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2019-2020年高三数学上学期模块试卷(b卷)(含解析)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)安徽省龙河中学xx学年第一学期高三一轮复习数学必修四模块检测卷(B卷教师版)1.下列各式的值是负值的是( ) A.cos(﹣31°)B.sin13°C.tan242°D.cos114° 2.若tan(α﹣3π)>0,sin(﹣α+π)<0,则α在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若3﹣2=,则( ) A.=B.=C.=﹣D.=﹣ 4.设x∈z,则f(x)=cos的值域是( ) A.{﹣1,}B.{﹣1,﹣,,1} C.{﹣1,﹣,0,,1}D.{,1} 5.已知ω>0,函数f(x)=cos()的一条对称轴为﹣个对称中心为则ω有( ) A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1 6.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ) A.y=2cos2xB.y=2sin2xC.D.y=cos2x 7.已知O为原点,点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)其中常数a>0,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则•的最大值为( ) A.aB.2aC.3aD.a2 8.把函数y=(cos3x﹣sin3x)的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象,这个变化可以是( ) A.沿x轴方向向右平移B.沿x轴方向向左平移 C.沿x轴方向向右平移D.沿x轴方向向左平移 9.设=(1,2),=(1,m),若与的夹角为锐角,则m的范围是( ) A.m>B.m<C.m>﹣且m≠2D.m<﹣,且m≠﹣2 10.已知α、β均为锐角,P=cosα•cosβ,Q=cos2,那么P、Q的大小关系是( ) A.P<QB.P>QC.P≤QD.P≥Q 11.已知不等式对于任意的恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.B.C.D.. 12.已知非零向量与满足且=.则△ABC为( ) A.等边三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若角α的终边经过点P(1,﹣2),则tan2α的值为 . 14.设函数f(x)=|sin(x+)|(x∈R),求f(x)的单调递增区间. 15.若θ是第二象限角,cos﹣sin=,则角的终边所在的象限是 . 16.设定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知A、B、C三点的坐标分别是(﹣2,1)、(2,﹣1)、(0,1),且=3,=2,求点P、Q和向量的坐标. 18.已知函数f(x)=sin(π﹣x)sin(﹣x)+cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调区间. 19.已知A、B、C为△ABC的三个内角,=(sinB+cosB,cosC),=(sinC,sinB﹣cosB).
(1)若•=0,求角A;
(2)若•=﹣,求tan2A. 20.已知向量=(cos(﹣θ),sin(﹣θ)),=.
(1)求证.
(2)若存在不等于0的实数k和t,使=+(t2+3),=﹣k+t,满足,试求此时的最小值. 21.地震过后,当地人民积极恢复生产,焊工王师傅每天都很忙碌.今天他遇到了一个难题如图所示,有一块扇形钢板,半径为1m,圆心角θ=,厂长要求王师傅按图中所画的那样,在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC,要求使裁下钢板面积最大.试问王师傅如何确定A点位置,才能使裁下的钢板符合要求?最大面积为多少? 22.已知=(sin2x,cos2x),=(cos2x,﹣cos2x).(Ⅰ)若当x∈(,)时,•+=﹣,求cos4x的值;(Ⅱ)cosx≥,x∈(0,π),若关于x的方程•+=m有且仅有一个实根,求实数m的值. xx学年安徽省六安市龙河中学高三(上)模块数学试卷(B卷)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)安徽省龙河中学xx学年第一学期高三一轮复习数学必修四模块检测卷(B卷教师版)1.下列各式的值是负值的是( ) A.cos(﹣31°)B.sin13°C.tan242°D.cos114°考点运用诱导公式化简求值.专题三角函数的求值.分析判断角的范围,利用诱导公式化简判断函数的符号即可.解答解∵﹣31°是第四象限角,∴cos(﹣31°)>0.∵13°是第一象限角,∴sin13°>0;∵180°<242°<270°,∴242°是第三象限角,∴tan242°>0;∵90°<114°<180°,∴114°是第二象限角,∴cos114°<0.故选D.点评本题考查诱导公式的应用,三角函数值的符号,考查计算能力. 2.若tan(α﹣3π)>0,sin(﹣α+π)<0,则α在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点运用诱导公式化简求值;三角函数值的符号.专题三角函数的求值.分析直接利用诱导公式化简,推出三角函数值的符号,判断角所在象限即可.解答解由已知tan(α﹣3π)>0,得tanα>0,sin(﹣α+π)<0,可得sinα<0,∴α在第三象限.故选C点评本题考查诱导公式的应用,三角函数的符号,考查计算能力. 3.若3﹣2=,则( ) A.=B.=C.=﹣D.=﹣考点向量的减法及其几何意义.专题平面向量及应用.分析利用已知向量关系,化为3(﹣)=﹣,然后推出结果.解答解3﹣2=,化为3(﹣)=﹣,即3=,∴=.故选A.点评本题考查向量的基本运算,基本知识的考查. 4.设x∈z,则f(x)=cos的值域是( ) A.{﹣1,}B.{﹣1,﹣,,1} C.{﹣1,﹣,0,,1}D.{,1}考点余弦函数的定义域和值域.专题计算题.分析由于x∈z,先求出f(x)=cos的周期为6,求出f
