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2019-2020年高三数学上学期第一次月考试卷理(重点班,含解析)
一、选择题本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把答案直接填涂到答题卡上.1.“2a>2b”是“log2a>log2b”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|<5},N={x|a<x<6},且M∩N={2,b},则a+b=( ) A.6B.7C.8D.9 3.方程的实数根的个数为( ) A.0B.1C.2D.不确定 4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(﹣∞,0)上增函数,若|a|>|b|,则以下结论正确的是( ) A.f(a)﹣f(b)<0B.f(a)﹣f(b)>0C.f(a)+f(b)>0D.f(a)+f(b)<0 5.若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是( ) A.∃a∈R,f(x)是偶函数B.∃a∈R,f(x)是奇函数 C.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数D.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 6.已知函数y=f′(x),y=g′(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( ) A.B.C.D. 7.集合M={f(x)|f(﹣x)=f(x),x∈R},N={f(x)|f(﹣x)=﹣f(x),x∈R},P={f(x)|f(1﹣x)=f(1+x),x∈R},Q={f(x)|f(1﹣x)=﹣f(1+x),x∈R}.若f(x)=(x﹣1)3,x∈R,则( ) A.f(x)∈MB.f(x)∈NC.f(x)∈PD.f(x)∈Q 8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( ) A.1B.C.D. 9.若对于定义在R上的函数f(x),其函数图象是连续的,且存在常数λ(λ∈R),使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是“λ﹣同伴函数”.下列关于“λ﹣同伴函数”的叙述中正确的是( ) A.“同伴函数”至少有一个零点 B.f(x)=x2是一个“λ﹣同伴函数” C.f(x)=log2x是一个“λ﹣同伴函数” D.f(x)=0是唯一一个常值“λ﹣同伴函数” 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,,则函数g(x)=xf(x)﹣1在[﹣6,+∞)上的所有零点之和为( ) A.7B.8C.9D.10
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请把答案填在题中横线上.11.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(f())的值等于 . 12.曲线y=x3+3x2+6x﹣1的切线中,斜率最小的切线方程为 . 13.定义在R上的函数f(x)满足关系,则的值等于 . 14.已知命题p不等式|x|+|x﹣1|>m的解集为R,命题q f(x)=﹣(5﹣2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数m的取值范围是 . 15.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)>0且2f(x)+xf′(x)>0,有下列命题
①f(x)在R上是增函数;
②当x1>x2时,x12f(x1)>x22f(x2)
③当x1>x2>0时,>
④当x1+x2>0时,x12f(x1)+x22f(x2)>0
⑤当x1>x2时,x12f(x2)>x22f(x1)则其中正确的命题是 (写出你认为正确的所有命题的序号)
三、解答题本大题共6个小题,满分75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知函数的定义域为集合A,函数g(x)=lg(﹣x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(∁RB);
(2)若A∩B={x|﹣1<x<4},求实数m的值. 17.已知函数y=g(x)与f(x)=loga(x+1)(a>1)的图象关于原点对称.
(1)写出y=g(x)的解析式;
(2)若函数F(x)=f(x)+g(x)+m为奇函数,试确定实数m的值;
(3)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥n成立,求实数n的取值范围. 18.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证f(x)≥g(x). 19.设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4).
(1)求y=f(x)在区间(0,4]上的最大值与最小值;
(2)是否存在两个不等正数s,t(s<t),当s≤x≤t时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[s,t],若存在,求出所有这样的正数s,t;若不存在,请说明理由. 20.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),
(1)若x=0为函数的一个极值点,且f(x)在区间(﹣6,﹣4),(﹣2,0)上单调且单调性相反,求的取值范围.
