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2019-2020年高三周练
(三)数学试题含答案
一、选择题共12题每题5分共60分1.设=(1,2sin),=(,),=(,)且-∥,则锐角为()A.30°B.45°C.60°D.75°2.已知,则与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°3.若,,,则()A.0B.C.D.4.已知的外接圆的圆心为O,半径为1,,则向量在向量方向上的投影为()A.B.C.D.5.如图所示,在△ABC中,BD=2CD若,则()A.B.C.D.6.已知向量若,则=()A.1B.2C.3D.47.已知是非零向量,则“命题”是“命题向量与向量共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在平行四边形中,,,若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为()A.B.C.D.9.在四边形中,则该四边形的面积为()A.B.C.5D.1010.已知向量,的夹角为,,,则.11.如图,中,,为的中点,以为圆心,为半径的半圆与交于点,为半圆上任意一点,则的最小值为()A.B.C.D.12.如图,中,,为的中点,以为圆心,为半径的半圆与交于点,为半圆上任意一点,则的最小值为()A.B.C.D.
二、填空题共4题每题5分共20分13.已知向量,则向量在向量方向上的投影为.14.已知ABC三点的坐标分别是,若则=__________.15.已知向量______.16.如图,在等腰梯形中,,,,点,分别为,的中点.如果对于常数,在的四条边上,有且只有个不同的点使得成立,那么实数的取值范围为.
三、解答题共8题共70分17.设与是两个单位向量,其夹角为60°,且=2+=﹣3+2.
(1)求•;
(2)求||和||;
(3)求与的夹角.18.已知、、是的内角,向量且.
(1)求角的大小;
(2)若,求.19.已知,,设函数求
(1)的最小正周期及最值;
(2)的对称轴及单调递增区间.20.已知向量.
(1)若点三点共线,求的值;
(2)若为直角三角形,且为直角,求的值.21.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足
(1)求证A,B,C三点共线;
(2)求的值;
(3)已知,的最小值为,求实数的值22.已知.
(1)若,求角的值;
(2)求的最小值.23.已知,与的夹角是.
(1)计算;
(2)当为何值时,?24.如图,已知点是边长为1的正三角形的中心,线段经过点,并绕点转动,分别交边于点,设,,其中.
(1)求表达式的值,并说明理由;
(2)求面积的最大和最小值,并指出相应的的值.参考答案1.D【解析】试题分析因为,,由向量平行的充要条件得,解得,所以锐角.故选D.考点向量的线性运算;向量平行的充要条件;特殊角的三角函数值.2.C【解析】试题分析由得,又,则.故选C.考点向量的数量积的性质和运算律;向量之间的夹角.3.B【解析】试题分析因为,结果是一个数量,,所以.故选B.考点向量数量积的坐标运算和运算律.4.B【解析】试题分析由题∴O,B,C共线为直径∴AB⊥AC可得|BC|=2∴向量在向量方向上的投影为:考点向量的几何意义及投影的概念.5.C【解析】试题分析由题,则.考点向量的加减法及几何意义..6.B【解析】试题分析由题.则可得.考点向量的坐标运算及向量平行的性质.7.A【解析】试题分析“命题”能推出“命题向量与向量共线”,而“命题向量与向量共线”不能推出“命题”,∴是充分不必要条件.故选A.考点常用逻辑用语.8.C【解析】试题分析由有若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的直径为由题意有直线平面且所以外接球直径为半径为表面积为故选C.考点
1.球的表面积公式;
2.球心的确定.9.C【解析】试题分析因为所以则该四边形的面积为故选C.考点
1、平面向量的数量积公式;
2、垂直向量及三角形面积公式.10.【解析】试题分析因为向量的夹角为,,,所以,所以,故答案为.考点
1、平面向量的数量积公式;
2、平面向量的夹角和模.11.D【解析】试题分析以为坐标原点,所在直线为轴建立直角坐标系,所以,设且,所以,令,则,其中.所以当时有最小值.故选D.考点
1、平面向量的数量积公式;
2、圆的参数方程的应用.12.D【解析】试题分析以为坐标原点,所在直线为轴建立直角坐标系,所以,设且,所以,令,则,其中.所以当时有最小值.故选D.考点
1、平面向量的数量积公式;
2、圆的参数方程的应用.13..【解析】试题分析根据向量的数量积的几何意义,向量在向量方向上的投影为.考点向量的数量积的几何意义.14.【解析】试题分析由题,又,得,化简的得则,得考点三角函数的变形及求值.15.【解析】试题分析由题设,得,考点向量的运算及方程思想16.(,)【解析】试题分析由题意得,四条边上各存在两点.先建立直角坐标系以CD中点为坐标原点,CD所在直线为x轴,则,根据对称性只需研究点在情况当点在上,,满足存在两点;当点在上,,满足存在两点;当点在上,,满足存在两点;三种情况的交集为实数的取值范围为考点向量数量积17.
