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2019-2020年高三数学10月第一次月考试题文(含解析)【试卷综析】重点考查基本知识和基本技能,侧重通性通法 注重对基本知识和基本技能的考查,重点考查通性通法,避免偏题、怪题,适当控制运算量,加大思考量,本次数学试卷的另一个特点是具有一定的综合性,很多题目是由多个知识点构成的,这有利于考查考生对知识的综合理解能力,有利于提高区分度,在适当的规划和难度控制下,效果明显通过考查知识的交汇点,对考生的数学能力提出了较高的要求,提高了试题的区分度,这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是相符的.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)【题文】1.已知集合,集合,则A.-B.-]C.[-D.[-]【知识点】交、并、补集的混合运算.A1【答案解析】B解析由集合M中的不等式移项得﹣1≥0,即≥0,解得x>1,∴集合M=(1,+∞),又全集为R,∴CRM=(﹣∞,1],由集合N中的不等式2x+3>0,解得x>﹣,∴集合N=(﹣,+∞),则(CRM)∩N=(﹣,1].故选B【思路点拨】分别求出集合M和N中不等式的解集,确定出M和N,由全集为R,找出不属于M的部分,求出M的补集,找出M补集与N的公共部分,即可求出所求的集合.【题文】2.已知是第二象限角,且sin,则tan2的值为A.B.C.D.【知识点】二倍角的正切.C6【答案解析】C解析由sin(π+α)=﹣sinα=﹣,得到sinα=,又α是第二象限角,所以cosα=﹣=﹣,tanα=﹣,则tan2α===﹣.故选C【思路点拨】根据诱导公式由已知的等式求出sinα的值,然后由α是第二象限角得到cosα小于0,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值,进而求出tanα的值,把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后,把tanα的值代入即可求出值.【题文】3.下列函数中,在其定义域是减函数的是A.B.C.D.【知识点】函数单调性的判断与证明.B3【答案解析】D解析A.该函数为二次函数,在其定义域上没有单调性;B.该函数为反比例函数,在其定义域上没有单调性;C.f(x)=,∴x<0时f(x)是增函数,即在其定义域上不是减函数;D.f(x)在定义域(﹣∞,2)上,x增大时,f(x)减小,所以该函数在其定义域上是减函数.故选D.【思路点拨】根据二次函数的单调性,反比例函数的单调性,指数函数的单调性,含绝对值函数的单调性,对数函数的单调性及单调性的定义即可找出正确的选项.【题文】
4.下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线x=对称的函数是A.y=2sin2x+B.y=2sin2x-C.y=2sinD.y=2sin2x-【知识点】正弦函数的对称性.C3【答案解析】B解析∵y=f(x)的最小正周期为π,可排除D;其图象关于直线x=对称,∴A中,f()=sin=≠±1,故A不满足;对于B,f()=sin(﹣)=sin=1,满足题意;对于C,f()=sin(+)=sin=≠±1,故C不满足;故选B.【思路点拨】将x=代入各个关系式,看看能否取到最值即可.【题文】5.已知二次函数,若是偶函数,则实数的值为A.-1B.1C.-2D.2【知识点】二次函数的图象.B5【答案解析】D解析∵f(x)=x2﹣ax+4,∴f(x+1)=(x+1)2﹣a(x+1)+4=x2+2x+1﹣ax﹣a+4=x2+(2﹣a)x+5﹣a,f(1﹣x)=(1﹣x)2﹣a(1﹣x)+4=x2﹣2x+1﹣a+ax+4=x2+(a﹣2)x+5﹣a.∵f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(﹣x+1),∴a﹣2=2﹣a,即a=2.故选D【思路点拨】根据f(x)求出f(x+1),由f(x+1)是偶函数得到f(x+1)=f(﹣x+1)即可得到关于a的方程,求出解集即可得到a的值.【题文】
6.的图象的一部分图形如图所示,则函数的解析式为A.y=sinx+B.y=sinx-C.y=sin2x+D.y=sin2x-【知识点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.C4【答案解析】C解析由函数的图象可得A=1,==﹣,求得ω=2.再根据五点法作图可得2×+φ=π,求得φ=,故函数的解析式为y=sin(2x+),故选C.【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.【题文】
7.设a为实数,函数fx=x3+ax2+a-2x的导数是,且是偶函数,则曲线y=fx在原点处的切线方程为A.y=-2xB.y=3xC.y=-3xD.y=4x【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;偶函数.B4B12【答案解析】A解析由f(x)=x3+ax2+(a﹣2)x,得,f′(x)=3x2+2ax+(a﹣2),又∵f(x)是偶函数,∴2a=0,即a=0,∴f(x)=3x2﹣2,∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为﹣2,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=﹣2x故选A【思路点拨】欲求曲线y=f(x)在原点处的切线方程,只需求出切线的斜率即可,利用曲线的切线斜率是曲线在切点处的导数,先求函数的导函数,根据导函数是偶函数,求出a的值,就可得到切线斜率,求出切线方程.【题文】8.已知函数,则的解集为A.-∞-1∪1+∞B.[-1-∪01]C.-∞0∪1+∞D.[-1-]∪01【知识点】函数单调性的性质.B3【答案解析】B解析∵f(x)=,∴
