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2019-2020年高三数学一轮复习第7篇第2节空间几何体的表面积与体积课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积
3、
4、
13、17空间几何体的体积
1、
2、
9、
10、
11、
13、
15、17与球有关的面积、体积问题
5、
6、
7、14折叠与展开问题
8、
12、16基础过关
一、选择题
1.如图是某一几何体的三视图则这个几何体的体积为 B A4B8C16D20解析:由三视图知此几何体是一个三棱锥底面为一边长为6高为2的三角形三棱锥的高为4所以体积为V=××6×2×4=
8.故选B.
2.xx黄冈中学月考某空间组合体的三视图如图所示则该组合体的体积为 C A48B56C64D72解析:该组合体由两个棱柱组成上面的棱柱体积为2×4×5=40下面的棱柱体积为4×6×1=24故组合体的体积为
64.故选C.
3.xx泸州模拟一个几何体的三视图如图所示其中俯视图是菱形则该几何体的侧面积为 C A+B+C+D+解析:由三视图知该几何体为四棱锥如图所示.其中PA⊥平面ABCD四边形ABCD为正方形且PA=1正方形的边长为Rt△PAB中PB=Rt△PAC中PC=因此PB⊥BCPD⊥CD.因此S侧=2××1×+2×××=+.故选C.
4.xx宁夏银川模拟如图是一个几何体的三视图正视图和侧视图均为矩形俯视图中曲线部分为半圆尺寸如图则该几何体的表面积为 A A2+3π+4B2+2π+4C8+5π+2D6+3π+2解析:由三视图可知该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的组合体该几何体的表面积S=π×2×1+4+2(π+1)=3π+4+
2.故选A.
5.已知三棱锥OABCABC三点均在球心为O的球表面上AB=BC=1∠ABC=120°三棱锥OABC的体积为则球O的表面积是 A A64πB16πCπD544π解析:△ABC的面积是由余弦定理得AC=.设球心O到平面ABC的距离为h则××h=所以h=.△ABC外接圆的直径2r==2所以r=
1.球的半径R==4故所求的球O的表面积是4π×42=64π.故选A.
6.xx山东省师大附中模拟正六棱柱底面为正六边形侧棱垂直于底面的棱柱的底面边长为4高为6则它的外接球的表面积为 C A20πB25πC100πD200π解析:由正六棱柱的特征知正六棱柱最长的对角线即为外接球的直径因为底面边长为4所以外接球直径为==10所以外接球的表面积为4πR2=4π×25=100π.故选C.
7.xx江西南昌一模已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上球心O到平面ABC的距离为1点E是线段AB的中点过点E作球O的截面则截面面积的最小值是 C AπB2πCπD3π解析:所作的截面与OE垂直时截面圆的面积最小.设正三角形ABC的高为3a则4a2+1=4即a=此时OE2=12+=截面圆半径r2=22-=故截面面积为.故选C.
二、填空题
8.有一根长为3πcm底面直径为2cm的圆柱形铁管用一段铁丝在铁管上缠绕2圈并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端则铁丝的最短长度为 cm. 解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开在平面上得到矩形ABCD如图由题意知BC=3πcmAB=4πcm点A与点C分别是铁丝的起、止位置故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC==5πcm故铁丝的最短长度为5πcm.答案:5π
9.xx高考江苏卷如图在三棱柱A1B1C1ABC中DEF分别是ABACAA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2则V1∶V2= . 解析:==··=×××=.答案:1∶
2410.xx高考浙江卷若某几何体的三视图单位:cm如图所示则此几何体的体积等于 cm
3. 解析:由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥如图所示.三棱柱的底面为直角三角形且直角边长分别为3和4三棱柱的高为5故其体积V1=×3×4×5=30cm3小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同高为3故其体积V2=××3×4×3=6cm3所以所求几何体的体积为30-6=24cm
3.答案:
2411.xx高考辽宁卷某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积是 . 解析:由三视图画出其直观图如图所示知几何体为圆柱挖去一个正四棱柱则该几何体体积为V=4·π·22-2×2×4=16π-
16.答案:16π-16
三、解答题
12.如图所示在边长为5+的正方形ABCD中以A为圆心画一个扇形以O为圆心画一个圆MNK为切点以扇形为圆锥的侧面以圆O为圆锥底面围成一个圆锥求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l底面半径为r高为h由已知条件解得r=l=4S=πrl+πr2=10πh==V=πr2h=.
13.一几何体按比例绘制的三视图如图所示单位:m:1试画出它的直观图;2求它的表面积和体积.解:1直观图如图所示.2由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱且该几何体的体积是以A1AA1D1A1B1为棱的长方体的体积的在直角梯形AA1B1B中作BE⊥A1B1于E则四边形AA1EB是正方形AA1=BE=1在Rt△BEB1中BE=1EB1=1∴BB1=∴几何体的表面积S=S正方形ABCD++2++=1+2×1+2××1+2×1+1×+1=7+m
2.∴几何体的体积V=×1×2×1=m3∴该几何体的表面积为7+m2体积为m
3.能力提升
14.xx云南昆明模拟若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上SA⊥平面ABCSA=2AB=1AC=2∠BAC=60°则球O的表面积为 . 解析:因为AB=1AC=2∠BAC=60°所以BC2=1+22-2×1×2cos60°=3所以BC=.所以∠ABC=90°即△ABC为直角三角形.因为三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上且SA⊥平面ABC于是SC为球O的直径.Rt△SAC中SA=2AC=2所以SC=
4.球的表面积为4π()2=16π.答案:16π
15.xx广东东莞模拟如图三棱锥PABC的高PO=8AC=BC=3∠ACB=30°MN分别在BC和PO上且CM=xPN=2CM则三棱锥NAMC的体积V在x∈03]上的最大体积是 . 解析:=S△AMC·NO=×AC·CMsin30°·PO-PN=××3x×8-2x=4x-x2=2-x-22因为x∈03]所以三棱锥NAMC的最大体积是
2.答案:
216.如图1在直角梯形ABCD中∠ADC=90°CD∥ABAB=4AD=CD=2将△ADC沿AC折起使平面ADC⊥平面ABC得到几何体DABC如图2所示.1求证:BC⊥平面ACD;2求几何体DABC的体积.1证明:在题图1中可得AC=BC=2从而AC2+BC2=AB2故AC⊥BC取AC的中点O连接DO则DO⊥AC又平面ADC⊥平面ABC平面ADC∩平面ABC=ACDO⊂平面ADC从而DO⊥平面ABC∴DO⊥BC又AC⊥BCAC∩DO=O∴BC⊥平面ACD.2解:由1可知BC为三棱锥BACD的高BC=2S△ACD=2∴==S△ACD·BC=×2×2=.探究创新
17.xx绍兴模拟已知正四面体的俯视图如图所示其中四边形ABCD是边长为2的正方形则这个正四面体的表面积为 体积为 . 解析:由题意知正四面体的直观图如图EACF补成正方体如图.正方体棱长为2知正四面体的棱长为2正四面体表面积为×22×4=
8.点E到平面ACF的距离为=.正四面体的体积为×××22=.答案:8 。