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2019-2020年高三数学上学期1月月考试卷文(含解析)一.选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2]B.D.A.
①B.
①②C.
②③D.
①②③7.(5分)已知函数
①y=sinx+cosx,
②,则下列结论正确的是()A.两个函数的图象均关于点成中心对称B.两个函数的图象均关于直线成轴对称C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同8.(5分)已知P是△ABC所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△APC内的概率是()A.B.C.D.9.(5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于()A.B.32C.D.10.(5分)已知△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2﹣c2,则tanC等于()A.B.C.D.11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=()A.﹣1B.C.1D.﹣12.(5分)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()A.B.1C.D.2二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上)13.(5分)设z=x+2y,其中实数x,y满足则z的取值范围是.14.(5分)已知圆O x2+y2=1,直线x﹣2y+5=0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为.15.(5分)观察下列等式;12=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…根据上述规律,第n个等式为.16.(5分)表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C,且△ABC是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为,若平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S﹣ABC体积的最大值为.三.解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足2Sn+an=1,数列{bn}中,b1=1,b2=,=+(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=,求证c1+c2+c3+…+cn<.18.(12分)云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示全省100000名男生的平均身高为
170.5cm.现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于
157.5cm和
187.5cm之间,将测量结果按如下方式分成6组第一组,第二组,…,第6组,图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况;
(2)已知我校这50名男生中身高排名(从高到低)在全省前100名有2人,现从身高在
182.5cm以上(含
182.5cm)的人中任意抽取2人,求该2人中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名的概率.19.(12分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=AF=1.
(1)求四棱锥F﹣ABCD的体积VF﹣ABCD.
(2)求证平面AFC⊥平面CBF.
(3)在线段CF上是否存在一点M,使得OM∥平面ADF,并说明理由.20.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若kAC•kBD=﹣,(i)求•的最值.(ii)求证四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)已知函数f(x)=在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)如果对任意x
1、x2∈,有|f(x1)﹣f(x2)|≥k|﹣|,求实数k的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.选修4-4坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.23.已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).
(1)当m=7时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.xx-云南省部分名校xx届高三上学期1月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x﹣2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2]B.D.∴故选A点评本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式.5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为﹣4时,则输入的S0的值为()A.7B.8C.9D.10考点程序框图.专题算法和程序框图.分析根据程序框图,知当i=4时,输出S,写出前三次循环得到输出的S,列出方程求出S0的值.解答解根据程序框图,知当i=4时,输出S,∵第一次循环得到S=S0﹣2,i=2;第二次循环得到S=S0﹣2﹣4,i=3;第三次循环得到S=S0﹣2﹣4﹣8,i=4;∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D.点评本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题之列.6.(5分)设a>b>1,C<0,给出下列三个结论
①>;
②ac<bc;
③logb(a﹣c)>loga(b﹣c).其中所有的正确结论的序号()A.
①B.
①②C.
②③D.
