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2019-2020年高三数学上学期期末考试试卷(a卷)理(含解析)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.复数=( )A.﹣iB.﹣1C.iD.1 2.已知全集U=R,集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么A∩∁UB=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<0}C.{x|x>2}D.{x|1<x<2} 3.下列函数中,在(0,+∞)内单调递减,并且是偶函数的是( )A.y=x2B.y=x+1C.y=﹣lg|x|D.y=2x 4.数列{an}中,已知S1=1,S2=2,且Sn+1+2Sn﹣1=3Sn,(n≥2且n∈N*),则此数列为( )A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列 5.对于任意x∈R,同时满足条件f(x)=f(﹣x)和f(x﹣π)=f(x)的函数是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=sinxcosxC.f(x)=cosxD.f(x)=cos2x﹣sin2x 6.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )A.B.C.3D. 7.在空间给出下面四个命题(其中m、n为不同的两条直线,α、β为不同的两个平面)
①m⊥α,n∥α⇒m⊥n
②m∥n,n∥α⇒m∥α
③m∥n,n⊥β,m∥α⇒α⊥β
④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 8.如图,设区域D={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤3},向区域D内任投一点,记此点落在阴影区域M={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤x2﹣1}的概率为p,则a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 9.若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为( )A.2B.﹣2C.D.﹣ 10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )A.B.C.1D.2
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共计25分.11.在(x2﹣)5的展开式中,x的系数为 . 12.直线y=x+1被圆x2﹣2x+y2﹣3=0所截得的弦长为 . 13.设O是△ABC的重心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b=2,c=,则= . 14.已知四面体S﹣ABC中,SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=,AC=,则该四面体的外接球的表面积为 . 15.已知偶函数f(x)满足f(x﹣1)=f(x+1)且当x∈[0,1],f(x)=x2,若f(x)=|loga|x||在[﹣2,3]上有5个根,求a的取值范围 .
三、解答题本大题共6个小题,满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16.已知向量=(2cosx,﹣cos(x+)),=(cosx,2sin(x+)),记f(x)=•.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,a=2,b=,求sinC的值. 17.已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC为正三角形,A1在底面ABC上的射影是棱BC的中点O,OE⊥AA1于E点.
(1)证明OE⊥平面BB1C1C;
(2)若AA1=AB,求AC与平面AA1B1B所成角的正弦值. 18.从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品,对其使用寿命进行实验检测,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是合格品.寿命(天)频数频率[100,200)20a[200,300)
300.15[300,400)b
0.35[400,500)
300.15[500,600)
500.25合计2001(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;(Ⅱ)从灯泡样品中随机地取n(n∈N*)个,如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;(Ⅲ)从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用,若将上述频率作为概率,用ξ表示3个灯泡中次品的个数,求ξ的分布列和数学期望. 19.已知函数y=3x+的图象上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),其中数列{xn}为等差数列,满足x2=﹣,x5=﹣.(Ⅰ)求点Pn的坐标;(Ⅱ)若抛物线列C1,C2,…,Cn分别以点P1,P2,…,Pn为顶点,且任意一条的对称轴均平行于y轴,Cn与y轴的交点为An(0,n2+1),记与抛物线Cn相切于点An的直线的斜率为kn,求数列前n项的和Sn. 20.已知椭圆C=1(a>b>0)经过点,且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,m),求m的取值范围. 21.已知函数f(x)=ax2﹣4ln(x﹣1).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对一切x∈[2,e+1],f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围. xx学年山东省莱芜一中高三(上)期末数学试卷(理科)(A卷)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.复数=( )A.﹣iB.﹣1C.iD.1考点复数代数形式的乘除运算.专题计算题.分析复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi(a,b∈R)的形式即可得到选项.解答解复数===i.故选C.点评本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,注意共轭复数的应用,考查计算能力. 2.已知全集U=R,集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么A∩∁UB=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<0}C.{x|x>2}D.{x|1<x<2}考点交、并、补集的混合运算.专题集合.分析分别求出A与B中不等式的解集,确定出A与B,找出A与B补集的交集即可.解答解由A中的不等式变形得x(x﹣2)<0,解得0<x<2,即A={x|0<x<2},由B中的不等式解得x≥1,即B={x|x≥1},∵全集U=R,∴∁UB={x|x<1},则A∩(∁UB)={x|0<x<1}.故选A.点评此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3.下列函数中,在(0,+∞)内单调递减,并且是偶函数的是( )A.y=x2B.y=x+1C.y=﹣lg|x|D.y=2x考点函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.专题函数的性质及应用.分析分别根据函数单调性和奇偶性的性质进行判断即可.解答解A.y=x2在(0,+∞)内单调递增,是偶函数,不满足条件,故A不选;B.y=x+1在(0,+∞)内单调递增,不是偶函数,不满足条件,故B不选;C.y=﹣lg|x|在(0,+∞)内单调递减,是偶函数,满足条件,故C选;D.y=2x在(0,+∞)内单调递增,不是偶函数,不满足条件,故D不选,故选C.点评本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质,比较基础. 4.