(1);
(2),;
(3).【解析】试题分析
(1)由与是两个单位向量,其夹角为60°,由向量的数量积,得,代入即可得到结果;
(2)由和即可求得;
(3)由求向量的夹角的公式即可得到.试题解析解
(1)由与是两个单位向量,其夹角为60°,则=1×=,=(2+)•(﹣3+2)=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣;
(2)||====,||====
(3)cos<,>===﹣,由于0≤<,>≤π,则有与的夹角.考点向量的数量积的定义和性质;向量之间的夹角.18.
(1);
(2).【解析】试题分析
(1)根据向量的数量积的坐标表示和三角函数的基本公式得到,再根据角的取值得到;
(2)根据三角函数的基本公式进行恒等变换,得到,结合,得,利用两角和的正切公式即可求得.试题解析解
(1)因为且所以-cosA+sinA=1即sinA-cosA=1所以2sin(A-)=1,sin(A-)=因为所以所以A-=故;
(2),,,cosB+sinB=-2cosB+2sinB,3cosB=sinB,tanB=3,tanC=tan(-(A+B))=-tan(A+B)==考点向量的数量积的坐标表示和三角函数的基本公式.19.
(1),;
(2)对称轴,单调增区间为【解析】试题分析利用向量的数量积的定义和三角函数的基本公式得到函数;根据函数的图像和性质,即可得到函数的最小正周期为,最值为,对称轴为,单调增区间为试题解析解
(1)函数f(x)的最小正周期为
(2)对称轴为由得函数的单调增区间为考点向量的数量积的坐标表示;三角函数的基本公式;函数的图像和性质.20.(Ⅰ)-19;(Ⅱ)
1.【解析】试题分析(Ⅰ)根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得;(Ⅱ)根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析解(Ⅰ)∴,.(Ⅱ),则,∴,考点向量的减法运算;向量平行和垂直的充要条件.21.
(1)见解析
(2)2
(3)【解析】试题分析
(1)由题证明三点共线,即可化为证向量共线可利用条件,化为,由向量共线定理得证
(2)由
(1),利用向量运算可化为求出
(3)由题给出了函数,可先化简函数关系式,再利用最值条件,因含参数,需对分三种情况讨论,求出的值试题解析
(1)证明由已知得即//又有公共点,三点共线
(2),当时当时,取得最小值1,与已知相矛盾;当时当时,取得最小值得(舍去)当时当时,取得最小值,得综上所述,为所求考点
1.运用向量共线定理证三点共线;
2.向量的运算及几何意义;
3.向量的坐标运算及函数最值和分类讨论的思想22.
(1)
(2)【解析】试题分析
(1)先由向量垂直坐标表示得,即,再根据角范围,确定
(2)先根据向量的模的定义得,再根据同角三角函数关系及配角公式得,最后根据角的范围,根据余弦函数确定最值试题解析
(1)因为,且所以,即,又,所以,
(2)因为,所以因为,所以,故当时,取到最小值.考点向量垂直及模,三角函数性质【答案】
(1)
(2)【解析】试题分析
(1)利用平面向量的向量积的运算计算即可;
(2)由,可知即可求得值试题解析由已知得,
(1)∵,∴.
(2)∵,∴,∴,即,∴,即时,与垂直.考点平面向量的数量积的有关运算24.
(1);
(2),【解析】试题分析
(1)将向量用向量和表达,由三点共线,即可得到和的关系.
(2)由三角形面积公式,,由
(1)可知,由消元法,转化为的函数求最值即可.试题解析
(1)如图延长交与,∵是正三角形的中心为的中点,则有三点共线故
(2)是边长为1的正三角形,由,即设则易知在为减函数,在为增函数.,即,时,取得最小值,即取得最小值’又∴f(t)取得最大值是,则取得最大值,此时或考点向量的实际应用,函数的最值【点评】本题考查平面向量基本定理和向量的表示、求函数的最值,考查消元和换元等方法.属中档题解题时要根据实际问题回归求函数最值的问题,其中考查利用函数的单调性求函数最值的方法,要注意构造新函数时定义域的问题。