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2019-2020年高三数学上学期期末教学质量检测(一模)试题理(含解析)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.已知集合,,则.答案考点集合的描述法备考建议强调,对集合描述法要区分集合的代表元2.设,则.答案考点二项式定理解法将代入式子中备考建议让学生理解,二项式题型中的赋值法,并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型3.不等式的解集是.答案考点分式不等式的解法备考建议分式不等式建议通分后再解不等式,易错点是不等式性质中,若要两边同乘除,要注意所乘所除数的正负性4.如图,在四棱锥中,已知底面,,底面是正方形,与底面所成角的大小为,则该四棱锥的体积是.答案考点锥体体积的求法备考建议让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式5.已知数列的通项公式(其中),则该数列的前项和.答案考点数列分组求和,等比数列求和备考建议此类题型要让学生观察数列通项公式的结构,从而选择正确的求和方法同时,也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况6.已知两个向量,的夹角为30°,,为单位向量,若=0,则=.答案2考点向量的数量积解法由于与、、的数量积都有联系,故等式两边同乘上一个7.已知,其中,则.答案考点绝对值方程的解法解法先解出方程,之后再解备考建议带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法同时,不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“其中”8.已知△的顶点、、,则△的内角的大小是.(结果用反三角函数值表示)答案考点向量数量积求夹角备考建议回忆向量数量积求夹角公式,以及斜率求夹角公式,并分析它们的缺陷及适用情形9.若、是一元二次方程的两根,则=.答案考点韦达定理的应用注意方程判别式小于0,但不影响这道题的解答,韦达定理对一元二次方程均适用10.已知、是方程的两根,、,则=.答案考点韦达定理,两角和与差的正切公式,任意角的三角比注意由两根的和与积可以判断出、都是负角11.直线经过点且点到直线的距离等于1,则直线的方程是.答案或考点点到直线距离公式备考建议此类题型若只解出一条直线时,注意判断斜率不存在的情况12.已知实数、满足,则的取值范围是.答案考点利用函数性质作图,数形结合备考建议画带有绝对值的函数的图像,注意利用绝对值得对称性,如本题只要画出函数在第一象限的图像,然后利用绝对值的对称性,即可得到函数其他象限的图像同时,也可以数形结合,理解成斜率去求范围13.一个无穷等比数列的首项为2,公比为负数,各项和为,则的取值范围是.答案考点无穷等比数列各项和备考建议带领学生回忆一下,无穷等比数列需要满足各条件是,其公比分别需要满足的不同范围,以及强调在某些等比数列极限题型中,不要忘记排除的情况14.两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛,每两名参赛选手之间都比赛一次,胜者得1分,和棋各得
0.5分,输者得0分,即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分,且每名高二年级的学生都得相同分数,则有名高二年级的学生参加比赛.(结果用数值作答)答案7或者14考点排列组合解法通过所有人的总分和为联系来列等式设高二年级学生共有人,高二年级每人获得分()于是所有人的总分和为由于共有场比赛,所以所有人的总分和也可表示为故,得(),故备考建议此类较新颖的题型,建议学生要仔细审题,抓住题中的关键点作为突破口入手
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.在下列幂函数中,是偶函数且在上是增函数的是A.;B.;C.;D.答案D考点幂函数的图像及其性质备考建议带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像16.已知直线与直线,记.是两条直线与直线平行的A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充要条件;D.既不充分也不必要条件答案B考点行列式判断两直线位置关系备考建议带领学生回忆,判断直线位置关系的先后步骤,并指出二元一次方程组的解与直线位置关系之间的联系17.已知为虚数单位,图中复平面内的点表示复数,则表示复数的点是A.B.C.D.答案D考点复平面,复数的运算备考建议学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化18.到空间不共面的四点距离相等的平面个数为A.1个;B.4个;C.7个;D.8个答案C考点立体几何,排列组合解法分两种情形进行讨论
1.一个点在平面的一侧,而另外三个点在平面的另一侧,故有种情况
2.两个点在平面的一侧,而另外两个点在平面的另一侧,故有种情况(注意此处为平均分组问题,故要除以2,以以防重复)备考建议遇到此类,直接思考会比较复杂的题型,建议利用分类的思想,简化情况,可能会取得比较好的效果
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.本题满分14分本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.在锐角中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长,且满足.