(0)、f
(1)、f
(2)、f
(2)、f
(3)、f
(4)、f
(5)的值,即可得到f(x)=cos的值域.解答解∵x∈z,f(x)=cos的周期为=6,f
(0)=cos0=1,f
(1)=cos=,f
(2)=cos=﹣,f
(3)=cosπ=﹣1,f
(4)=cos=﹣,f
(5)=cos=cos(﹣)=,则f(x)=cos的值域是{﹣1,﹣,,1}.故选B.点评本题主要考查余弦函数的定义域和值域,余弦函数的周期性的应用,属于基础题. 5.已知ω>0,函数f(x)=cos()的一条对称轴为﹣个对称中心为则ω有( ) A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值1考点余弦函数的对称性;余弦函数的图象.专题三角函数的图像与性质.分析由函数f(x)=cos()的﹣条对称轴为,求得φ=3k﹣1
①.再由﹣个对称中心为,求得ω=12n+2
②.综合
①②可得,ω的最小值为2.解答解由已知ω>0,函数f(x)=cos()的﹣条对称轴为,可得ω×+=kπ,k∈z,求得φ=3k﹣1
①.再由﹣个对称中心为,可得ω×+=nπ+,n∈z,解得ω=12n+2
②.综合
①②可得,ω的最小值为2,故选A.点评本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的对称性的应用,属于中档题. 6.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ) A.y=2cos2xB.y=2sin2xC.D.y=cos2x考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题三角函数的图像与性质.分析按照向左平移,再向上平移,推出函数的解析式,即可.解答解将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数=cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x,故选A.点评本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查图象变化,是基础题. 7.已知O为原点,点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)其中常数a>0,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则•的最大值为( ) A.aB.2aC.3aD.a2考点平面向量数量积的运算.专题计算题.分析首先分析题目已知A、B的坐标,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),求•的最大值.故可考虑根据向量的坐标及加减运算表示出与.然后根据平面向量的数量乘积运算求出结果即可.解答解因为点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)所以,=(a,0)又由点P在线段AB上,且=t=(﹣at,at)所以=+=(a,0)+(﹣at,at)=(﹣at+a,at)则•=(a,0)•(﹣at+a,at)=﹣a2t+a2,当t=0时候取最大为a2.故选D.点评此题主要考查平面向量的数量乘积的运算问题,其中涉及到向量的坐标表示及加法运算,题目覆盖知识点少,属于基础题目. 8.把函数y=(cos3x﹣sin3x)的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象,这个变化可以是( ) A.沿x轴方向向右平移B.沿x轴方向向左平移 C.沿x轴方向向右平移D.沿x轴方向向左平移考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.分析先根据两角和与差的正弦公式进行化简为与y=﹣sin3x同名的三角函数,再由左加右减的平移原则进行平移.解答解∵y=(cos3x﹣sin3x)=﹣sin(3x﹣)=﹣sin3(x﹣)∴为得到y=﹣sin3x可以将y=(cos3x﹣sin3x)向左平移个单位故选D.点评本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角函数的图象变换.一般先化简为形式相同即同名函数再进行平移或变换. 9.设=(1,2),=(1,m),若与的夹角为锐角,则m的范围是( ) A.m>B.m<C.m>﹣且m≠2D.m<﹣,且m≠﹣2考点数量积表示两个向量的夹角.专题平面向量及应用.分析设与的夹角为θ,则cosθ>0且cosθ≠1,再利用两个向量的夹角公式、两个向量共线的性质求得m的范围.解答解设与的夹角为θ,则cosθ>0且cosθ≠1,而cosθ==>0,∴m>﹣,而cosθ≠1,∴m≠2.故m的范围是m>﹣且m≠2.故选C点评本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角,两个向量共线的性质,属于基础题. 10.已知α、β均为锐角,P=cosα•cosβ,Q=cos2,那么P、Q的大小关系是( ) A.P<QB.P>QC.P≤QD.P≥Q考点不等式比较大小.专题三角函数的图像与性质.分析利用和差化积、倍角公式即可得出.