(2)当b=3a,且﹣2是f(x)=ax3+3ax2+d的一个零点,求a的取值范围. 21.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12,f′(x)为f(x)的导函数,满足f′(2﹣x)=f′(x).(Ⅰ)设g(x)=x,m>0,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;(Ⅱ)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1﹣t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围. xx学年安徽省合肥市肥东县锦弘中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(重点班)参考答案与试题解析
一、选择题本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把答案直接填涂到答题卡上.1.“2a>2b”是“log2a>log2b”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点.专题计算题;综合题.分析分别解出2a>2b,log2a>log2b中a,b的关系,然后根据a,b的范围,确定充分条件,还是必要条件.解答解2a>2b⇒a>b,当a<0或b<0时,不能得到log2a>log2b,反之由log2a>log2b即a>b>0可得2a>2b成立.故选B.点评本题考查对数函数的单调性与特殊点,必要条件、充分条件与充要条件的判断,是基础题. 2.已知集合M={x||x﹣4|+|x﹣1|<5},N={x|a<x<6},且M∩N={2,b},则a+b=( ) A.6B.7C.8D.9考点交集及其运算.专题计算题.分析集合M中的不等式表示数轴上到1的距离与到4的距离之和小于5,求出x的范围,确定出M,由M与N的交集及N,确定出a与b的值,即可求出a+b的值.解答解由集合M中的不等式,解得0<x<5,∴M={x|0<x<5},∵N={x|a<x<6},且M∩N=(2,b),∴a=2,b=5,则a+b=2+5=7.故选B点评此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.方程的实数根的个数为( ) A.0B.1C.2D.不确定考点根的存在性及根的个数判断.专题计算题.分析将方程的实数根的个数转化成y=与y=2x﹣1的图象的交点的个数,在同一坐标系下画出它们的图象,观察图象即可得到结论.解答解方程的实数根的个数可看成y=与y=2x﹣1的图象的交点的个数在同一坐标系下画出它们的图象显然一个交点,故方程的实数根的个数为1故选B.点评本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及指数函数与对数函数的图象,属于基础题. 4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(﹣∞,0)上增函数,若|a|>|b|,则以下结论正确的是( ) A.f(a)﹣f(b)<0B.f(a)﹣f(b)>0C.f(a)+f(b)>0D.f(a)+f(b)<0考点奇偶性与单调性的综合.专题计算题;函数的性质及应用.分析利用偶函数的性质,偶函数f(x)在(﹣∞,0)上增函数,则它在(0,+∞)上递减,由f(﹣x)=f(x)=f(|x|),|a|>|b|,即可作出判断.解答解∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴其图象关于y轴对称,又∵f(x)在(﹣∞,0)上增函数,∴f(x)在(0,+∞)上递减,∴当|a|>|b|时,f(|a|)<f(|b|),又由函数f(x)是定义在R上的偶函数知,f(﹣x)=f(x)=f(|x|),∴f(|a|)=f(a),f(|b|)=f(b),∴f(|a|)<f(|b|),即f(a)<f(b),∴f(a)﹣f(b)<0,故选A.点评本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,考查转化思想与推理能力,属于中档题. 5.若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是( ) A.∃a∈R,f(x)是偶函数B.∃a∈R,f(x)是奇函数 C.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数D.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数考点全称命题;特称命题;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.分析当a=0时,f(x)是偶函数;有x2的存在,f(x)不会是奇函数;在(0,∝)上,只有当a>0时,(x)在(0,+∞)上是增函数;∵g(x)=x2在(0,+∞)上是增函数,不存在a∈R,有f(x)在(0,+∞)上是减函数.解答解当a=0时,f(x)是偶函数故选A点评本题通过逻辑用语来考查函数的单调性和奇偶性. 6.已知函数y=f′(x),y=g′(x)的导函数的图象如图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( ) A.B.C.D.考点利用导数研究函数的单调性.专题压轴题.分析根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案.解答解从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以排除B,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,故选D.点评本题主要考查但函数的意义.建议让学生在最后一轮一定要回归课本,抓课本基本概念. 7.