①若﹣1≤x<0时,也即0<﹣x≤1,∴f(x)﹣f(﹣x)=﹣x﹣1﹣(x+1)>﹣1,解得x<﹣,∴﹣1≤x<﹣
②若x=0,则f
(0)=﹣1,∴f(x)﹣f(﹣x)=0>﹣1,故x=0成立;
③若0<x≤1,则﹣1≤﹣x<0,∴﹣x+1﹣(x﹣1)>﹣1,x,∴0<x≤1;综上
①②得不等式解集为[﹣1,﹣)∪[0,1];故选B;【思路点拨】已知f(x)为分段函数,要求f(x)﹣f(﹣x)>﹣1的解集,就必须对其进行讨论
①若﹣1≤x<0时;
②若x=0,
③若0<x≤1,进行求解;【题文】9.对于任意的实数a、b,记max{ab}=.若Fx=max{fxgx}x∈R其中函数y=fxx∈R是奇函数,且在x=1处取得极小值-2,函数y=gxx∈R是正比例函数,其图象与x≥0时的函数y=fx的图象如图所示,则下列关于函数y=Fx的说法中,正确的是A.y=Fx为奇函数B.y=Fx有极大值F-1C.y=Fx的最小值为-2,最大值为2D.y=Fx在-30上为增函数【知识点】函数的图象;命题的真假判断与应用.A2B8【答案解析】B解析∵f(x)*g(x)=max{f(x),g(x)},∴f(x)*g(x)=max{f(x),g(x)}的定义域为R,f(x)*g(x)=max{f(x),g(x)},画出其图象如图中实线部分,由图象可知y=F(x)的图象不关于原点对称,不为奇函数;故A不正确y=F(x)有极大值F(﹣1)且有极小值F
(0);故B正确y=F(x)在(﹣3,0)上不为单调函数;故C不正确y=F(x)的没有最小值和最大值.故D不正确故选B.【思路点拨】在同一个坐标系中作出两函数的图象,横坐标一样时取函数值较大的那一个,如图,由图象可以看出选项的正确与否.【题文】10.已知函数fx是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有fx+2=fx.当0≤x≤1时,fx=x
2.若直线y=x+a与函数y=fx的图像在
[02]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是 A.0B.0或-C.-或-D.0或-【知识点】抽象函数及其应用.B4B8【答案解析】D解析∵f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,∴当﹣1≤x≤0时,0≤﹣x≤1,f(﹣x)=(﹣x)2=x2=f(x),又f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的函数,又直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,其图象如下当a=0时,直线y=x+a变为直线l1,其方程为y=x,显然,l1与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点;当a≠0时,直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,由图可知,直线y=x+a与函数y=f(x)相切,切点的横坐标x0∈[0,1].由得x2﹣x﹣a=0,由△=1+4a=0得a=﹣,此时,x0=x=∈[0,1].综上所述,a=﹣或0,故选D.【思路点拨】先作出函数f(x)在[0,2]上的图象,再分类讨论,通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题.二.填空题(本大题共4小题,每小题5分)【题文】
11.设则 【知识点】对数的运算性质;函数的值.B1B7【答案解析】解析g()=ln,g(g())=g(ln)==,故答案为.【思路点拨】利用对数及指数的运算性质可求得答案.【题文】
12、函数y=2sinx∈[0,π]为增函数的区间是..【知识点】正弦函数的单调性.C3菁【答案解析】[,]解析∵y=2sin(﹣2x)=﹣2sin(2x﹣),∴只要求y=2sin(2x﹣)的减区间,∵y=sinx的减区间为【2kπ+,2kπ+],∴2x﹣∈[2kπ+,2k],∴x,∵x∈[0,π],∴,故答案为【】.【思路点拨】在三角函数式中先把X的系数用诱导公式变为正,表现出来是负号提前,这样要求函数的增区间变成了去掉负号后的函数的减区间,据正弦函数的减区间求出结果,写出在规定的范围的区间.【题文】
13.校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10米如图所示,旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度为50秒,升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗.【知识点】解三角形的实际应用.C8【答案解析】
0.6解析如图所示,依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知,∴AC=sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中,AB=AC•sin∠ACB=20×=30米∵国歌长度约为50秒,∴故答案为
0.