解答解∵P=cosα•cosβ=,Q=cos2=,又cos(α﹣β)≤1,∴P≤Q.当且仅当α﹣β=2kπ(k∈Z)时取等号.点评本题考查了和差化积、倍角公式,考查了计算能力,属于基础题. 11.已知不等式对于任意的恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.B.C.D..考点三角函数的最值.专题计算题.分析利用根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理,确定m的不等式关系,进而利用x的范围和正弦函数的性质确定的范围,进而求得m的范围.解答解,=,∴,∵,∴,∴,∴.故选A点评本题主要考查了三角函数的化简求值,三角函数的最值问题,不等式恒成立的问题.涉及了知识面较多,考查了知识的综合性. 12.已知非零向量与满足且=.则△ABC为( ) A.等边三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形考点三角形的形状判断.专题计算题.分析通过向量的数量积为0,判断三角形是等腰三角形,通过=求出等腰三角形的顶角,然后判断三角形的形状.解答解因为,所以∠BAC的平分线与BC垂直,三角形是等腰三角形.又因为,所以∠BAC=60°,所以三角形是正三角形.故选A.点评本题考查向量的数量积的应用,考查三角形的判断,注意单位向量的应用,考查计算能力.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若角α的终边经过点P(1,﹣2),则tan2α的值为 .考点二倍角的正切;任意角的三角函数的定义.分析根据角α的终边经过点P(1,﹣2),可先求出tanα的值,进而由二倍角公式可得答案.解答解∵角α的终边经过点P(1,﹣2),∴故答案为.点评本题主要考查正切函数的定义及二倍角公式. 14.设函数f(x)=|sin(x+)|(x∈R),求f(x)的单调递增区间.考点正弦函数的单调性.专题三角函数的图像与性质.分析根据函数y=|sinx|的增区间,令kπ≤x+≤kπ+,k∈z,求得x的范围,可得f(x)的单调递增区间.解答解令kπ≤x+≤kπ+,k∈z,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数f(x)的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z.点评本题主要考查函数y=|sinx|的增区间,属于基础题. 15.若θ是第二象限角,cos﹣sin=,则角的终边所在的象限是 第三象限 .考点三角函数值的符号.专题三角函数的求值.分析化根式内部的代数式为完全平方式,由开方可知,结合θ是第二象限角求出的范围,则答案可求.解答解∵=.∴.∵θ是第二象限角,∴,则.综上,.则角的终边所在的象限是第三象限.故答案为第三象限.点评本题考查了三角函数的符号,关键是把根式内部的代数式开方,是基础题. 16.设定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为 .考点正弦函数的图象;余弦函数的图象;正切函数的图象.专题计算题;转化思想.分析求出点p的横坐标,然后代入y=cosx的方程,求出y的值,就是线段P1P2的长.解答解定义在区间上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P,所以4tanx=6sinx,即cosx=,求出x就是P1的横坐标,由题意可知横坐标代入y=cosx就是线段P1P2的长故答案为点评本题是基础题,考查函数图象的交点的坐标的求法,函数解析式的理解,注意转化思想的应用.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知A、B、C三点的坐标分别是(﹣2,1)、(2,﹣1)、(0,1),且=3,=2,求点P、Q和向量的坐标.考点平面向量的坐标运算.专题平面向量及应用.分析利用向量的线性运算即可得出.解答解=(﹣2,0),=(2,﹣2),∴=3=3(﹣2,0)=(﹣6,0),=2=(4,﹣4).设P(x,y).则,∴,解得x=﹣6,y=1.∴P(﹣6,1).同理可得Q(4,﹣3).∴=(10,﹣4).点评本题考查了向量的线性运算,属于基础题. 18.已知函数f(x)=sin(π﹣x)sin(﹣x)+cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调区间.考点二倍角的余弦;复合三角函数的单调性.专题三角函数的求值.分析
(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=sin(2x+)+,由此可得函数的周期.
(2)令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得x的范围,可得函数的增区间;令2kπ+≤2x+≤2kπ+,求得x的范围,可得函数的增区间.解答解
(1)函数f(x)=sin(π﹣x)sin(﹣x)+cos2x=sinxcosx+=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,故函数的周期为=π.
(2)令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z.令2kπ+≤2x+≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,故函数的增区间为[kπ+,kπ+],k∈z.点评本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的周期性和单调性,属于基础题. 19.已知A、B、C为△ABC的三个内角,=(sinB+cosB,cosC),=(sinC,sinB﹣cosB).