①②③考点不等式比较大小.专题计算题.分析利用作差比较法可判定
①的真假,利用幂函数y=xc的性质可判定
②的真假,利用对数函数的性质可知
③的真假.解答解
①﹣=,∵a>b>1,c<0∴﹣=>0,故>正确;
②考查幂函数y=xc,∵c<0∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,而a>b>0,则ac<bc正确;
③当a>b>1时,有logb(a﹣c)>logb(b﹣c)>loga(b﹣c);正确.故选D.点评本题主要考查了不等式比较大小,以及幂函数与对数函数的性质,属于基础题.7.(5分)已知函数
①y=sinx+cosx,
②,则下列结论正确的是()A.两个函数的图象均关于点成中心对称B.两个函数的图象均关于直线成轴对称C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同考点两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.专题计算题;三角函数的图像与性质.分析化简这两个函数的解析式,利用正弦函数的单调性和对称性,可得A、B、D不正确,C正确.解答解函数
①y=sinx+cosx=sin(x+),
②y=2sinxcosx=sin2x,由于
①的图象关于点(﹣,0)成中心对称,
②的图象不关于点(﹣,0)成中心对称,故A不正确.由于函数
②的图象不可能关于(﹣,0)成中心对称,故B不正确.由于这两个函数在区间(﹣,)上都是单调递增函数,故C正确.由于
①的周期等于2π,
②的周期等于π,故D不正确.故选C.点评本题考查正弦函数的单调性,对称性,化简这两个函数的解析式,是解题的突破口.8.(5分)已知P是△ABC所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△APC内的概率是()A.B.C.D.考点几何概型.专题计算题;数形结合.分析本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是绘制满足条件的图形,数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系,再根据几何概型的计算公式进行求解.解答解如图示,取BC的中点为D,连接PA,PB,PC,则,又P点满足,故有,可得三点A,P,D共线且,即P点为A,D的中点时满足,此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为,故选A.点评几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N(A),再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据P=求解.9.(5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于()A.B.32C.D.考点由三视图求面积、体积.专题空间位置关系与距离.分析由已知可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体,分别求出棱柱和棱锥的体积,相减可得答案.解答解由已知可得该几何体是一个以假视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体,其中底面面积S=×4×4=8,棱柱的高为8,故棱柱的体积为8×8=64,棱锥的高为4,故棱柱的体积为×8×4=,故该几何体的体积V=64﹣=,故选A点评本题考查由三视图求几何体的体积和表面积,根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键.10.(5分)已知△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2﹣c2,则tanC等于()A.B.C.D.考点余弦定理.专题解三角形.分析首先由三角形面积公式得到S△ABC=,再由余弦定理,结合2S=(a+b)2﹣c2,得出sinC﹣2cosC=2,然后通过(sinC﹣2cosC)2=4,求出结果即可.解答解△ABC中,∵S△ABC=,由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,且2S=(a+b)2﹣c2,∴absinC=(a+b)2﹣(a2+b2﹣2abcosC),整理得sinC﹣2cosC=2,∴(sinC﹣2cosC)2=4.∴=4,化简可得3tan2C+4tanC=0.∵C∈(0,180°),∴tanC=﹣,故选C.点评本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值,要注意角C的范围,属于中档题.11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),f(x﹣2)=f(x+2),且x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,则f(log220)=()A.﹣1B.C.1D.﹣考点函数的值.专题函数的性质及应用.分析由已知得函数f(x)为奇函数,函数f(x)为周期为4是周期函数,4<log220<5,f(log220)=﹣f(log2),由f(log2)=1,能求出f(log220)=﹣1.解答解∵定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=﹣f(x),∴函数f(x)为奇函数又∵f(x﹣2)=f(x+2)∴函数f(x)为周期为4是周期函数又∵log232>log220>log216∴4<log220<5∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2)=﹣f(﹣log2)=﹣f(log2)又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2x+,∴f(log2)=1故f(log220)=﹣1.故选A.点评本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质和对数运算法则的合理运用.12.(5分)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()A.B.1C.D.2考点抛物线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MN|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.解答解设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得,|AB|2=(a+b)2﹣ab,又∵ab≤()2,∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2得到|AB|≥(a+b).所以≤=,即的最大值为.故选A点评本题在抛物线中,利用定义和余弦定理求的最大值,着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题.二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上)13.(5分)设z=x+2y,其中实数x,y满足则z的取值范围是.考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,结合z在目标函数中的几何意义,求出目标函数的最大值、及最小值,进一步线出目标函数z的范围.解答解约束条件对应的平面区域如图示由图易得目标函数z=2y+x在O(0,0)处取得最小值,此时z=0在B处取最大值,由可得B(),此时z=故Z=x+2y的取值范围为故答案为点评用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件,利用目标函数中z的几何意义是关键.14.