数列{an}中,已知S1=1,S2=2,且Sn+1+2Sn﹣1=3Sn,(n≥2且n∈N*),则此数列为( )A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析由已知得a1=1,a2=1,(Sn+1﹣Sn)﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=0(n∈N*,且n≥2),从而an+1=2an(n∈N*,且n≥2),由此能推导出数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列.解答解由S1=1得a1=1,又由S2=2,得1+a2=2,解得a2=1.∵Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1=0(n∈N*,且n≥2),∵Sn+1+2Sn﹣1=3Sn,(n≥2且n∈N*),∴(Sn+1﹣Sn)﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=0(n∈N*,且n≥2),∴an+1=2an(n∈N*,且n≥2),n=1时,上式不成立.故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.点评本题考查等差数列和等比数列的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用. 5.对于任意x∈R,同时满足条件f(x)=f(﹣x)和f(x﹣π)=f(x)的函数是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=sinxcosxC.f(x)=cosxD.f(x)=cos2x﹣sin2x考点抽象函数及其应用.专题函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.分析直接利用已知条件,判断函数的奇偶性,以及函数的周期性,然后判断选项即可.解答解对于任意x∈R,满足条件f(x)=f(﹣x),说明函数是偶函数,满足f(x﹣π)=f(x)的函数是周期为π的函数.对于A,不是偶函数,不正确;对于B,也不是偶函数,不正确;对于C,是偶函数,但是周期不是π,不正确;对于D,f(x)=cos2x﹣sin2x=cos2x,是偶函数,周期为π,正确.故选D.点评本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用,基本知识的考查. 6.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )A.B.C.3D.考点程序框图.专题图表型;算法和程序框图.分析根据所给数值执行循环语句,然后判定是否满足判断框中的条件,一旦满足条件就退出循环,输出结果.解答解模拟执行程序框图,可得i=0,A=3i=1,A=不满足条件i>xx,i=2,A=不满足条件i>xx,i=3,A=3不满足条件i>xx,i=4,A=…不满足条件i>xx,i=xx=3×671+2,A=不满足条件i>xx,i=xx=3×672,A=3满足条件i>xx,退出循环,输出A的值为3.故选C.点评本题主要考查了循环结构,是直到型循环,先执行循环,直到满足条件退出循环,属于基础题. 7.在空间给出下面四个命题(其中m、n为不同的两条直线,α、β为不同的两个平面)
①m⊥α,n∥α⇒m⊥n
②m∥n,n∥α⇒m∥α
③m∥n,n⊥β,m∥α⇒α⊥β
④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个考点命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系.专题综合题.分析根据线面垂直、线面平行的性质,可判断
①;由m∥n,n∥α⇒m∥α或m⊂α可判断
②;
③根据两平行线中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断
③④由已知可得平面α,β都与直线m,n确定的平面平行,则可得α∥β,可判断
④解答解
①由线面垂直及线面平行的性质,可知m⊥α,n⊥α得m∥n,故
①正确;
②m∥n,n∥α⇒m∥α或m⊂α,故
②错误
③根据线面垂直的性质;两平行线中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面可知若m∥n,n⊥β,则m⊥β,又m∥α⇒α⊥β,故
③正确
④由m∩n=A,m∥α,n∥α,m∥β,n∥β可得平面α,β都与直线m,n确定的平面平行,则可得α∥β,故
④正确综上知,正确的有
①③④故选C点评本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系,考查了线线平行与线线垂直的条件,解题的关键是理解题意,有着较强的空间想像能力,推理判断的能力,是高考中常见题型,其特点是涉及到的知识点多,知识容量大. 8.如图,设区域D={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤3},向区域D内任投一点,记此点落在阴影区域M={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤x2﹣1}的概率为p,则a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件考点必要条件、充分条件与充要条件的判断;几何概型.专题概率与统计;简易逻辑.分析先根据几何概型的意义,关键是要找出阴影部分的面积,及矩形的面积,再将它们代入几何概型计算公式计算出概率,再根据函数零点的定义求出a的范围,继而得到答案解答解阴影部分面积S阴影=S矩形﹣S=(3+1)×2﹣dy=8﹣|=8﹣=,矩形部分面积S矩形=(3+1)×2=8,∴所投的点落在阴影部分的概率P==∵函数y=ax2+2x+1有两个零点,∴△=4+4a>0,解得a>﹣1,∴a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的充分不必要条件故选A点评本题考查了几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关以及充分条件的判断,属于中档题 9.若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为( )A.2B.﹣2C.D.﹣考点简单线性规划.专题数形结合;不等式的解法及应用.分析对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0时,可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解,k<0时,若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边,z=y﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.解答解对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边,故由约束条件作出可行域如图,由kx﹣y+2=0,得x=,∴B(﹣).由z=y﹣x得y=x+z.由图可知,当直线y=x+z过B(﹣)时直线在y轴上的截距最小,即z最小.此时,解得k=﹣.故选D.点评本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=60°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )A.B.C.1D.2考点抛物线的简单性质.专题不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF.由抛物线定义得2|MN|=a+b,由余弦定理可得|AB|2=(a+b)2﹣3ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.解答解设|AF|=a,|BF|=b,由抛物线定义,得AF|=|AQ|,|BF|=|BP|在梯形ABPQ中,∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得,|AB|2=(a+b)2﹣3ab,又∵ab≤()2,∴(a+b)2﹣3ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2得到|AB|≥(a+b).∴≤1,即的最大值为1.故选C.点评本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识,属于中档题.
