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2019-2020年高三数学9月模拟考试试题理【试卷综析】本试卷是高三摸底考试理工类数学试卷,目的是对升入高三的学生的学习情况做一个了解其命题模式与高考保持一致,考查了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考纲要求的基本能力,知识考查注重基础、注重常规,但也有综合性较强的问题试题分必做和选作两个部分,必做部分试题重点考查函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等;选作部分考察几何证明、坐标系与参数方程、不等式选讲,都是常规题目试卷涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论,数形结合等试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用说明1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选考两个部分.2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题.3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的项目符号涂黑,如需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案.4.考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.第Ⅰ卷
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
1、已知集合M={x|x≥-1},N={x|2-x2≥0},则M∪N=A.[-1,+∞B.[-1,]C.[-,+∞D.-∞,-]∪[-1,+∞【知识点】集合的运算A1【答案解析】C解析,所以,故答案为C【思路点拨】解不等式,得集合N,再根据并集的定义求即可,必要时可借助数轴辅助运算
2、复数,则A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为-iD.z的共轭复数为-1+i【知识点】复数的相关概念和运算L4【答案解析】D解析,,故A错误;的实部为-1,故B错误;的虚部为-1,不是,故C错误;根据共轭复数的定义,复数的共轭复数为,故D正确,故选D【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数,然后根据复数的相关概念进行判断即可
3、函数是A.偶函数,在0,+∞是增函数B.奇函数,在0,+∞是增函数C.偶函数,在0,+∞是减函数D.奇函数,在0,+∞是减函数【知识点】函数的奇偶性和单调性;指数函数的性质B3B4B6【答案解析】B解析函数的定义域为,,所以函数为奇函数;函数是增函数,是减函数,所以是增函数,则也是增函数,故选B【思路点拨】由函数奇偶性的定义可以判断函数为奇函数,而指数函数是增函数,是减函数,可以判断是增函数
4、抛物线y=2ax2a≠0的焦点是A.,0B.,0或-,0C.0,D.0,或0,-【知识点】抛物线的几何性质H7【答案解析】C解析抛物线的方程化成标准形式为,其焦点在轴上,所以焦点坐标为,故答案为C【思路点拨】先把抛物线方程整理成标准方程,进而根据抛物线的性质可得焦点坐标
5、已知,则sin2x的值为A.B.C.D.【知识点】差角公式;二倍角公式;同角三角函数基本关系式C2C5C6【答案解析】A解析,,两边平方得,,故选A【思路点拨】把已知的式子用差角公式展开、化简,可得到的值,两边平方再结合二倍角公式和同角三角函数基本关系式,即可计算出的值
6、高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为A.B.C.D.【知识点】条件概率K2【答案解析】A解析4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、(丙甲乙丁)、(丙丁甲乙)、(丁甲乙丙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙乙甲丁)、(丙丁乙甲)、(丁乙甲丙)、(丁丙乙甲),共计12种,其中甲丙相邻的有(丙甲乙丁)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(丁乙甲丙)、有4种,∴甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为,故选A【思路点拨】用列举法列出4人排成一排,其中甲、乙相邻的情况,找出甲丙相邻,由此能求出甲乙相邻,则甲丙相邻的概率
7、设向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|t∈R的最小值为A.B.C.1D.2【知识点】向量的模的计算;二次函数的最值F3B5【答案解析】A解析由已知得,,当时,有最小值,故选A【思路点拨】由已知结合向量的模长计算公式、性质对进行化简,可得出,代入中,则,再利用配方法求其最值即可
