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2019-2020年高三数学上学期3月月考试卷文(含解析)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位,则|(1﹣i)﹣|等于A.0B.4C.2D.考点复数代数形式的乘除运算.专题计算题;数系的扩充和复数.分析根据复数的四则运算进行化简即可.解答解∵1﹣i﹣=1﹣i+2i=1+i,∴|1+i|=,故选D.点评本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算,比较基础.2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D.考点等差数列的性质.专题等差数列与等比数列.分析由题意可得a42=(a4﹣4)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得.解答解由题意可得a42=a2•a8,即a42=(a4﹣4)(a4+8),解得a4=8,∴a1=a4﹣3×2=2,∴Sn=na1+d,=2n+×2=n(n+1),故选A.点评本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.3.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是A.5B.6C.7D.8考点程序框图.专题算法和程序框图.分析根据框图的流程依次计算运行的结果,直到满足条件n>117时,确定输出i的值.解答解由程序框图知程序第一次运行n=12﹣4=8,i=1+1=2;第二次运行n=4×8+1=33,i=2+1=3;第三次运行n=33﹣4=29,i=3+1=4;第四次运行n=4×29+1=117,i=4+1=5;第五次运行n=117﹣4=113,i=5+1=6;第六次运行n=113×4+1=452,i=6+1=7.此时满足条件n>117,输出i=7.故选C.点评本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图,根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法.4.等比数列{an}中,a1>0,则“a1<a4”是“a3<a5”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题规律型.分析结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答解在等比数列中设公比为q,则由a1<a4,得a1<a1q3,∵a1>0,∴q3>1,即q>1.由“a3<a5”得,即q2>1,∴q>1或q<﹣1.∴“a1<a4”是“a3<a5”的充分不必要条件.故选A.点评本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的运算性质是解决本题的关键,比较基础.5.函数的单调减区间为A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)考点复合三角函数的单调性.专题计算题.分析观察可知函数是由,t=sin(2x+)构成的复合函数,由复合函数的单调性,只要求得t=sin(2x+)增区间中的大于部分即可.解答解令,t=sin(2x+)∴2kπ<2x+≤2kπ+kπ<x≤kπ+由复合函数的单调性可知函数的单调减区间为(k∈Z)故选B点评本题主要查复合函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,如本题在真数位置要大于零.6.设F
1、F2分别为双曲线C﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为A.B.C.D.考点双曲线的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析先求出M,N的坐标,再利用余弦定理,求出a,c之间的关系,即可得出双曲线的离心率.解答解不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0),则N点的坐标为(﹣x0,﹣y0),联立y0=x0,得M(a,b),N(﹣a,﹣b),又A(﹣a,0)且∠MAN=120°,所以由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2﹣2•bcos120°,化简得7a2=3c2,求得e=.故选A.点评本题主要考查双曲线的离心率.解决本题的关键在于求出a,c的关系.7.△ABC中,AB=10,AC=15,∠BAC=,点D是边AB的中点,点E在直线AC上,且=3,直线CD与BE相交于点P,则||为A.B.C.2D.2考点向量在几何中的应用.专题平面向量及应用.分析利用向量的关系,建立坐标系,求出相关点的坐标,然后求解向量的模即可.解答解△ABC中,AB=10,AC=15,∠BAC=,点D是边AB的中点,点E在直线AC上,且=3,可得AE⊥BE,以BE所在直线为x轴,EA所在直线为y轴,如图A(0,5),BE=5,B(﹣5,0),D(﹣,),C(0,﹣10),CD的方程为,令y=0,可得x=﹣2,P(﹣2,0).||==.故选A.点评本题考查向量的几何中的应用,向量的坐标运算,向量的模,考查计算能力.8.已知函数f(x)=,若存在实数x1,x2,x3,x4,满足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则的取值范围是A.(0,12)B.(4,16)C.(9,21)D.(15,25)考点分段函数的应用.专题计算题;数形结合;函数的性质及应用.分析画出函数f(x)的图象,确定x1x2=1,x3+x4=12,2<x3<4,8<x4<10,由此可得的取值范围.解答解函数的图象如图所示,∵f(x1)=f(x2),∴﹣log2x1=log2x2,∴log2x1x2=0,∴x1x2=1,∵f(x3)=f(x4),∴x3+x4=12,2<x3<x4<10∴=x3x4﹣2(x3+x4)+4=x3x4﹣20,∵2<x3<4,8<x4<10∴的取值范围是(0,12).故选A.点评本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是16π﹣16.考点由三视图求面积、体积.专题空间位置关系与距离.分析首先判断该几何体的形状,然后计算其体积即可.解答解根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4.故其体积为22π×4﹣22×4=16π﹣16,故答案为16π﹣16.点评本题考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱,然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可.10.