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共计25分.11.在(x2﹣)5的展开式中,x的系数为 ﹣10 .考点二项式定理的应用.专题二项式定理.分析根据题意,可得(x2﹣)5的通项为Tr+1,令x的幂指数等于1,可得r=3,将r=3代入通项可得x的系数.解答解根据二项式定理(x2﹣)5的通项为Tr+1=C5r•(x)10﹣2r•(﹣)r=(﹣1)rC5r•(x)10﹣3r,令10﹣3r=1,可得r=3,将r=3代入通项公式,可得含x项的系数为(﹣1)3C53=﹣10,故答案为﹣10.点评本题考查二项式定理的运用,注意二项式系数与某一项的系数的区别. 12.直线y=x+1被圆x2﹣2x+y2﹣3=0所截得的弦长为 2 .考点直线与圆的位置关系.专题直线与圆.分析由圆的方程求出圆心和半径,求出圆心到直线y=x+1的距离d的值,再根据弦长公式求得弦长.解答解圆x2﹣2x+y2﹣3=0即(x﹣1)2+y2=4,表示以C(1,0)为圆心,半径等于2的圆.由于圆心到直线y=x+1的距离为d==,故弦长为2=2=2,故答案为2.点评本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于中档题. 13.设O是△ABC的重心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b=2,c=,则= ﹣1 .考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析利用重心的性质和向量的运算法则可得可得=(+),再利用数量积的运算性质即可得出.解答解设D为边BC的中点,如图所示,则=(),根据重心的性质可得==×(+)=(+).则=()•(+)=(﹣)=[22﹣()2]=﹣1.故答案为﹣1.点评熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键. 14.(5分)(xx秋•莱城区校级期末)已知四面体S﹣ABC中,SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=,AC=,则该四面体的外接球的表面积为 8π .考点球的体积和表面积;棱锥的结构特征.专题计算题;空间位置关系与距离;球.分析由勾股定理可得AB,再由勾股定理的逆定理,可得AC⊥BC,取AB的中点O,连接OS,OC,则有直角三角形的斜边的中线即为斜边的一半,可得球的半径,再由球的表面积公式即可计算得到.解答解由于SA=SB=2,且SA⊥SB,BC=,AC=,则AB=SA=2,由AB2=AC2+BC2,则AC⊥BC,取AB的中点O,连接OS,OC,则OA=OB=OC=OS=,则该四面体的外接球的球心为O,则球的表面积为S=4πr2=4π×()2=8π.故答案为8π.点评本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的斜边的中线即为斜边的一半,考查球的表面积的计算,求得球的半径是解题的关键. 15.已知偶函数f(x)满足f(x﹣1)=f(x+1)且当x∈[0,1],f(x)=x2,若f(x)=|loga|x||在[﹣2,3]上有5个根,求a的取值范围 a≥3 .考点函数奇偶性的性质;根的存在性及根的个数判断.专题函数的性质及应用.分析易得函数f(x)是一个周期函数,且T=2,作出函数的图象,数形结合可得.解答解∵偶函数f(x)满足f(x﹣1)=f(x+1),∴函数f(x)是一个周期函数,且T=2.又∵当x∈[0,1],f(x)=x2,作出函数f(x)和y=|loga|x||在[﹣2,3]上的图象,数形结合可得|loga3|≤1即可,解得a≥3故答案为a≥3点评本题考查函数的奇偶性和周期性,数形结合是解决问题的关键,属中档题.