8、已知a>0,x,y满足约束条件,且的最小值为1,则a=A.1B.2C.D.【知识点】简单的线性规划E5【答案解析】D解析直线的斜率为正数,经过定点,画出可行域如图由,得,表示斜率为,在轴上的截距为的直线系,平移直线,当其经过可行域内的点B时,截距最小,最小,由,得点,代入可得,故选D【思路点拨】先根据约束条件画出可行域,由,得z的几何意义是直线的斜率,平移直线z=2x+y,当过可行域内的点B时取得最小值,解出点B的坐标,从而得到值即可
9、执行如图所示的程序框图,则输出的a=A.5B.C.D.【知识点】含循环结构的程序框图L1【答案解析】C解析第一次循环,,,,成立,进入下一次循环;第二次循环,,,,成立,进入下一次循环;第三次循环,,,,成立,进入下一次循环;第四次循环,,,,成立,进入下一次循环;从这里可以看出,循环具有周期性,周期为3,循环结束时,,循环进行了9次,输出的的值与第三次循环一样,所以,故选C【思路点拨】按照框图中流程线的流向判断循环是否需要进行,写出每次循环的结果,不难得出最后的结果
10、将函数fx=sinωx其中ω>0的图象向右平移个单位长度,所得图象关于对称,则ω的最小值是A.6B.C.D.【知识点】函数的性质C4【答案解析】D解析将函数的图像向右平移个单位后,可得到函数的图像,又因为所得图像关于对称,所以,即,ω>0,所以当时,取最小值,故选D【思路点拨】由条件根据函数的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性可得,即,由此可计算出取最小值
11、已知a>0,且a≠1,则函数fx=ax+x-12-2a的零点个数为A.1B.2C.3D.与a有关【知识点】函数的零点;指数函数、二次函数B5B6B9【答案解析】B解析由,得,设,这是一个指数函数,,这是一个二次函数,其对称轴为,开口向下,最大值为,与轴交点的纵坐标为,当时,作出两个函数的图像(如图中的红线部分),显然此时两个函数的图像有两个交点,即函数有两个零点;当时,作出两个函数的图像(如图中的黑线部分),显然此时两个函数的图像也有两个交点,即函数有两个零点;综上,函数恒有两个零点,故选B【思路点拨】把函数的零点转化成两个简单函数的交点,在同一个坐标系内作出两个函数的图像,利用数形结合法观察两个函数交点的情况即可因为的值不定,故要分类讨论
12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的球面面积为A.5πB.12πC.20πD.8π【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积G1G2【答案解析】A解析由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3,4的长方形,侧棱垂直于底面的四棱锥,把它扩展为长方体,则长、宽、高分别为1,1,它的外接球的直径就是长方体的对角线的长,所以长方体的对角线长为,所以球的半径为,这个几何体的外接球的表面积是,故选A【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为3,4的长方形,侧棱垂直于底面的四棱锥把它扩展为长方体,它的外接球的直径就是长方体的对角线的长,求出对角线长,即可求出外接球的表面积.第Ⅱ卷
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13、的展开式中的系数是___________.【知识点】二项式定理J3【答案解析】56解析的展开式的通项为,当时,可得的系数为,故答案为56【思路点拨】写出的展开式的通项,当时,就得到含的项,再求其系数即可
14、实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是________________.【知识点】基本不等式;指数的运算B6E6【答案解析】6解析利用基本不等式可得,,当且仅当,即时,取等号,故答案为6【思路点拨】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出结论
15、已知双曲线C a>0,b>0的一条渐近线与直线l垂直,C的一个焦点到l的距离为1,则C的方程为__________________.【知识点】直线的位置关系和距离公式;双曲线的标准方程和性质H2H6【答案解析】解析双曲线的一条渐近线与直线l垂直,双曲线的渐近线的斜率为,则,
①由题意知双曲线的焦点在轴上,可设双曲线的一个焦点坐标为,根据点到直线的距离公式,则,,即,
②,联立
①②,解得,所以双曲线的标准方程为,故答案为【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数根据已知可求出渐近线的斜率,得到一个关于的方程,再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于的方程,联立两个方程,解出参数即可
16、在△ABC中,,点D在边BC上,,,,则AC+BC=_________________.【知识点】解三角形C8【答案解析】解析,故答案为【思路点拨】根据三角形的边角关系,利用正弦定理和余弦定理求出BD,CD和AD的长度,即可得到结论.