集合M={f(x)|f(﹣x)=f(x),x∈R},N={f(x)|f(﹣x)=﹣f(x),x∈R},P={f(x)|f(1﹣x)=f(1+x),x∈R},Q={f(x)|f(1﹣x)=﹣f(1+x),x∈R}.若f(x)=(x﹣1)3,x∈R,则( ) A.f(x)∈MB.f(x)∈NC.f(x)∈PD.f(x)∈Q考点元素与集合关系的判断.专题集合.分析M中的f(x)是偶函数,图象关于y轴对称;N中的f(x)是奇函数,图象关于x轴对称;P中的f(x)图象关于直线x=1轴对称;Q中的f(x)图象关于点(1,0)对称;解答解∵f(x)=(x﹣1)3,x∈R的图象关于点(1,0)对称,而条件f(1﹣x)=﹣f(1+x),x∈R说明函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.∴f(x)∈Q故选D.点评本题通过集合与元素的关系来考查函数图象的对称问题.要记住一些常的结论. 8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( ) A.1B.C.D.考点导数在最大值、最小值问题中的应用.专题计算题;压轴题;转化思想.分析将两个函数作差,得到函数y=f(x)﹣g(x),再求此函数的最小值对应的自变量x的值.解答解设函数y=f(x)﹣g(x)=x2﹣lnx,求导数得=当时,y′<0,函数在上为单调减函数,当时,y′>0,函数在上为单调增函数所以当时,所设函数的最小值为所求t的值为故选D点评可以结合两个函数的草图,发现在(0,+∞)上x2>lnx恒成立,问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值. 9.若对于定义在R上的函数f(x),其函数图象是连续的,且存在常数λ(λ∈R),使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是“λ﹣同伴函数”.下列关于“λ﹣同伴函数”的叙述中正确的是( ) A.“同伴函数”至少有一个零点 B.f(x)=x2是一个“λ﹣同伴函数” C.f(x)=log2x是一个“λ﹣同伴函数” D.f(x)=0是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”考点函数恒成立问题;抽象函数及其应用;函数的零点.专题新定义.分析令x=0,可得.若f
(0)=0,f(x)=0有实数根;若f
(0)≠0,.可得f(x)在上必有实根,可判断A假设f(x)=x2是一个“λ﹣同伴函数”,则(x+λ)2+λx2=0,则有λ+1=2λ=λ2=0,解方程可判断B因为f(x)=log2x的定义域不是R可判断C设f(x)=C则(1+λ)C=0,当λ=﹣1时,可以取遍实数集,可判断D解答解令x=0,得.所以.若f
(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f
(0)≠0,.又因为f(x)的函数图象是连续不断,所以f(x)在上必有实数根.因此任意的“同伴函数”必有根,即任意“同伴函数”至少有一个零点.A正确,用反证法,假设f(x)=x2是一个“λ﹣同伴函数”,则(x+λ)2+λx2=0,即(1+λ)x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ2=0,而此式无解,所以f(x)=x2不是一个“λ﹣同伴函数”.B错误因为f(x)=log2x的定义域不是R.C错误设f(x)=C是一个“λ﹣同伴函数”,则(1+λ)C=0,当λ=﹣1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”.D错误,点评本题考查的知识点是函数的概念及构成要素,函数的零点,正确理解f(x)是λ﹣同伴函数的定义,是解答本题的关键. 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,,则函数g(x)=xf(x)﹣1在[﹣6,+∞)上的所有零点之和为( ) A.7B.8C.9D.10考点奇偶性与单调性的综合;函数的零点.专题压轴题;函数的性质及应用.分析由已知可分析出函数g(x)是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故g(x)在[﹣6,6]上所有的零点的和为0,则函数g(x)在[﹣6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和,求出(6,+∞)上所有零点,可得答案.解答解∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x).又∵函数g(x)=xf(x)﹣1,∴g(﹣x)=(﹣x)f(﹣x)﹣1=(﹣x)[﹣f(x)]﹣1=xf(x)﹣1=g(x),∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的.∴函数g(x)在[﹣6,6]上所有的零点的和为0,∴函数g(x)在[﹣6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和.由0<x≤2时,f(x)=2|x﹣1|﹣1,即∴函数f(x)在(0,2]上的值域为[,1],当且仅当x=2时,f(x)=1又∵当x>2时,f(x)=∴函数f(x)在(2,4]上的值域为[,],函数f(x)在(4,6]上的值域为[,],函数f(x)在(6,8]上的值域为[,],当且仅当x=8时,f(x)=,函数f(x)在(8,10]上的值域为[,],当且仅当x=10时,f(x)=,故f(x)<在(8,10]上恒成立,g(x)=xf(x)﹣1在(8,10]上无零点同理g(x)=xf(x)﹣1在(10,12]上无零点依此类推,函数g(x)在(8,+∞)无零点综上函数g(x)=xf(x)﹣1在[﹣6,+∞)上的所有零点之和为8故选B点评本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的零点,函数的图象和性质,其中在寻找(6,+∞)上零点个数时,难度较大,故可以用归纳猜想的方法进行处理.