三、解答题本大题共6个小题,满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.16.已知向量=(2cosx,﹣cos(x+)),=(cosx,2sin(x+)),记f(x)=•.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,a=2,b=,求sinC的值.考点余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.专题三角函数的图像与性质;解三角形.分析(Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f(x)=1﹣sin(2x+),可求T,由﹣≤2x+≤,k∈Z,可解得单调递减区间.(Ⅱ)由f()=1﹣sin(A+)=1,可解得A,cosA,由正弦定理可得sinB,cosB,从而可求sinC=sin(A+B)的值.解答解(Ⅰ)∵f(x)=•=2cos2x﹣2sin(x+)cos(x+)=1﹣sin(2x+),∴T==π,∴由﹣≤2x+≤,k∈Z,可解得x∈[k,k],k∈Z,∴单调递减区间为[k,k],k∈Z.(Ⅱ)∵f()=1﹣sin(A+)=1,可解得A+=kπ,k∈Z,∴由A为三角形内角,可得A=,cosA=﹣.∴由正弦定理可得sinB===,cosB==,∴sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==.点评本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,属于基础题. 17.已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC为正三角形,A1在底面ABC上的射影是棱BC的中点O,OE⊥AA1于E点.
(1)证明OE⊥平面BB1C1C;
(2)若AA1=AB,求AC与平面AA1B1B所成角的正弦值.考点直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.专题空间位置关系与距离;空间角.分析
(1)连结OA,由正三角形的性质得OA⊥BC,由射影性质得A1O⊥底面ABC,从而BC⊥平面AOA1,进而BC⊥EO,由OE⊥AA1于E点,是OE⊥BB1,由此能证明OE⊥平面BB1C1C.
(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OA1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=1,求出平面AA1B1BAC的法向量,由此能求出AC与平面AA1B1B所成角的正弦值.解答
(1)证明连结OA,∵底面ABC为正三角形,∴OA⊥BC,∵A1在底面ABC上的射影是棱BC的中点O,∴A1O⊥底面ABC,又BC⊂面ABC,∴A1O⊥BC,∴BC⊥平面AOA1,∵OE⊂平面AOA1,∴BC⊥EO,∵OE⊥AA1于E点,∴OE⊥BB1,又BC∩BB1=B,∴OE⊥平面BB1C1C.
(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OA1为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(,0,0),C(0,﹣,0),A1(0,0,),B(0,),B1(0,,),=(﹣,﹣,0),=(﹣,,0),=(﹣,0,),设平面AA1B1BAC的法向量为=(x,y,z),则,取x=2,得=(,3,1),设AC与平面AA1B1B所成角为θ,sinθ=|cos<,>|=||==.点评本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用,意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力. 18.从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品,对其使用寿命进行实验检测,将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是合格品.寿命(天)频数频率[100,200)20a[200,300)
300.15[300,400)b
0.35[400,500)
300.15[500,600)
500.25合计2001(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;(Ⅱ)从灯泡样品中随机地取n(n∈N*)个,如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;(Ⅲ)从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用,若将上述频率作为概率,用ξ表示3个灯泡中次品的个数,求ξ的分布列和数学期望.考点离散型随机变量的期望与方差;频率分布表;离散型随机变量及其分布列.专题概率与统计.分析(Ⅰ)由频率分布表,得频率之和为1,频数之和为200,由此能求出a和b.(Ⅱ)由表可知灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,优等品、正品和次品的比例为5010050=121.由此按分层抽样法,能求出n的最小值.(Ⅲ)由已知得ξ的所有取值为0,1,2,3,且ξ~B(3,),由此能求出ξ的分布列和数学期望.解答解(Ⅰ)由频率分布表,得a=1﹣
0.15﹣
0.35﹣
0.15﹣
0.25=
0.1.b=200﹣20﹣30﹣30﹣50=70.(Ⅱ)由表可知灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,∴优等品、正品和次品的比例为5010050=121.…(4分)∴按分层抽样法,购买灯泡数n=k+2k+k=4k(k∈N*),∴n的最小值为4.…(6分)(Ⅲ)ξ的所有取值为0,1,2,3.…(7分)由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为
0.1+
0.15=