6.【思路点拨】先画出示意图,根据题意可求得∠AEC和∠ACE,则∠EAC可求,然后利用正弦定理求得AC,最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案.【题文】
14.已知定义在上的函数对任意实数均有,且在区间上有表达式,则函数在区间上的表达式为【知识点】函数解析式的求解及常用方法.B1菁B1【答案解析】f(x)=﹣4(x+2)(x+4).解析设x∈[﹣3,﹣2],则x+4∈[1,2],由f(x+2)=﹣f(x),得f(x)=﹣2f(x+2)=﹣2[﹣2f(x+4)]=4f(x+4),因为f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=﹣x2+2x,所以f(x)=4f(x+4)=4[﹣(x+4)2+2(x+4)]=﹣4(x+2)(x+4).故答案为f(x)=﹣4(x+2)(x+4).【思路点拨】设x∈[﹣3,﹣2],则x+4∈[1,2],由f(x+2)=﹣f(x),可得f(x)=4f(x+4),由f(x)在区间[0,2]上的表达式f(x)=﹣x2+2x,可求f(x+4),从而解出答案.【题文】
15.已知函数fx=ex+alnx的定义域是D,关于函数fx给出下列命题
①对于任意a∈0,+∞,函数fx是D上的减函数;
②对于任意a∈-∞,0,函数fx存在最小值;
③存在a∈0,+∞,使得对于任意的x∈D,都有fx0成立;
④存在a∈-∞,0,使得函数fx有两个零点.其中正确命题的序号是________写出所有正确命题的序号.【知识点】函数的单调性与导数的关系;命题的真假判断与应用.A2B3B12【答案解析】
②④解析由对数函数知函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=ex+
①∵a∈(0,+∞)∴f′(x)=ex+≥0,是增函数.所以
①不正确,
②∵a∈(﹣∞,0),∴存在x有f′(x)=ex+=0,可以判断函数有最小值,
②正确.
③画出函数y=ex,y=alnx的图象,如图显然不正确.
④令函数y=ex是增函数,y=alnx是减函数,所以存在a∈(﹣∞,0),f(x)=ex+alnx=0有两个根,正确.故答案为
②④【思路点拨】先求导数,若为减函数则导数恒小于零;在开区间上,若有最小值则有唯一的极小值,若有零点则对应方程有根.三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤【题文】16.本题满分12分)在锐角三角形ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且1求角C的大小;2若C=,且ΔABC的面积为,求a+b的值.【知识点】正弦定理.C8【答案解析】1;
(2)
5.解析
(1)已知等式a﹣2csinA=0利用正弦定理化简得sinA﹣2sinCsinA=0,∵sinA≠0,∴sinC=,∵C为锐角,∴C=;
(2)∵sinC=,△ABC的面积为,∴由面积公式得absinC=ab=,即ab=6,∵c=,cosC=,∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab,即7=(a+b)2﹣18,∴(a+b)2=25,则a+b=5.【思路点拨】
(1)利用正弦定理化简已知等式,根据sinA不为0求出sinC的值,由C为锐角,利用特殊叫哦的三角函数值即可求出角C的大小;
(2)利用三角形面积公式列出关系式,将sinC与已知面积代入求出ab的值,再利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,把c与cosC,以及ab的值代入求出a+b的值即可.【题文】17.本题满分12分)设函数(,为常数),且方程有两个实根为.
(1)求的解析式;
(2)证明曲线的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心.【知识点】函数解析式的求解及常用方法.B1【答案解析】
(1);
(2)证明略,对称中心
(11).解析
(1)由解得故.