(5分)已知圆O x2+y2=1,直线x﹣2y+5=0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为2.考点圆的切线方程.专题直线与圆.分析利用数形结合确定圆心到直线的距离最小时,即可.解答解∵|PA|=,∴当OP最小时,|PA|的距离最小,此时圆心到直线的距离d==,此时|PA|的最小为=2,故答案为2点评本题主要考切线长公式的应用,利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键.15.(5分)观察下列等式;12=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…根据上述规律,第n个等式为13+23+33+43+…+n3=()2.考点归纳推理.专题计算题;推理和证明.分析根据题意,分析题干所给的等式可得13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,进而可得答案.解答解根据题意,分析题干所给的等式可得13+23=(1+2)2=32,13+23+33=(1+2+3)2=62,13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102,则13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2=()2,故答案为13+23+33+43+…+n3=()2点评本题考查归纳推理,解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系.16.(5分)表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C,且△ABC是等边三角形,球心O到平面ABC的距离为,若平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27.考点棱柱、棱锥、棱台的体积.专题空间位置关系与距离.分析棱锥S﹣ABC的底面积为定值,欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大,应有S到平面ABC的距离取最大值,由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值.解答解∵表面积为60π的球,∴球的半径为,设△ABC的中心为D,则OD=,所以DA=,则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值,欲使其体积最大,应有S到平面ABC的距离取最大值,又平面SAB⊥平面ABC,∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上,而SO=,点D到直线AB的距离为,则S到平面ABC的距离的最大值为,∴V=.故答案为27.点评本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.三.解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足2Sn+an=1,数列{bn}中,b1=1,b2=,=+(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)数列{cn}满足cn=,求证c1+c2+c3+…+cn<.考点数列递推式;数列与不等式的综合.专题综合题;等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)由2Sn+an=1,得Sn=(1﹣an),由此推导出{an}是首项为,公比为的等比数列,从而求出an.由b1=1,b2=,=+(n∈N*),得=1,=2,d==1,由此推导出{}是首项为1,公差为1的等差数列,从而求出bn;(Ⅱ)cn==n•()n,设Tn=c1+c2+c3+…+cn,由错位相减求和,即可证明结论.解答解.(Ⅰ)由2Sn+an=1,得Sn=(1﹣an),当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(1﹣an)﹣(1﹣an﹣1),∵an﹣1≠0,∴=而S1=(1﹣a1),∴a1=∴{an}是首项为,公比为的等比数列,∴an=()n.由b1=1,b2=,=+(n∈N*),得=1,=2,d==1,∴{}是首项为1,公差为1的等差数列,∴=1+(n﹣1)×1=n,∴bn=.
(2)cn==n•()n,设Tn=c1+c2+c3+…+cn,则Tn=1•+2•()2+…+n•()n,Tn=1•()2+2•()3+…+n•()n+1,由错位相减,化简得Tn=<.点评本题考查数列通项公式的求法,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是xx届高考的重点.解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.18.(12分)云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示全省100000名男生的平均身高为
170.5cm.现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于
157.5cm和
187.5cm之间,将测量结果按如下方式分成6组第一组,第二组,…,第6组,图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况;
(2)已知我校这50名男生中身高排名(从高到低)在全省前100名有2人,现从身高在
182.5cm以上(含
182.5cm)的人中任意抽取2人,求该2人中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名的概率.考点列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.专题概率与统计.分析
(1)xx届高三男生的平均身高用组中值×频率,即可得到结论;
(2)列举出所有的基本事件,找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可.解答解(Ⅰ)由直方图,经过计算我校xx届高三年级男生平均身高为160×
0.1+165×
0.2+170×
0.3+175×
0.2+180×
0.1+185×
0.1=171高于全市的平均值
170.5;(II)这50人中
182.5cm以上的有5人,分别设为A,B,C,D,E,其中身高排名在全省前100名为A,B.故总得事件AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种,其中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名,有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,7种,设“该2人中至少有1人身高排名(从高到低)在全省前100名”为事件A,故P(A)=点评本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,频率分面直方图,属于基础题.19.(12分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=AF=1.
(1)求四棱锥F﹣ABCD的体积VF﹣ABCD.
(2)求证平面AFC⊥平面CBF.
(3)在线段CF上是否存在一点M,使得OM∥平面ADF,并说明理由.考点棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质;平面与平面垂直的判定.专题计算题;证明题.分析
(1)由题意求出四棱锥F﹣ABCD的高,然后求四棱锥F﹣ABCD的体积VF﹣ABCD.