(1)若•=0,求角A;
(2)若•=﹣,求tan2A.考点二倍角的正切;平面向量的综合题.专题三角函数的求值.分析
(1)由数量积为0和三角函数公式化简可得tanA=﹣1,结合A的范围可得;
(2)由•=﹣和
(1)可得sinA+cosA=﹣,再由三角函数知识可得sinA﹣cosA=,联立可解sinA和cosA,由同角三角函数的基本关系可得.解答解
(1)由已知•=0得(sinB+cosB)sinC+cosC(sinB﹣cosB)=0,化简得sin(B+C)﹣cos(B+C)=0,即sinA+cosA=0,∴tanA=﹣1.∵A∈(0,π),∴A=π.
(2)∵•=﹣,∴sin(B+C)﹣cos(B+C)=﹣1,∴sinA+cosA=﹣.
①平方得2sinAcosA=﹣.∵﹣<0,∴A∈(,π).∴sinA﹣cosA==.
②联立
①②得,sinA=,cosA=﹣.∴tanA==﹣.∴tan2A==﹣.点评本题考查二倍角的正切公式,涉及向量和三角函数的基本公式,属基础题. 20.已知向量=(cos(﹣θ),sin(﹣θ)),=.
(1)求证.
(2)若存在不等于0的实数k和t,使=+(t2+3),=﹣k+t,满足,试求此时的最小值.考点数量积判断两个平面向量的垂直关系;三角函数中的恒等变换应用.专题计算题;证明题.分析
(1)利用向量的数量积公式求出,利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0,利用向量垂直的充要条件得证.
(2)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用向量的运算律化简方程,将方程中的k用t表示,代入,利用二次函数最值的求法求出最小值.解答解
(1)证明∵=cos(﹣θ)•cos(﹣θ)+sin(﹣θ)•sin=sinθcosθ﹣sinθcosθ=0.∴.
(2)解由得=0,即[+(t2+3)]•(﹣k+t)=0,∴﹣k+(t3+3t)+[t2﹣k(t+3)]=0,∴﹣k+(t3+3t)=0.又=1,=1,∴﹣k+t3+3t=0,∴k=t3+3t.∴==t2+t+3=2+.故当t=﹣时,有最小值.点评本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法. 21.地震过后,当地人民积极恢复生产,焊工王师傅每天都很忙碌.今天他遇到了一个难题如图所示,有一块扇形钢板,半径为1m,圆心角θ=,厂长要求王师傅按图中所画的那样,在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC,要求使裁下钢板面积最大.试问王师傅如何确定A点位置,才能使裁下的钢板符合要求?最大面积为多少?考点在实际问题中建立三角函数模型.专题解三角形.分析过点B作BM⊥OP于M,则BM=sinα,OM=cosα,建立面积与角α的三角函数式,然后变形利用三角函数的公式以及最值求S的最大值.解答解过点B作BM⊥OP于M,则BM=sinα,OM=cosα,OA=OM﹣AM=cosα﹣sinα,设平行四边形OABC的面积为S,则S=OA•BM=(cosα﹣sinα)sinα=sin2α﹣sin2α=sin2α+cos2α﹣=(sin2α+cos2α)﹣=sin(2α+)﹣,因为0<α<,所以2α+=,即α=时,Smax==;所以当A是的中点时,能使裁下的钢板面积最大,最大面积为.点评本题考查了两角和与差的三角函数的运用以及倍角公式、三角函数的最值等知识的综合应用. 22.已知=(sin2x,cos2x),=(cos2x,﹣cos2x).(Ⅰ)若当x∈(,)时,•+=﹣,求cos4x的值;(Ⅱ)cosx≥,x∈(0,π),若关于x的方程•+=m有且仅有一个实根,求实数m的值.考点三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.专题三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用.分析
(1)首先根据向量的数量积,进一步对三角函数进行恒等变换,结合题中的定义域,求出cos4x的值.
(2)根据函数的单调性和函数的交点情况,利用函数的图象求出参数m的值.解答解
(1)∵已知=(sin2x,cos2x),=(cos2x,﹣cos2x).∴===sin(4x﹣),∵•+=﹣,∴sin(4x﹣)=﹣,∵x∈(,),∴4x﹣∈(π,),∴cos(4x﹣)=﹣,∴cos4x=cos[(4x﹣)+]=cos(4x﹣)cos﹣sin(4x﹣)sin)=.
(2)∵x∈(0,π),cosx在(0,π)上是单调递减函数.∴0<x≤令f(x)=•+=sin(4x﹣)g(x)=m根据在同一坐标系中函数的图象求得m=1或m=﹣.故答案为
(1)cos4x=;
(2)m=1或m=﹣.点评本题考查的知识点向量的数量积,三角函数式的恒等变换,三角函数的求值,函数的单调性,三角函数的图象,以及参数的取值问题. 。