cosA＝，由题意，cosB＝得sinB＝，∴cosA＋B＝cosAcosB－sinAsinB＝故cosC＝cos[π－A＋B]＝－cosA＋B＝－.
202.（xx·天津高考文）在ABC中，.
（1）证明B=C
（2）若=-，求sin的值.解
（1）证明在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=
0.因为，从而B-C=
0.所以B=C.
（2）解由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B于是sin2B==.从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以
203.（xx·天津高考理）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，求的值.解
（1）解由，得，所以函数的最小正周期为.因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（2）由
（1）可知，又因为，所以.由，得.从而.所以.
204.（xx江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=.1该小组已经测得一组、的值，tan=
1.24，tan=
1.20，请据此算出H的值；2该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？解
（1），同理，.AD—AB=DB，故得，解得.因此，算出的电视塔的高度H是124m.
（2）由题设知，得，，（当且仅当时，取等号）故当时，最大.因为，则，所以当时，-最大.故所求的是m.
205.xx·山东高考理设函数fx=cos2x++sinx.1求函数fx的最大值和最小正周期；2设ABC为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA.解
（1）fx=cos2x++sinx.=所以函数fx的最大值为最小正周期.
（2）==－所以因为C为锐角所以又因为在ABC中cosB=所以所以.
206.xx·山东高考文设函数fx=2在处取最小值.
（1）求.的值;
（2）在ABC中分别是角ABC的对边已知求角C..解:
（1）因为函数fx在处取最小值，所以由诱导公式知因为所以.所以
（2）因为所以因为角A为ABC的内角所以.又因为所以由正弦定理得也就是因为所以或.当时;当时.
207.（xx·福建高考理）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=AsinxA00x
[04]的图象，且图象的最高点为S3，2；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120
（1）求A的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解
（2）依题意，有，，又，.当是，又
（2）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°60°由正弦定理得故0°60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长解法二（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=即故从而，即当且仅当时，折线段道MNP最长注本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法
一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为
①；
②；
③点N在线段MP的垂直平分线上等.
208.（xx辽宁卷文）如图，ABCD都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝
0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到
0.01km，
1.414，
2.449）解在中，＝30°，＝60°－＝30°，所以CD＝AC＝
0.1又＝180°－60°－60°＝60°，故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在中，，即AB＝因此，故B、D的距离约为
0.33km.。
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