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文本内容:
2019-2020年高三数学一轮复习综合检测
(一)理
一、选择题:本大题共12小题每小题5分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.若ab0集合M=N={x|xa}则集合M∩N等于 C A{x|bx}B{x|bxa}CD解析:因为b=a所以M∩N=()故选C.
2.已知1+i1-mi=2ii是虚数单位则实数m的值为 D A±1B1C2D-1解析:1+i1-mi=1+m+1-mi=2i由复数相等得解得m=-1故选D.
3.已知双曲线-=1a0b0的离心率为2一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同则双曲线的渐近线方程为 A Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±x解析:抛物线y2=16x的焦点坐标为40因此c=4双曲线的离心率e===2得a=2所以b==2因此双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x故选A.
4.执行如图所示的程序框图若输入如下四个函数:
①fx=sinx;
②fx=cosx;
③fx=;
④fx=x
2.则输出的函数是 A Afx=sinxBfx=cosxCfx=Dfx=x2解析:若满足fx+f-x=0则函数为奇函数排除选项B、D又存在零点排除选项C故选A.
5.已知fα=则f(-π)的值为 A AB-CD-解析:fα==cosαF(-π)=cos(-π)=cosπ=cos(8π+)=cos=.故选A.
6.某四面体的三视图如图所示正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形则此四面体的外接球的体积为 D AB3πCπDπ解析:由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形所以此四面体一定可以放在正方体中所以我们可以在正方体中寻找此四面体.如图所示四面体ABCD满足题意所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球由题意可知正方体的棱长为1所以外接球的半径为R=所以此四面体的外接球的体积为×π×()3=π故选D.
7.某公司10位员工的月工资单位:元为x1x2…x10其均值和方差分别为和s2若从下月起每位员工的月工资增加100元则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 D As2+1002B+100s2+1002Cs2D+100s2解析:由题得每位员工月工资增加100元则均值为+100xi+100-+100=xi-所以方差不变故选D.
8.若函数fx=2sinxx∈[0π]在点P处的切线平行于函数gx=2·(+1)在点Q处的切线则直线PQ的斜率为 C A1BCD2解析:设Px1y1Qx2y2f′x=2cosx≤2g′x=·(+1)+=+≥2当且仅当x=1时取“=”又f′x1=g′x2则f′x1=g′x2=
2.此时P00Q
(1)所以kPQ=.故选C.
9.已知函数fx=sin2ωx+cosωx·cos(-ωx)ω0且函数y=fx的图象相邻两条对称轴之间的距离为则f()的值为 C ABC1D解析:由题意得fx=+sin2ωx=sin(2ωx-)+则=即T=π所以=π即ω=1从而fx=sin(2x-)+故f()=sin(-)+=sin+=
1.故选C.
10.从集合{2345}中随机抽取一个数a从集合{135}中随机抽取一个数b则向量m=ab与向量n=1-1垂直的概率为 A ABCD解析:由题意可知m=ab有212325313335414345515355共12个.m⊥n即m·n=0所以a×1+b×-1=0即a=b有3355共2个满足条件.故所求概率为.故选A.
11.若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:yy-mx-m=0有四个不同的交点则实数m的取值范围是 B A(-)B(-0)∪
(0)C[-]D-∞-∪+∞解析:C1:x-12+y2=1C2:y=0或y=mx+m=mx+
1.当m=0时C2:y=0此时C1与C2显然只有两个交点;当m≠0时要满足题意需圆x-12+y2=1与直线y=mx+1有两交点当圆与直线相切时m=±即直线处于两切线之间时满足题意则-m0或0m.综上知-m0或0m.故选B.
12.已知函数fx满足fx=f-x且当x∈-∞0]时fx+xf′x0成立若a=
20.1·f
20.1b=ln2·fln2c=log2·flog2则abc的大小关系是 B AabcBcbaCcabDacb解析:构造函数gx=xfx则g′x=fx+xf′x∵当x∈-∞0]时不等式fx+xf′x0恒成立∴g′x0即gx在x∈-∞0]上单调递减.又∵函数y=fx满足fx=f-x是定义在实数集R上的偶函数∴gx=xfx是定义在实数集R上的奇函数∴函数gx在实数集R上为减函数∴a=g
20.1b=gln2c=glog2=g-3又∵-3ln
220.1∴cba故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题每小题5分.