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最小值为3.考点简单线性规划.专题计算题.分析先根据条件画出可行域,设z=2x+y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距,只需求出直线z=2x+y,过可行域内的点B(1,1)时的最小值,从而得到z最小值即可.解答解设变量x、y满足约束条件,在坐标系中画出可行域△ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数z=2x+y的最小值为3.故答案为3.点评借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.11.已知过点P(2,2)的直线与圆(x﹣1)2+y2=5相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,则a=2.考点圆的切线方程.专题计算题;直线与圆.分析由题意判断点在圆上,求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率,然后求出a的值即可.解答解因为点P(2,2)满足圆(x﹣1)2+y2=5的方程,所以P在圆上,又过点P(2,2)的直线与圆(x﹣1)2+y2=5相切,且与直线ax﹣y+1=0垂直,所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行,所以直线ax﹣y+1=0的斜率为a==2.故答案为2.点评本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线的垂直,考查转化数学与计算能力.12.已知函数,则满足不等式f(1﹣x2)>f(2x)的x的范围是(﹣1,﹣1).考点分段函数的解析式求法及其图象的作法;其他不等式的解法.专题函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析由题意f(x)在[0,+∞)上是增函数,而x<0时,f(x)=1,故满足不等式f(1﹣x2)>f(2x)的x需满足,解出x即可.解答解由题意,可得故答案为点评本题考查分段函数的单调性,利用单调性解不等式,考查利用所学知识分析问题解决问题的能力.13.如图,在△ABC和△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O是以AB为直径的圆,DC的延长线与AB的延长线交于点E.若EB=6,EC=6,则BC的长为2.考点与圆有关的比例线段.专题直线与圆.分析连接OC,由弦切角定理推导出OC∥AD.由AD⊥DC,得到DC⊥OC,由切割线定理得到EC2=EB•EA.再由已条件推导出△ECB∽△EAC,由此能求出BC长.解答解∵AB是⊙O的直径,∠ACB=90°,∴点C在⊙O上.连接OC,由弦切角定理得∠OCA=∠OAC=∠DAC,∴OC∥AD.又∵AD⊥DC,∴DC⊥OC.∵OC为⊙O半径,∴DC是⊙O的切线.∵DC是⊙O的切线,∴EC2=EB•EA.又∵EB=6,EC=6,∴EA=12,AB=6.又∵∠ECB=∠EAC,∠CEB=∠AEC,∴△ECB∽△EAC,∴==,∴AC=BC.又∵AC2+BC2=AB2=36,∴BC=2.故答案为2.点评本题考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要注意切割线定理、相似三角形等知识点的合理运用.14.设正实数x,y,z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0,则当取得最小值时,x+2y﹣z的最大值为2.考点基本不等式.专题综合题.分析将z=x2﹣3xy+4y2代入,利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件,用x,z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值.解答解∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2,又x,y,z为正实数,∴=+﹣3≥2﹣3=1(当且仅当x=2y时取“=”),即x=2y(y>0),∴x+2y﹣z=2y+2y﹣(x2﹣3xy+4y2)=4y﹣2y2=﹣2(y﹣1)2+2≤2.∴x+2y﹣z的最大值为2.故答案为2.点评本题考查基本不等式,将z=x2﹣3xy+4y2代入,求得取得最小值时x=2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤15.海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.考点古典概型及其概率计算公式.专题概率与统计.分析(Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;(Ⅱ)先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.解答解(Ⅰ)A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,故抽样比k==,故A地区抽取的商品的数量为×50=1;B地区抽取的商品的数量为×150=3;C地区抽取的商品的数量为×100=2;(Ⅱ)在这6件样品中随机抽取2件共有=15个不同的基本事件;且这些事件是等可能发生的,记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,则A中包含=4种不同的基本事件,故P(A)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.点评本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题.16.函数的部分图象如图所示,将y=f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=g(x)的图象.
(1)求函数y=g(x)的解析式;
(2)若△ABC的三边为a、b、c成单调递增等差数列,且,求cosA﹣cosC的值.考点由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题三角函数的图像与性质.分析
(1)利用周期求ω,利用最高点的坐标,求出φ的值,再利用图象平移,可求函数y=g(x)的解析式;
(2)先求出B,再令cosA﹣cosC=t,则(sinA+sinC)2+(cosA﹣cosC)2=2+t2,从而可得结论.解答解
(1)由图知,∵,∴,即,由于,∴,∴,∴函数y=g(x)的解析式为.