(2)证明已知函数,都是奇函数.所以函数也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.而.可知,函数的图像沿轴方向向右平移1个单位,再沿轴方向向上平移1个单位即得到函数的图像,故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.【思路点拨】
(1)把方程的2个实数根分别代入方程得到方程组,解此方程组求出待定系数,进而得到函数的解析式.
(2)利用2个奇函数的和仍是奇函数,再利用图象平移找出所求函数的对称中心.【题文】
18、本题满分12分)已知函数
(1)求的最大值和最小正周期;
(2)设,,求的值【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.C5C4【答案解析】
(1)的最大值,最小正周期;
(2).解析
(1)……1分…………4分且的最大值为…………………5分最小正周期…………………………6分
(2)…………7分,…………8分又,…………9分…………10分…………11分又…………12分【思路点拨】
(1)函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数,由正弦函数的值域确定出函数f(x)的最大值,找出ω的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期;
(2)由
(1)化简的f(x)解析式及已知的第一个等式,得到sinα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,再由已知的第二个等式,求出β的度数,代入所求式子中利用两角和与差的正弦函数公式化简,把各自的值代入即可求出值.【题文】
19、本题满分12分)已知函数,在处取得极值为2(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)若函数在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.B12【答案解析】(Ⅰ);(Ⅱ).解析(Ⅰ)已知函数,……1分又函数在处取得极值2,…………2分即经检验,当a=4,b=1时在处取得极值2……………………6分(Ⅱ)由,得,即,所以的单调增区间为(-1,1)因函数在(m,2m+1)上单调递增,则有,解得,即时,函数在(m,2m+1)上为增函数-----12分【思路点拨】(I)由题意对函数求导,然后利用极值的概念列出a,b的方程,在求解即可(II)由题意应该先求具体函数的单调区间,然后利用已知的条件及集合的思想,建立的m取值范围的不等式組求解即可.【题文】
20、本题满分12分)一水渠的横截面如下图所示,它的横截面曲线是抛物线形,AB宽2m,渠OC深为
1.5m,水面EF距AB为
0.5m.
(1)求截面图中水面宽度;
(2)如把此水渠改造成横截面是等腰梯形,要求渠深不变,不准往回填土,只准挖土,试求截面梯形的下边长为多大时,才能使所挖的土最少?【知识点】抛物线的应用.H7【答案解析】
(1)m;
(2)截面梯形的下边长为m时,才能使所挖的土最少.解析
(1)建立如图所示坐标系,则抛物线方程为x2=y+,当y=-
0.5时,x=±,∴水面宽EF=m.
(2)如上图,设抛物线一点Mtt2-(t0),因改造水渠中需挖土,而且要求挖出的土最少,所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.由y=x2-求导得y′=3x,∴过点M的切线斜率为3t,切线方程为y-t2-=3tx-t.令y=0,则x1=令y=-则x2=故截面梯形面积为S=2x1+2x2·=+t≥当且仅当t=时所挖土最少,此时下底宽m.【思路点拨】
(1)先建立直角坐标系,从而可得到A,B,C的坐标,然后设出抛物线的标准形式,将A的坐标代入即可得到抛物线的方程,再结合点E的纵坐标可求得其横坐标,从而可求得EF的宽度.
(2)先设出点M的坐标,根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少,然后对抛物线方程进行求导,求得点M的切线的斜率,表示出切线方程,然后令y=
0、﹣,求得对应的x的值,从而表示出截面面积,最后根据基本不等式的性质可求得t的值.【题文】
21、本题满分14分)已知函数,设.
(1)求F(x)的单调区间;
(2)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值.
(3)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.B12【答案解析】1的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2).3当时,函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点.解析1由------4分
(2)当…………………………………………8分
(3)若的图象与的图象恰有四个不同交点,即有四个不同的根,亦即有四个不同的根------------------------10分令,则当变化时的变化情况如下表-10011的符号+-+-的单调性↗↘↗↘由表格知-----12分画出草图和验证可知,当时,……………………14分【思路点拨】(I)先求出F(x),然后求出F(x),分别求出F′(x)>0与F′(x)<0求出F(x)的单调区间;(II)利用导数的几何意义表示出切线的斜率k,根据恒成立将a分离出来,,即可求出a的范围,从而得到a的最小值;(III)p函数y=g()+m﹣1的图象与y=f(1+x2)的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根,分离出m后,转化成新函数的最大值和最小值.xy-10。