三、解答题本大题共70分,其中17-21题为必考题,22,23,24题为选考题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本小题满分12分已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sn=knn+1-nk∈R,公差d为
2.1求an与k;2若数列{bn}满足,,求bn.【知识点】等差数列及前项和;等比数列的前项和D2D3【答案解析】解(Ⅰ)由题设得,,由得,则…4分(Ⅱ).由(Ⅰ)知,又因为,所以.明显,时,也成立.综上所述,【思路点拨】(Ⅰ)已知给出了等差数列{an}的公差d,再求出首项即可解得,由题意可利用结合等差数列定义求出,再求即可;(Ⅱ)由已知可得,结合(Ⅰ)的结论进一步化为,而数列是首项为2,公比为4的等比数列,就是其前项和,利用代入等比数列前项和公式中即可解出结论18本小题满分12分某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务,每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目每名大学生只参加一个项目的服务1求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率;2设X,Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.【知识点】古典概型的概率;离散型随机变量的分布列、均值和方差K2K6K8【答案解析】解(Ⅰ)设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai,(i=0,1,2,3,4,5),则PA2==.…4分(Ⅱ)ξ的所有可能取值是1,3,5.Pξ=1=PA2+A3=PA2+PA3=+=;Pξ=3=PA1+A4=PA1+PA4=+=;Pξ=5=PA1+A4=PA0+PA5=+=.则随机变量ξ的分布列为[ξ135P…10分则ξ的数学期望Eξ=1×+3×+5×=.…12分【思路点拨】(Ⅰ)设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai,(i=0,1,2,3,4,5),由此利用等可能事件概率计算公式能求出5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率.(Ⅱ)ξ的所有可能取值是1,3,5.分别求出相应的概率,由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)19本小题满分12分如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点.1求证A1B∥平面ADC1;2若AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.【知识点】线面平行的判定;二面角的平面角的求法G4G11【答案解析】解(Ⅰ)连接A1C,交AC1于点E,则点E是A1C及AC1的中点.连接DE,则DE∥A1B.因为DE平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.…4分(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.则A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,C10,1,2D,,0,=,,0,=0,1,2.…6分设平面ADC1的法向量m=x,y,z,则不妨取m=2,-2,1.…9分易得平面ABA1的一个法向量n==0,1,0.…10分cosm,n==,平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值是.…12分【思路点拨】(Ⅰ)连接A1C,交AC1于点E,连接DE,则DE∥A1B,由此能证明A1B∥平面ADC1.(Ⅱ)建立空间直角坐标系A-xyz.利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值,再根据同角三角函数的基本关系式求出正弦值.20本小题满分12分椭圆C a>b>0的离心率为,Pm,0为C的长轴上的一个动点,过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m=0时,1求C的方程;2求证为定值.【知识点】椭圆的标准方程和性质;直线与椭圆;向量的运算H5H8F3【答案解析】解(Ⅰ)因为离心率为,所以=.当m=0时,l的方程为y=x,代入并整理得x2=.…2分设Ax0,y0,则B-x0,-y0,·=-x-y=-x=-·.又因为·=-,所以a2=25,b2=16,椭圆C的方程为.…5分(Ⅱ)l的方程为x=y+m,代入并整理得25y2+20my+8m2-25=0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则|PA|2=x1-m2+y=y,同理|PB|2=y.…8分则|PA|2+|PB|2=y+y=[y1+y22-2y1y2]=[-2-]=41.所以,|PA|2+|PB|2是定值.…12分【思路点拨】Ⅰ由椭圆的离心率可列出关于参数的一个方程当m=0时,直线l的方程已知,与椭圆方程联立,消去y化简,设出点的坐标,用坐标表示,再根据列出关于的第二个方程,两方程联立即可解得;(Ⅱ)根据点斜式可设直线的方程为,与椭圆方程联立,消去,设出的坐标,利用两点间的距离公式表示出,结合韦达定理化简,即可证明为定值