13.已知2x3-n的展开式的常数项是第7项则正整数n的值为 . 解析:依题意二项式2x3-n的展开式的通项是Tr+1=·2x3n-r·-r=·2n-r·-1r·x3n-4r于是有3n-4×6=0得n=
8.答案:
814.若a≥0b≥0且当时恒有ax+by≤1则以ab为坐标点Pab所形成的平面区域的面积等于 . 解析:由ax+by≤1恒成立知当x=0时by≤1恒成立∴0≤b≤1同理0≤a≤1∴以ab为坐标点Pab所形成的平面区域是一个正方形所以面积为
1.答案:
115.在△ABC中已知AB=4cosB=AC边上的中线BD=则sinA= . 解析:如图由=+得=++2·即||2=||2+||2+2||||cosB2=42+a2+2×4acosB化简得a2+7a-18=0解得a=
2.由cosB=得b=.所以cosA==所以sinA=.答案:
16.已知函数fx=且关于x的方程fx+x-a=0有且只有一个实根则实数a的取值范围是 . 解析:如图在同一坐标系中分别作出y=fx与y=-x+a的图象其中a表示直线在y轴上截距由图可知当a1时直线y=-x+a与y=fx只有一个交点.答案:a1
三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17.本小题满分12分已知等差数列{an}中a1=1a3=-
3.Ⅰ求数列{an}的通项公式;Ⅱ若数列{an}的前k项和Sk=-35求k的值.解:Ⅰ设等差数列的公差为d则2d=a3-a1=-4∴d=-22分∴an=1+n-1×-2=3-2n.6分Ⅱ由Ⅰan=3-2n∴Sn==2n-n28分若Sk=-35可得k2-2k-35=0解得k=7或k=-5又k∈N*故k=
7.12分
18.本小题满分12分某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况得到如下数据统计表:网购金额单位:千元频数频率
00.5]
30.
050.51]xp
11.5]
90.
151.52]
150.
2522.5]
180.
302.53]yq合计
601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶
2.Ⅰ试确定xypq的值;Ⅱ该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法选取10人若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数求ξ的分布列和数学期望.解:Ⅰ根据题意有解得…………………………………………………………2分∴p=
0.15q=
0.
10.……………………………………………5分Ⅱ用分层抽样的方法从中选取10人则其中“网购达人”有10×=4人“非网购达人”有10×=6人.……………………………………………………………………6分故ξ的可能取值为0123Pξ=0==Pξ=1==Pξ=2==Pξ=3==.…………………………………………………10分所以ξ的分布列为ξ0123P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=.12分
19.本小题满分12分如图在四棱锥PABCD中PD⊥底面ABCD且底面ABCD为正方形AD=PD=2EFG分别为PCPDCB的中点.Ⅰ求证:AP∥平面EFG;Ⅱ求二面角GEFD的大小.Ⅰ证明:如图以D为原点以为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz则P002C020G120E011F001A
200.∴=-202=0-10=11-
1.………………2分设平面EFG的法向量为n=xyz∴即∴令x=1则n=
101.……………………………4分∵n·=1×-2+0×0+1×2=0∴n⊥.又AP⊄平面EFG∴AP∥平面EFG.……………………6分Ⅱ解:∵底面ABCD是正方形∴AD⊥DC又∵PD⊥平面ABCD∴AD⊥PD又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD.……………8分∴向量是平面PCD的一个法向量=200又由Ⅰ知平面EFG的法向量n=
101.……………10分∴cosn===.∴二面角GEFD的大小为45°.………………………12分
20.本小题满分12分如图所示直线l:y=x+bb0抛物线C:y2=2pxp0已知点P22在抛物线C上且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为.Ⅰ求直线l及抛物线C的方程;Ⅱ过点Q21的任一直线不经过点P与抛物线C交于AB两点直线AB与直线l相交于点M记直线PAPBPM的斜率分别为k1k2k
3.问:是否存在实数λ使得k1+k2=λk3若存在试求出λ的值;若不存在请说明理由.解:Ⅰ法一 ∵点P22在抛物线C上∴p=
