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2019-2020年高三年级第一学期期末练习(数学)
一、选择题(本大题共8小题每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.已知,则A.B.C.D.2.已知抛物线的方程为,则此抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.3.设集合A={1,2,3,4},m、n∈A,则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有A.6个B.8个C.12个D.16个4.已知直线、、,平面、,有下列命题
①、;∥,∥,则∥
②、;,,则
③,,,,则
④∥,,则∥其中正确的命题是A.
①③B.
②④C.
①②④D.
③5.某台机器上安装甲乙两个元件,这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9,则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为A.0.3B.0.6C.0.75D.0.96.已知函数,且此函数的图象如图所示,则点的坐标是A.B.C.D.7.已知向量,若向量a与b的夹角为,则直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相交且过圆心8.动点P为椭圆上异于椭圆顶点的一点,F
1、F2为椭圆的两个焦点,动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的A.一条直线B.双曲线的右支C.抛物线D.椭圆
二、填空题(本大题共6小题每小题5分共30分.把答案填在题中横线上).9.已知双曲线,则其渐近线方程是,离心率.10.在复平面内,复数对应的点分别为A、B,O为坐标原点,若点P在第四象限内,则实数的取值范围是__________.11.已知等差数列的公差为3,若成等比数列,则=.12.已知正四棱锥P-ABCD,PA=2,AB=,M是侧棱PC的中点,则异面直线PA与BM所成角为13.点在平面区域:≤内,点在曲线上,则平面区域的面积为的最小值为.14.已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,∠BAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为___________.
三、解答题:(本大题共6小题共80分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)在三角形中,、、的对边分别为、、,若
(1)求的大小
(2)若、,求三角形的面积.16.(本小题共13分)已知圆.
(1)直线过点,且与圆交于、两点,若,求直线的方程;
(2)过圆上一动点作平行于轴的直线,设与轴的交点为,若向量,求动点的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.17.(本小题满分13分)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CB=1CA=AA1=M为侧棱CC1上一点.
(1)求证:AM平面;
(2)求二面角B-AM-C的大小;
(3)求点C到平面ABM的距离.18.(本小题满分14分)设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,求函数在区间的最小值.19.(本小题满分14分)设椭圆的焦点分别为,右准线交轴于点A,且.
(1)试求椭圆的方程;
(2)过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数fx的定义域为
[01],且满足下列条件
①对于任意
[01],总有,且;
②若则有
(1)求f0的值;
(2)求证fx;
(3)当时,试证明.xx海淀区第一学期期末考试理科参考答案
一、选择题1.B2.C3.A4.D5.C6.B7.C8.A8.提示如图画出圆M,切点分别为E、D、G,由切线长相等定理知F1G=F1E,PD=PE,F2D=F2G,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,∴PF1+PF2=F1E+DF2(PD=PE)=F1G+F2D(F1G=F1E)=F1G+F2G=2a,∴2F2G=2a-2c,F2G=a-c,即点G与点A重合,∴点M在x轴上的射影是长轴端点A,M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线(除去A点)
二、填空题(第一空3分第二空2分)9.,(缺一扣1分)10.;11.-9;12.;13.,14..
三、解答题15.本小题满分13分解
(1)由已知及正弦定理可得2分∴又在三角形中,3分∴,即,5分6分
(2)∵,∴8分又∵∴10分∴即13分16.本小题满分13分解
(1)
①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为,与圆的两个交点坐标为和,其距离为,满足题意1分
②若直线不垂直于轴,设其方程为,即2分设圆心到此直线的距离为,则,得3分∴,,4分故所求直线方程为5分综上所述,所求直线为或6分
(2)设点的坐标为,点坐标为,则点坐标是7分∵,∴即,9分又∵,∴10分由已知,直线m//ox轴,所以,,11分∴点的轨迹方程是,12分轨迹是焦点坐标为,长轴为8的椭圆,并去掉两点13分17.本小题满分13分证明
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知面ACC1A1⊥面ABC,∵∠ACB=90°,∴BC⊥面ACC1A1,………………2分∵面ACC1A1,∴BC⊥AM∵,且,∴AM平面………………4分解
(2)设AM与A1C的交点为O,连结BO,由
(1)可知AMOB,且AMOC,所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角,………………………5分在Rt△ACM和Rt△A1AC中,∠OAC+∠ACO=90°,∴∠AA1C=∠MAC∴Rt△ACM∽RT△A1AC,∴∴……………7分∴在Rt△ACM中,∵,∴∴在Rt△BCO中,∴,故所求二面角的大小为45°………………9分
(3)设点C到平面ABM的距离为h,易知,可得…………………10分∵…………………11分∴,∴∴点C到平面ABM的距离为………………13分解法二
(1)同解法一
(2)如图以C为原点CA,CB,CC1所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系,则,设∵,∴即,故,所以………6分设向量为平面AMB的法向量,则,则即,令x=1,的平面AMB的一个法向量为,显然向量是平面AMC的一个法向量,……………8分易知,与所夹的角等于二面角B-AM-C的大小,故所求二面角的大小为45°.……9分
(3)向量在法向量上的投影的长即为所求距离,………………10分∵……………12分∴点C到平面ABM的距离为…………………13分18.本小题满分14分解
(1)∵2分又∵定义域为,∴所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为5分
(2)由,即7分令由及得且当时取得极小值8分∵求在区间上最小值∴只需讨论与3的大小
①当时,3,所以函数在上最小值为10分
②当时,=3,所以函数在上最小值为11分
③当时,3,所以函数在上最小值为13分所以,综上可知当时,函数在上最小值为;当时,函数在上最小值为14分19.本小题满分14分解
(1)由题意,,∴,2分∵∴为A的中点3分∴,即椭圆方程为.5分
(2)当直线DE与轴垂直时,,此时,四边形的面积为.同理当MN与轴垂直时,也有四边形的面积为.7分当直线DE,MN均与轴不垂直时,设,代入椭圆方程,消去得.设,,则8分所以,,所以,,同理,.10分所以,四边形的面积==,令,得因为,当时,,且S是以为自变量的增函数,所以综上可知,即四边形DMEN面积的最大值为4,最小值为.14分20.本小题满分13分
(1)解令,由
①对于任意
[01],总有,∴1分又由
②得即2分∴3分
(2)解任取且设则因为,所以,即∴.5分∴当
[01]时,.6分
(3)证明先用数学归纳法证明
①当n=1时,,不等式成立;7分
②假设当n=k时,由得即所以,当n=k+1时,不等式成立;10分由
①、
②可知,不等式对一切正整数都成立.11分于是,当时,,所以,13分yxO1-1ABCDPMABCDPA1B1C1D1ABCA1B1C1MyxOF2F1EMNDAlABCA1B1C1MOABCA1B1C1Mzxy。