41.21本小题满分12分已知函数fx=2ex-ax-2a∈R1讨论函数的单调性;2若fx≥0恒成立,证明x1<x2时,【知识点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用B12B14【答案解析】解(Ⅰ)fx=2ex-a.若a≤0,则fx>0,fx在-∞,+∞上单调递增;若a>0,则当x∈-∞,ln时,fx<0,fx单调递减;当x∈ln,+∞时,fx>0,fx单调递增.…4分(Ⅱ)证明由(Ⅰ)知若a≤0,fx在-∞,+∞上单调递增,又f0=0,故fx≥0不恒成立.若a>0,则由fx≥0=f0知0应为极小值点,即ln=0,所以a=2,且ex-1≥x,当且仅当x=0时,取“=”.…7分当x1<x2时,fx2-fx1=2ex2-ex1-2x2-x1=2ex1ex2-x1-1-2x2-x1≥2ex1x2-x1-2x2-x1=2ex1-1x2-x1,所以>2ex1-1.【思路点拨】
(1)利用导数的运算法则求出,根据的值进行分类讨论,判断的符号,即可得出其单调性;
(2)通过对分类讨论,得到当,满足条件fx≥0且ex-1≥x,当且仅当x=0时,取“=”.利用此结论即可证明.请考生在第22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22本小题满分10分选修4-1几何证明选讲如图,⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B,C,T,且与AT相切,交AB的延长线于点D.1求证AT2=BT·AD;2E、F是BC的三等分点,且DE=DF,求∠A.【知识点】与圆有关系的比例线段N1【答案解析】解(Ⅰ)证明因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB,所以∠A=∠ATB,所以AB=BT.又AT2=ABAD,所以AT2=BTAD.…4分(Ⅱ)取BC中点M,连接DM,TM.由(Ⅰ)知TC=TB,所以TM⊥BC.因为DE=DF,M为EF的中点,所以DM⊥BC.所以O,D,T三点共线,DT为⊙O的直径.所以∠ABT=∠DBT=
90.所以∠A=∠ATB=
45.…10分【思路点拨】
(1)证明AB=BT,结合切割线定理,即可证明结论;
(2)取BC中点M,连接DM,TM,可得O,D,T三点共线,DT为⊙O的直径,即可求∠A23本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C,过点P-2,-4的直线l的参数方程为t为参数,l与C分别交于M,N.1写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;2若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.【知识点】极坐标方程和直角坐标方程的互化;参数方程的应用N3【答案解析】解(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0);直线l的普通方程为x-y-2=0.…4分(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-24+at+84+a=0(*)△=8a4+a>0.设点M,N分别对应参数t1,t2,恰为上述方程的根.则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得t1-t22=|t1t2|,即t1+t22-4t1t2=|t1t2|.[由(*)得t1+t2=24+a,t1t2=84+a>0,则有4+a2-54+a=0,得a=1,或a=-4.因为a>0,所以a=1.…10分【思路点拨】(Ⅰ)根据直角坐标和极坐标的互化公式把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;用代入法消去参数t,把直线l的参数方程化为普通方程;(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立得到关于的一元二次方程,则点M,N.对应的参数就是方程的根,根据|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,结合维达定理又得到一个关于的方程,解方程即得的值24本小题满分10分选修4-5不等式选讲设函数m>01证明fx≥4;2若f2>5,求m的取值范围.【知识点】绝对值不等式的证明N4【答案解析】解(Ⅰ)由m>0,有fx=|x-|+|x+m|≥|-x-+x+m|=+m≥4,当且仅当=m,即m=2时取“=”.所以fx≥4.…4分(Ⅱ)f2=|2-|+|2+m|.当<2,即m>2时,f2=m-+4,由f2>5,得m>.当≥2,即0<m≤2时,f2=+m,由f2>5,0<m<1.综上,m的取值范围是0,1∪,+∞.…10分【思路点拨】(Ⅰ)运用绝对值不等式的性质绝对值的和不小于差的绝对值,再利用基本不等式即可证得结论;(Ⅱ)分当时和当时两种情况,分别根据,求得m的范围,再把所得m的范围取并集,即得所求。