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请把答案填在题中横线上.11.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(f())的值等于 ﹣1 .考点对数的运算性质;函数的值.专题计算题;函数的性质及应用.分析由已知可得f(﹣x)=﹣f(x),结合已知可求f()=﹣2,然后再由f(﹣2)=﹣f
(2),代入已知可求解答解∵y=f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x)∵当x>0时,f(x)=log2x,∴=﹣2则f(f())=f(﹣2)=﹣f
(2)=﹣1故答案为﹣1点评本题主要考查了奇函数的性质的简单应用,属于基础试题 12.曲线y=x3+3x2+6x﹣1的切线中,斜率最小的切线方程为 3x﹣y﹣2=0 .考点利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的斜率.专题计算题.分析已知曲线y=x3+3x2+6x﹣1,对其进行求导,根据斜率与导数的关系进行求解;解答解∵曲线y=x3+3x2+6x﹣1,y=3x2+6x+6=3(x+1)2+3≥3.当x=﹣1时,ymin=3,此时斜率最小,即k=3当x=﹣1时,y=﹣5.此切线过点(﹣1,﹣5)∴切线方程为y+5=3(x+1),即3x﹣y﹣2=0,故答案为3x﹣y﹣2=0;点评此题主要利用导数研究曲线上的某点切线方程,此题是一道基础题,还考查直线的斜率; 13.定义在R上的函数f(x)满足关系,则的值等于 7 .考点函数的值.专题计算题.分析根据给出的式子的特点,令化简得f(x)+f(1﹣x)=2,即两个自变量的和是1则它们的函数值的和是2,由此规律求出所求式子的值.解答解由题意知,,令代入式子得,f(x)+f(1﹣x)=2,∴==6+∵+=2,∴=7.故答案为7.点评本题的考点是抽象函数求值,即根据所给式子的特点进行变形,找出此函数的规律,并利用此规律对所给的式子进行求值. 14.已知命题p不等式|x|+|x﹣1|>m的解集为R,命题q f(x)=﹣(5﹣2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数m的取值范围是 [1,2) .考点命题的真假判断与应用.专题计算题;分类讨论.分析由绝对值得意义知,p即m<1;由指数函数的单调性与特殊点得,q即m<2.从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围.解答解p∵不等式|x|+|x﹣1|>m的解集为R,而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和,最小值等于1,∴m<1.q∵f(x)=﹣(5﹣2m)x是减函数,∴5﹣2m>1,解得m<2.∴当1≤m<2时,p不正确,而q正确,两个命题有且只有一个正确,实数m的取值范围为[1,2).故答案为[1,2).点评本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义,指数函数的单调性与特殊点,分类讨论思想,化简这两个命题是解题的关键.属中档题. 15.定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)>0且2f(x)+xf′(x)>0,有下列命题
①f(x)在R上是增函数;
②当x1>x2时,x12f(x1)>x22f(x2)
③当x1>x2>0时,>
④当x1+x2>0时,x12f(x1)+x22f(x2)>0
⑤当x1>x2时,x12f(x2)>x22f(x1)则其中正确的命题是
②③④ (写出你认为正确的所有命题的序号)考点命题的真假判断与应用.分析利用函数的性质和构建函数来求解.解答解通过审题,特别是所要判断的项,我们可以得出当x∈(0,+∞),2f(x)+xf′(x)>0等价于2xf(x)+x2f′(x)>0即可以看成是R(x)=x2f(x)的导函数∴R(x)与f(x)一样,也为奇函数,且在x∈(0,+∞)时,R(x)为单调递增函数通过奇函数的性质,可以发现R(x)在R上都为单调增函数
①通过分析,无法判定f(x)是增函数还是减函数
②根据前面的分析,我们可以通过增函数的性质判定
②是正确的
③∵x1和x2都是大于0∴f(x1)和f(x2)也都大于0∴可以化简成x12f(x1)>x22f(x2),明显成立
④x1+x2>0等价于x1>﹣x2∴x12f(x1)>(﹣x2)2f(﹣x2)=﹣x22f(x2)∴x12f(x1)+x22f(x2)>0
⑤通过分析,无法判定等式一定成立点评涉及到多个函数,我们一般可以通过构造一个函数来进行简化分析.对于无法判定的选项,只要找出一个反例就行.灵活运用奇偶函数的性质.
三、解答题本大题共6个小题,满分75分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知函数的定义域为集合A,函数g(x)=lg(﹣x2+2x+m)的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩(∁RB);
(2)若A∩B={x|﹣1<x<4},求实数m的值.考点交、并、补集的混合运算;交集及其运算;对数函数的定义域.专题计算题.分析
(1)先分别求出函数f(x)和g(x)的定义域,再求出集合B的补集,再根据交集的定义求出所求;
(2)先求出集合A,再根据A∩B的范围以及结合函数g(x)的特点确定出集合B,然后利用根与系数的关系求出m的值.解答解函数的定义域为集合A={x|﹣1<x≤5}
(1)函数g(x)=lg(﹣x2+2x+3)的定义域为集合B={x|﹣1<x<3}CRB={x|x≤﹣1或x≥3}∴A∩(∁RB)=[3,5]
(2)∵A∩B={x|﹣1<x<4},A={x|﹣1<x≤5}而﹣x2+2x+m=0的两根之和为2∴B={x|﹣2<x<4}∴m=8答实数m的值为8点评本题主要考查了对数函数、根式函数的定义域的求解,已经交、并、补集的混合运算等知识,属于基础题. 17.已知函数y=g(x)与f(x)=loga(x+1)(a>1)的图象关于原点对称.