(2)要证平面AFC⊥平面CBF.只需证明AF垂直平面CBF内的两条相交直线BC、BF即可;
(3)在线段CF上是存在一点M,取CF中点记作M,设DF的中点为N,连接AN,MN,MNAO为平行四边形,即可说明OM∥平面ADF.解答解
(1)∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°作FG⊥AB交AB于一点G,则∵平面ABCD⊥平面ABEF∴FG⊥面ABCD(3分)所以
(2)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴CB⊥平面ABEF,∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB,又∵AB为圆O的直径,∴AF⊥BF,∴AF⊥平面CBF.∵AF⊂面AFC,∴平面AFC⊥平面CBF;
(3)取CF中点记作M,设DF的中点为N,连接AN,MN则MN,又AO,则MNAO,所以MNAO为平行四边形,(10分)∴OM∥AN,又AN⊂平面DAF,OM⊄平面DAF,∴OM∥平面DAF.(12分)点评本题是中档题,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,考查棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的性质,平面与平面垂直的判定,常考题型.20.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若kAC•kBD=﹣,(i)求•的最值.(ii)求证四边形ABCD的面积为定值.考点直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析
(1)把点代入椭圆的方程,得到,由离心率,再由a2=b2+c2,联立即可得到a
2、b
2、c2;
(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),设kAC=k,由kAC•kBD=﹣=﹣,可得.把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A,B,的坐标,再利用数量积即可得到关于k的表达式,利用基本不等式的性质即可得出最值;(ii)由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB,得到=4,代入计算即可证明.解答解
(1)由题意可得,解得,∴椭圆的标准方程为.
(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设x1>0,x2>0.设kAC=k,∵kAC•kBD=﹣=﹣,∴.可得直线AC、BD的方程分别为y=kx,.联立,.解得,.∴=x1x2+y1y2===2,当且仅当时取等号.可知当x1>0,x2>0时,有最大值2.当x1<0,x2<0.有最小值﹣2.ii)由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB.∴=4=4=4=4==128,∴四边形ABCD的面积=为定值.点评熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键.21.(12分)已知函数f(x)=在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)如果对任意x
1、x2∈,有|f(x1)﹣f(x2)|≥k|﹣|,求实数k的取值范围.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析
(1)求函数的导数,根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及f(x)的极值;
(2)根据不等式单调函数的单调性关系,将不等式进行转化,利用导数求函数的最值即可得到结论.解答解
(1)函数的f(x)的导数f′(x)==,∵f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行,∴f′
(0)=,∴a=1,∴f(x)=,f′(x)=﹣,当0<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)单调递减,故f(x)在x=1处取得极大值1,无极小值
(2)由
(1)的结论知,f(x)在⇔函数F(x)=f(x)﹣=在∴k≤lnx在请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.选修4-4坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.考点直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.专题直线与圆.分析
(1)利用直角坐标与极坐标间的关系ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得C的直角坐标方程,将直线l的参数消去得出直线l的普通方程.
(2)曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(cosθ,2sinθ),利用点到直线距离公式,建立关于θ的三角函数式求解.解答解
(1)由ρ=4cosθ,得出ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程x2+y2=4x即曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4,直线l的方程是x+y=0…(4分)
(2)将曲线C横坐标缩短为原来的,再向左平移1个单位,得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(cosθ,2sinθ)到直线l距离d==.当sin(θ+α)=0时到直线l距离的最小值为0.点评本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决最值问题.利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.23.已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).
(1)当m=7时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围.考点对数函数图象与性质的综合应用.专题计算题;压轴题;函数的性质及应用.分析
(1)先求得|x+1|+|x﹣2|>7,然后分类讨论去绝对值号,求解即可得到答案.
(2)由关于x的不等式f(x)≥2,得到|x+1|+|x﹣2|≥m+4.因为已知解集是R,根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3,令m+4≤3,求解即可得到答案.解答解
(1)由题设知当m=5时|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集,或,或,解得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞);
(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R时,恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,等价于m+4≤3,∴m的取值范围是(﹣∞,﹣1].点评本题主要考查绝对值不等式的应用问题,题中涉及到分类讨论的思想,考查学生的灵活应用能力,属于中档题目.。