0.25,…(8分)从本批次灯泡中购买3个,ξ表示3个灯泡中次品的个数,则ξ~B(3,),∴P(ξ=0)=×(1﹣)3=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,…(11分)∴随机变量ξ的分布列为ξ0123P…(12分)∴ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.…(13分)点评本题考查频率分布列的应用,考查分层抽样的应用,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,注意二项分布的性质的合理运用. 19.已知函数y=3x+的图象上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),其中数列{xn}为等差数列,满足x2=﹣,x5=﹣.(Ⅰ)求点Pn的坐标;(Ⅱ)若抛物线列C1,C2,…,Cn分别以点P1,P2,…,Pn为顶点,且任意一条的对称轴均平行于y轴,Cn与y轴的交点为An(0,n2+1),记与抛物线Cn相切于点An的直线的斜率为kn,求数列前n项的和Sn.考点数列的求和;数列与函数的综合.专题等差数列与等比数列.分析(I)设等差数列{xn}的公差为d,可得d=,利用等差数列的通项公式可得xn,进而得到yn.(II)由题意可设以Pn为顶点的抛物线Cn的方程为y=a﹣,由于Cn与y轴的交点为An(0,n2+1),代入解得a=1,可得以Pn为顶点的抛物线方程为y=﹣,利用导数的几何意义可得切线的斜率,再利用“裂项求和”即可得出Sn.解答解(I)设等差数列{xn}的公差为d,∵x2=﹣,x5=﹣,∴d===﹣1.∴xn=x2+(n﹣2)d=﹣(n﹣2)=.∴yn==.∴Pn.(II)由题意可设以Pn为顶点的抛物线方程为y=a﹣,∵Cn与y轴的交点为An(0,n2+1),∴n2+1=a﹣,解得a=1,∴以Pn为顶点的抛物线方程为y=﹣,,∴y′(x=0)=2n+3=kn,∴kn+1=2n+5.∴==,∴数列前n项的和Sn=+…+==.点评本题考查了等差数列的通项公式及其性质、抛物线的标准方程及其性质、导数的几何意义、抛物线的切线方程、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.已知椭圆C=1(a>b>0)经过点,且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,m),求m的取值范围.考点椭圆的简单性质.专题圆锥曲线中的最值与范围问题.分析(I)由椭圆C=1(a>b>0)经过点,且离心率为,可得,,又a2=b2+c2,联立解得即可.(II)当直线MN⊥x轴时,线段MN的垂直平分线为x轴,可得m=0.当直线MN的斜率存在时,可设直线MN的方程为y=k(x+2)(k≠0),与椭圆方程联立化为(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣8=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x0,y0),利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得(x0,y0),可得线段MN的垂直平行线的方程,对k分类讨论即可得出.解答解(I)∵椭圆C=1(a>b>0)经过点,且离心率为,∴,,又a2=b2+c2,联立解得b=c=2,a2=8.∴椭圆C的方程为.(II)当直线MN⊥x轴时,线段MN的垂直平分线为x轴,∴m=0.当直线MN的斜率存在时,可设直线MN的方程为y=k(x+2)(k≠0),联立,化为(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣8=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x0,y0),则x1+x2=,∴x0==﹣,y0=k(x0+2)=,∴线段MN的垂直平行线的方程为=﹣,令x=0,可得m=y==,当k>0时,m≥﹣,当且仅当k=时取等号;当k<0时,m≤,当且仅当k=﹣时取等号.综上可得m的取值范围是.点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21.已知函数f(x)=ax2﹣4ln(x﹣1).(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对一切x∈[2,e+1],f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析(I)当a=1时,f(x)=x2﹣4ln(x﹣1)(x>1),f′(x)=,分别解出f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出单调区间;(II)对一切x∈[2,e+1],f(x)≤4恒成立⇔a≤,x∈[2,e+1].令u(x)=,x∈[2,e+1],利用导数研究其单调性极值与最值,即可得出.解答解(I)当a=1时,f(x)=x2﹣4ln(x﹣1)(x>1),f′(x)=2x﹣=,当x>2时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当1<x<2时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.∴函数f(x)单调递增区间是(2,+∞);函数f(x)单调递减区间是(1,2).(II)对一切x∈[2,e+1],f(x)≤4恒成立⇔a≤,x∈[2,e+1].令u(x)=,x∈[2,e+1],u′(x)==,令v(x)=4x﹣8﹣8ln(x﹣1),x∈[2,e+1],v′(x)=4﹣=,当x∈[2,3)时,v′(x)<0,此时函数v(x)单调递减;当x∈(3,e+1]时,v′(x)>0,此时函数v(x)单调递增.而v
(2)=0,v(e+1)=4(e+1)﹣8﹣8=4(e﹣3)<0,∴u′(x)≤0(只有x=2时取等号),∴函数u(x)单调递减,∴当x=e+1时,函数u(x)取得极小值即最小值,u(e+1)=.∴a,即为a的取值范围.点评本题考查了利用导数研究闭在区间上函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 。