(1)求B的大小;
(2)若,的面积,求的值.考点正弦定理、余弦定理答案
(1)根据正弦定理,得,所以,………(4分)又由角B为锐角,得;…………………………(6分)
(2),又,所以,…………………………(8分)根据余弦定理,得,…………………………(12分)所以=16,从而=4.…………………………(14分)备考建议带领学生回忆正弦定理与余弦定理的适用情形(如对边对角同时出现,一般选择使用正弦定理;三边一角同时涉及时,一般选择使用余弦定理,等等),以及正、余弦定理的一些变形形式,特别是出现两边之和的形式往往和余弦定理的变形式有关20.本题满分14分本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.某地的出租车价格规定:起步费元,可行3公里,3公里以后按每公里元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里元计算(这里、、规定为正的常数,且),假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)若取,,,小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元?(本小题只需要回答最后结果)
(2)求车费(元)与行车里程公里之间的函数关系式.考点函数关系的建立,分段函数答案
(1)他应付出租车费26元;……………………………(4分)
(2)备考建议遇到应用题,要提醒学生仔细审题,对涉及参量范围及特性的语句要养成圈划习惯同时,求出函数对应关系时,切记要留意函数的定义域21.本题满分14分本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,长方体中,,,点为面的对角线上的动点(不包括端点).平面交于点,于点.
(1)设,将长表示为的函数;
(2)当最小时,求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)考点建立函数关系,异面直线所成角答案
(1)在△中,,;………………………(2分)其中;………………………(3分)在△中,,…………………………(4分)在△中,,……………………………(6分)
(2)当时,最小,此时.……………………………(8分)因为在底面中,,所以,又,为异面直线与所成角的平面角,…………………(11分)在△中,为直角,,所以,异面直线与所成角的大小(或等)……………(14分)备考建议此类题型,要注意帮学生理清各线段长度之间的对应关系,并加以表示出来22.本题满分16分本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分.已知函数(其中).
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)判断(其中且)的正负号,并说明理由;
(3)若两个函数与在闭区间上恒满足,则称函数与在闭区间上是分离的.试判断的反函数与在闭区间上是否分离?若分离,求出实数a的取值范围;若不分离,请说明理由.考点函数奇偶性,函数单调性,恒成立问题答案
(1)因为,所以函数的定义域为实数集;…………………………(1分)又,所以函数是奇函数.…………………………(4分)
(2)因为,所以在上递增,以下给出证明任取,设,,则=,所以,即,.……………………(6分)又为奇函数,所以且在上递增.所以与同号,.所以,当时,.……(8分)
(3),…………………………(10分)在区间上恒成立,即,或在区间上恒成立,…………………………(12分)令因为,,在递增,所以,解得;所以,.…………………………(16分)注意第三小题中,关于的解析式的求法,有以下补充由,结合第一小题中,得到的函数为奇函数的结论可推得于是,两式相减,即可得,备考建议带领学生回忆函数奇偶性的一些性质,以及函数单调性的一些等价形式同时,回顾一下“恒成立”与“有解”题型中,对问题向最值问题转化的方法23.本题满分16分文本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.理本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分3分,第3小题满分7分.在数列中,已知,前项和为,且.(其中)
(1)求数列的通项公式;
(2)求;
(3)设,问是否存在正整数、(其中),使得,,成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组;否则,说明理由.考点数列通向公式,求和公式,数列极限答案
(1)因为,令,得,所以;(2分)(或者令,得)当时,,,推得,…………(5分)又,,所以当时也成立,所以,()(6分)
(2)=………………………(9分)
(3)文理相同假设存在正整数、,使得,、成等比数列,则,、成等差数列,故,(**)………………………(11分)由于右边大于,则,即.考查数列的单调性,因为,所以数列为单调递减数列.………………………(14分)当时,,代入(**)式得,解得;当时,(舍).综上得满足条件的正整数组为.………………………(16分)(说明从不定方程以具体值代入求解也参照上面步骤给分)备考建议对于第一小问,要让学生掌握数列中,与之间互相转化的方法与转换方向的选择而第三问中,要带领学生感受,数列单调性与函数单调性之间的联系与不同ABCDP1234-11231-1-2-3-4-2-3P1Q1N1M1A1x1y1………………(6分)………………(10分)………………(14分)ABCDA1B1C1D1PMN。