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2019-2020年高三数学一轮复习第8章第5课时椭圆课时训练文新人教版1.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选C.把椭圆方程化成+=
1.若m>n>0,则>>
0.所以椭圆的焦点在y轴上.反之,若椭圆的焦点在y轴上,则>>0,即有m>n>
0.故为充要条件.2.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 A.-21B.21C.-或21D.或21解析选C.若a2=9,b2=4+k,则c=,由=,即=,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由=,即=,解得k=
21.3.xx·洛阳统考已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F,0,直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为 A.+y2=1B.x2+=1C.+=1D.+=1解析选C.依题意,设椭圆方程为+=1a>b>0,则有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1,选C.4.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为 A.+y2=1B.+=1C.+y2=1或+=1D.以上答案都不对解析选C.直线与坐标轴的交点为0,1,-2,0,由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,∴a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=
1.当焦点在y轴上时,b=2,c=1,∴a2=5,所求椭圆标准方程为+=
1.故选C.5.若椭圆上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1,则此椭圆离心率的取值范围是 A.[,]B.[,]C.,1D.[,1解析选D.设P到两个焦点的距离分别为2k,kk>0,根据椭圆定义可知3k=2a,又结合椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k≤2c,∴2a≤6c,即e≥.又∵0<e<1,∴≤e<
1.6.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是,则这个椭圆方程为________.解析由题意知解得∴椭圆方程为+=1或+=
1.答案+=1或+=17.xx·开封摸底椭圆+=1的焦点为F
1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为________.解析∵a2=9,b2=2,∴c2=7,c=.∵|PF1|+|PF2|=2a=6,∴在△PF1F2中,|PF1|=4,|PF2|=2,∴cos∠F1PF2==-,∴∠F1PF2=120°.答案120°8.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是________.解析因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以|a|-1>a+3>0,解得-3<a<-
2.答案-3,-29.xx·高考新课标全国卷Ⅱ设F1,F2分别是椭圆C+=1a>b>0的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.1若直线MN的斜率为,求C的离心率;2若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析1根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2舍去.故C的离心率为.2由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D0,2是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.
①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设Nx1,y1,由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=
1.
②将
①及c=代入
②得+=
1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=
2.B级 能力突破1.xx·大庆质检设F
1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使+·=0O为坐标原点,则△F1PF2的面积是 A.4 B.3C.2D.1解析选D.∵+·=+·=·=0,∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,∴S△F1PF2=mn=1,故选D.2.xx·唐山统考椭圆C+=1a>b>0的左、右焦点分别为F
1、F2,A、B是C上两点,=3,∠BAF2=90°,则椭圆C的离心率为 A.B.C.D.解析选B.由条件=3,可知A、B、F1三点共线.设||=x,则||=3x,由椭圆定义可知|AF2|=2a-3x,|BF2|=2a-x,在Rt△ABF2中有4x2+2a-3x2=2a-x2,整理有x3x-a=0,即3x=a,x=.在Rt△AF1F2中有|F1F2|=2c,3x2+2a-3x2=4c2,将x=代入得a2+2a-a2=4c2,即=,e2=,故e=.3.xx·山东东阿一中月考过椭圆+=1a>b>0的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析选B.由题意,点P的坐标为或.因为∠F1PF2=60°,所以=tan60°=,则2ac=b2,即2ac=a2-c2,c2+2ac-a2=
0.两边同时除以a2,得e2+2e-=0,即e-1e+=0,解得e=或e=-舍去.4.xx·洛阳统考椭圆+=1的上、下顶点分别为A
1、A2,左顶点为B1,左焦点为F1,若直线A1F1交直线A2B1于点D,则cos∠B1DF1=________.解析如图,由椭圆的性质知点A10,、A20,-、B1-2,
0、F1-1,0,∴=-2,,=1,,则cos∠B1DF1===.答案5.xx·豫北六校4月联考如图所示,A,B是椭圆的两个顶点,C是AB的中点,F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且|OF|=,若MF⊥OA,则椭圆的方程为________.解析设所求的椭圆方程为+=1a>b>0,则Aa,0,B0,b,C,F,0,依题意,得=,所以M,由于O、C、M三点共线,所以=,即a2-2=2,所以a2=4,b2=2,所以所求的椭圆的方程为+=
1.答案+=16.xx·高考新课标全国卷Ⅰ已知点A0,-2,椭圆E+=1a>b>0的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.1求E的方程;2设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解析1设Fc,0,由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=
1.故E的方程为+y2=
1.2当l⊥x轴时不合题意,故设l y=kx-2,Px1,y1,Qx2,y2,将y=kx-2代入+y2=1得1+4k2x2-16kx+12=
0.当Δ=164k2-3>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y=x-2或y=-x-
2.。