(2)由于a,b,c成等差,且,∴,∵,,∴,∴,令cosA﹣cosC=t,则(sinA+sinC)2+(cosA﹣cosC)2=2+t2,∴,由于t>0,∴.点评本题考查函数解析式的确定,考查图象的平移,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17.如图,在锥体P﹣ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点
(1)证明AD⊥平面DEF
(2)求二面角P﹣AD﹣B的余弦值.考点与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法.专题空间位置关系与距离;空间角;立体几何.分析
(1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直,利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE,通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF;
(2)利用
(1)中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键,求角往往要利用三角形中的余弦定理.解答解
(1)取AD的中点G,连接PG,BG,在△ABG中,根据余弦定理可以算出BG=,发现AG2+BG2=AB2,可以得出AD⊥BG,又DE∥BG∴DE⊥AD,又PA=PD,可以得出AD⊥PG,而PG∩BG=G,∴AD⊥平面PBG,而PB⊂平面PBG,∴AD⊥PB,又PB∥EF,∴AD⊥EF.又EF∩DE=E,∴AD⊥平面DEF.
(2)由
(1)知,AD⊥平面PBG,所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角,在△PBG中,PG=,BG=,PB=2,由余弦定理得cos∠PGB=,因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为.点评本题考查立体几何中基本的线面关系,考查线面垂直的判定方法,考查二面角的求法,训练了学生基本的空间想象能力,考查学生的转化与化归思想,解三角形的基本知识和学生的运算能力,属于基本的立体几何题.18.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0)(IⅠ)求椭圆的方程(Ⅱ)若直线l y=﹣x+m与椭圆交于A,B两点,与以+=1(a>b>0)为直径的圆交于F1,F2两点,且满足D,求直线DF1⊥F1F2的方程.考点直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析(Ⅰ)根据椭圆得定义,离心率得定义,构造方程组,解得即可;(Ⅱ)由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1,得到圆心到直线的l的距离为d,设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理和弦长公式求出|AB|的长,即可求出m的值,问题得以解决.解答解(Ⅰ)由题意可得,解得a=2,b=,c=1,∴椭圆得方程为,(Ⅱ)由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线的l的距离为d=,由d<1,即<1,可得|m|<,∴|CD|=2=2=,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得x2﹣mx+m2﹣3=0,∴x1+x2=m,x1x2=m2﹣3,∴|AB|=∵=,∴=1,解得m=±,且满足|m|<,∴直线l的方程为y=x+,或y=﹣x﹣.点评本题考查了椭圆得标准方程,弦长公式,点到直线距离公式,考查了学生得转化能力,运算能力,属于中档题.19.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}满足=1﹣,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn.考点数列递推式;等差数列的前n项和;数列的求和.专题等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组,解之即可求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n﹣1,继而可求得bn=,n∈N*,于是Tn=+++…+,利用错位相减法即可求得Tn.解答解(Ⅰ)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+1得,解得a1=1,d=2.∴an=2n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)由已知++…+=1﹣,n∈N*,得当n=1时,=,当n≥2时,=(1﹣)﹣(1﹣)=,显然,n=1时符合.∴=,n∈N*由(Ⅰ)知,an=2n﹣1,n∈N*.∴bn=,n∈N*.又Tn=+++…+,∴Tn=++…++,两式相减得Tn=+(++…+)﹣=﹣﹣∴Tn=3﹣.点评本题考查数列递推式,着重考查等差数列的通项公式与数列求和,突出考查错位相减法求和,考查分析运算能力,属于中档题.20.已知函数f(x)=+ax+b的图象在点P(0,f
(0))处的切线方程为y=3x﹣2.
(1)求实数a,b的值;
(2)设g(x)=f(x)+是[2,+∞)上的增函数.
①求实数m的最大值;
②当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.考点导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题综合题;导数的综合应用.分析
(1)求导函数,利用在点P(0,f
(0))处的切线方程为y=3x﹣2,建立方程组,即可求实数a,b的值;
(2)
①求导函数,利用g(x)是[2,+∞)上的增函数,可得g′(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,进一步利用换元法,确定函数的最值,即可求得m的最大值;
②由
①得g(x)=,证明图象关于点Q(1,)成中心对称即可.解答解
(1)求导函数可得f′(x)=x2﹣2x+a∵函数在点P(0,f
(0))处的切线方程为y=3x﹣2,∴,∴.
(2)
①由=,得g′(x)=.∵g(x)是[2,+∞)上的增函数,∴g′(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,即在[2,+∞)上恒成立.设(x﹣1)2=t,∵x∈[2,+∞),∴t≥1,∴不等式t+2﹣≥0在[1,+∞)上恒成立当m≤0时,不等式t+2﹣≥0在[1,+∞)上恒成立.当m>0时,设y=t+2﹣,t∈[1,+∞)因为y′=1+>0,所以函数y=t+2﹣在[1,+∞)上单调递增,因此ymin=3﹣m.∴ymin≥0,∴3﹣m≥0,即m≤3,又m>0,故0<m≤3.综上,m的最大值为3.
②由
①得g(x)=,其图象关于点Q(1,)成中心对称.证明如下∵g(x)=,∴g(2﹣x)==因此,g(x)+g(2﹣x)=.∴函数g(x)的图象关于点Q成中心对称.∴存在点Q(1,),使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等.点评本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查图象的对称性,属于中档题.。