1.……………………………………………………2分设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′的方程为y=x+m由得x2+2m-2x+m2=0∵Δ=2m-22-4m2=4-8m∴由Δ=0得m=则直线l′的方程为y=x+.∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离∴有=解得b=2或b=-1舍去.∴直线l的方程为y=x+2抛物线C的方程为y2=2x.………………6分法二 ∵点P22在抛物线C上∴p=1抛物线C的方程为y2=2x.…………………………………………………………………………2分设F(t)t∈R为抛物线C上的任意一点点F到直线l的距离为d=根据图象有-t+b0∴d=[t-12+2b-1]∵t∈R∴d的最小值为由=解得b=
2.因此直线l的方程为y=x+2抛物线C的方程为y2=2x.………6分Ⅱ∵直线AB的斜率存在∴设直线AB的方程为y-1=kx-2即y=kx-2k+1由得ky2-2y-4k+2=0设点A、B的坐标分别为Ax1y
1、Bx2y2则y1+y2=y1y2=∵k1===k2=……………………………………………8分∴k1+k2=+===…………………………9分由得xM=yM=∴k3==10分∴k1+k2=2k
3.因此存在实数λ使得k1+k2=λk3成立且λ=
2.………………12分
21.本小题满分12分已知函数fx=x-a+1lnx-a∈Rgx=x2+ex-xexⅠ当x∈[1e]时求fx的最小值;Ⅱ当a1时若存在x1∈[ee2]使得对任意的x2∈[-20]fx1gx2恒成立求a的取值范围.解:Ⅰfx的定义域为0+∞f′x=a∈R当a≤1时x∈[1e]f′x≥0fx为增函数fxmin=f1=1-a.……………………………………2分当1ae时x∈[1a]f′x≤0fx为减函数x∈[ae]f′x≥0fx为增函数fxmin=fa=a-a+1lna-
1.…………………………3分当a≥e时x∈[1e]f′x≤0fx为减函数fxmin=fe=e-a+1-………………………………4分∴综上当a≤1时fxmin=1-a当1ae时fxmin=a-a+1lna-1当a≥e时fxmin=e-a+1-.…………………………6分Ⅱ若存在x1∈[ee2]使得对任意的x2∈[-20]fx1gx2恒成立即fx1mingx2min………………8分当a1时由Ⅰ可知x1∈[ee2]fx为增函数∴fx1min=fe=e-a+1-……………………………10分g′x=x+ex-xex-ex=x1-ex当x2∈[-20]时g′x≤0gx为减函数gx2min=g0=1∴e-a+1-1即a∴a∈
(1).…………………………………………12分请考生在第
22、
23、24题中任选一题做答如果多做则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
22.本小题满分10分选修4-1:几何证明选讲如图PA为☉O的切线A为切点PBC是过圆心O的割线PA=10PB=
5.求:Ⅰ☉O的半径;Ⅱsin∠BAP的值.解:Ⅰ∵PA为☉O的切线∴PA2=PB·PC又PA=10PB=5∴PC=20BC=20-5=15………………………………2分∵BC为☉O的直径∴☉O的半径为
7.
5.…………………………4分Ⅱ∵PA为☉O的切线∴∠ACB=∠PAB……………………………………5分又∠P=∠P∴△PAB∽△PCA∴===…………………………………………7分设AB=k则AC=2k∵BC为☉O的直径∴AB⊥AC∴BC==k8分∴sin∠BAP=sin∠ACB===.………………10分
23.本小题满分10分选修44:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ直线l的参数方程是t为参数.Ⅰ求曲线C的直角坐标方程直线l的普通方程;Ⅱ将曲线C横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位得到曲线C1求曲线C1上的点到直线l距离的最小值.解:Ⅰ曲线C的方程为x-22+y2=4直线l的方程是x-y+2=
0.4分Ⅱ将曲线C横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位得到曲线C1的方程为4x2+y2=4设曲线C1上的任意点cosθ2sinθ到直线l距离d==.到直线l距离的最小值为.………………………………10分
24.本小题满分10分选修4-5:不等式选讲已知不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R.Ⅰ求实数m的取值范围;Ⅱ在Ⅰ的条件下当实数m取得最大值时试判断++是否成立并证明你的结论.解:Ⅰ由绝对值不等式性质知|x+1|+|x-2|≥|x+1+2-x|=3对x∈R恒成立.故|x+1|+|x-2|≥m的解集为R只需m≤3即可.∴m的取值范围是-∞3].………………………………4分Ⅱ由Ⅰ知实数m的最大值为3当m=3时不等式++成立证明如下:利用分析法6分要使++成立只需+2+2等价于13+213+2等价于等价于4230而4230显然成立…………………………………8分以上每一步均可逆推故所证明不等式成立.……………………10分。