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2019-2020年高三数学8月摸底考试试题文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分为150分,考试用时为120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知全集,集合,,则等于( )A. B. C. D.
2、已知为虚数单位,复数的模( )A.1 B. C. D.
33、在等差数列中,已知,则( ) A.7 B.8 C.9 D.
104、设是两个非零向量,则“”是“夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A.5和
1.6 B.85和
1.6C.85和
0.4 D.5和
0.
46、如果直线与平面满足那么必有()A.B.C.D.
7、如图所示,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯形,等腰直角三角形和长方形,则该几何体体积为( )A.B.C.D.
8、定义运算“”为两个实数的“”运算原理如图所示,若输人,则输出( )A.-2B.0C、2D.
49、在长为12厘米的线段上任取一点,现作一矩形邻边长分别等于线段的长则该矩形面积大于20平方厘米的概率为( )A.B.C.D.
10、如图,是函数图像上一点,曲线在点处的切线交轴于点,轴,垂足为若的面积为,则与满足关系式( )A.B.C.D.第II卷(非选择题,共100分)
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,其中14~15题是选做题,考生只需选做其中一题,两题全答的,只以第14小题计分.11.函数,则___
12.若目标函数在约束条件下仅在点处取得最小值,则实数的取值范围是.
13.已知,,且,则.
14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中圆的圆心到直线的距离是15.(几何证明选讲)如图,点B在⊙O上,M为直径AC上一点,BM的延长线交⊙O于N,,若⊙O的半径为,OA=OM,则MN的长为
三、解答题本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)已知向量,,设函数.(Ⅰ)求函数单调增区间;(Ⅱ)若,求函数的最值,并指出取得最值时的取值.
17、(本题满分12分)某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了100份问卷进行统计,得到相关的数据如下表节能意识弱节能意识强总计20至50岁45954大于50岁103646总计5545100
(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关?
(2)若全小区节能意识强的人共有350人,则估计这350人中,年龄大于50岁的有多少人?
(3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽5人,再是这5人中任取2人,求恰有1人年龄在20至50岁的概率
18、(本题满分14分)如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,点O是对角线与的交点是的中点.
(1)求证平面;
(2)平面平面
(3)当四棱锥的体积等于时求的长.
19、(本题满分14分)已知等差数列的公差为且
(1)求数列的通项公式与前项和;
(2)将数列的前项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项记的前项和为若存在使对任意总有恒成立求实数的取值范围
20、(本题满分14分)已知抛物线,过点的直线与抛物线交于两点,且直线与轴交于点1求证成等比数列;2设,,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
21、(本题满分14分)设函数(),.1若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;2关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;3对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.xx届七校联考文科数学答案ACDBBABADCB11.
12.
13.
14、
115、2
三、解答题本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)解(Ⅰ)2分当,Z,3分即,Z,即,Z时,函数单调递增,5分所以,函数的单调递增区间是,(Z);6分(Ⅱ)当时,,,8分当时,原函数取得最小值0,此时,10分当时,原函数取得最大值,此时.12分
17、(12分)解
(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强,大于50岁的46人有36人节能意识强,与相差较大,所以节能意识强弱与年龄有关……3分
(2)年龄大于50岁的有(人)……6分(列式2分,结果1分)3抽取节能意识强的5人中年龄在20至50岁的有人…………7分年龄大于50岁的有4人………………8分记这5人分别为从这5人中任取2人所有可能情况有10种列举如下…10分设表示事件“这5人中任取2人,恰有1人年龄在20岁至50岁”,则中的基本事件有共4种…………………11分故所求概率为……………………12分
18、(14分)解:
(1)在中,、分别是、的中点是的中位线,,…………1分面,面……3分面……4分
(2)底面是菱形,,……5分面,面,…………………………6分面,面,,……7分面……8分面,……9分面面……10分
(3)因为底面是菱形,,所以……11分四棱锥的高为,,得……12分面,面,…………………………13分在中.…………14分
19、(14分)解1由得,所以,从而----------------------------6分2由题意知设等比数列的公比为,则,随递减,为递增数列,得又,故,若存在使对任意总有则,得-------14分20.(14分)解1证明设直线的方程为,联立方程可得得
①设,,,则,
②,而,∴,即成等比数列.2由,得,,即得,则由1中
②代入得,故为定值且定值为-
1.21.(14分)解
(1)因为,所以,令得,此时, …………2分则点到直线的距离为,即,解之得. …………4分
(2)解法一不等式的解集中的整数恰有3个,等价于恰有三个整数解,故, …………6分令,由且,所以函数的一个零点在区间,则另一个零点一定在区间, …………8分故解之得. …………10分解法二恰有三个整数解,故,即,…………6分,所以,又因为, …………8分所以,解之得. …………10分
(3)设,则.所以当时,;当时,.因此时,取得最小值,则与的图象在处有公共点. …………12分设与存在“分界线”,方程为,即,由在恒成立,则在恒成立.所以成立,因此. 下面证明恒成立.设,则.所以当时,;当时,.因此时取得最大值,则成立.故所求“分界线”方程为. …………14分241正视图俯视图侧视图。