(1)写出y=g(x)的解析式;
(2)若函数F(x)=f(x)+g(x)+m为奇函数,试确定实数m的值;
(3)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥n成立,求实数n的取值范围.考点函数奇偶性的性质;对数函数的单调性与特殊点.专题计算题.分析
(1)设M(x,y)是函数y=g(x)图象上任意一点,进而可得M(x,y)关于原点的对称点为N的坐标,代入f(x)中进而求得x和y的关系式.
(2)跟函数F(x)为奇函数求得F(﹣x)=﹣F(x)代入解析式即可求得m的值.
(3)利用f(x)+g(x)≥n求得,设,只要Q(x)min≥n即可,根据在[0,1)上是增函数进而求得函数的最小值,求得n的范围.解答解
(1)设M(x,y)是函数y=g(x)图象上任意一点,则M(x,y)关于原点的对称点为N(﹣x,﹣y)N在函数f(x)=loga(x+1)的图象上,∴﹣y=loga(﹣x+1)
(2)∵F(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x)+m为奇函数.∴F(﹣x)=﹣F(x)∴loga(1﹣x)﹣loga(1+x)+m=﹣loga(1+x)+loga(1﹣x)﹣m∴,∴m=0
(3)由设,由题意知,只要Q(x)min≥n即可∵在[0,1)上是增函数∴n≤0点评本题主要考查了函数的奇偶性的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 18.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证f(x)≥g(x).考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题综合题;导数的综合应用.分析
(1)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.最后用a表示b,利用导数的工具求b的最大值,从而问题解决.
(2)先设F(x)=f(x)﹣g(x),利用导数研究此函数的单调性,欲证f(x)≥g(x)(x>0),只须证明F(x)在(0,+∞)上的最小值是0即可.解答解(Ⅰ)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,∵f′(x)=x+2a,g′(x)=,由题意f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),∴+2ax=3a2lnx0+b,x0+2a=,由x0+2a=得x0=a,x0=﹣3a(舍去)即有b=(3分)令h(t)=,则h′(t)=2t(1﹣3lnt)当t(1﹣3lnt)>0,即0<t<时,h(t)>0;当t(1﹣3lnt)<0,即t>时,h(t)<0.故h(t)在(0,)为增函数,在(,+∞)为减函数,于是h(t)在(0,+∞)的最大值为h()=(6分)(Ⅱ)设F(x)=f(x)﹣g(x)=,则F(x)=x+2a﹣=(10分)故F(x)在(0,a)为减函数,在(a,+∞)为增函数,于是函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)﹣g(x0)=0.故当x>0时,有f(x)﹣g(x)≥0,即当x>0时,f(x)≥g(x)(12分)点评考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值.考查化归与转化思想.属于中档题. 19.设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4).
(1)求y=f(x)在区间(0,4]上的最大值与最小值;
(2)是否存在两个不等正数s,t(s<t),当s≤x≤t时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[s,t],若存在,求出所有这样的正数s,t;若不存在,请说明理由.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.专题综合题.分析
(1)对f(x)进行求导,根据f(x)的图象与直线y=4相切于M(1,4),可得f′
(1)=0和f
(1)=0,求出f(x)的解析式,再求其最值;
(2)根据函数的定义域是正数知,s>0,故极值点x=3不在区间[s,t]上分两种情况,若f(x)=x3﹣6x2+9x在[s,t]上单调增;若f(x)=x3﹣6x2+9x在[s,t]上单调减,从而进行判断;解答解
(1)f(x)=3x2+2ax+b,(1分)依题意则有,即解得(2分)∴f(x)=x3﹣6x2+9x令f(x)=3x2﹣12x+9=0,解得x=1或x=3(3分)当x变化时,f(x),f(x)在区间(0,4]上的变化情况如下表x(0,1)1(1,3)3(3,4)4f(x)+0﹣0+f(x)单调递增↗4单调递减↘0单调递增↗4所以函数f(x)=x3﹣6x2+9x在区间(0,4]上的最大值是4,最小值是0.(4分)
(2)由函数的定义域是正数知,s>0,故极值点x=3不在区间[s,t]上;(5分)
①若极值点x=1在区间[s,t],此时0<s≤1≤t<3,在此区间上f(x)的最大值是4,不可能等于t;故在区间[s,t]上没有极值点;(7分)
②若f(x)=x3﹣6x2+9x在[s,t]上单调增,即0<s<t≤1或3<s<t,则,即,解得不合要求;(10分)
③若f(x)=x3﹣6x2+9x在[s,t]上单调减,即1<s<t<3,则,两式相减并除s﹣t得(s+t)2﹣6(s+t)﹣st+10=0,
①两式相除可得[s(s﹣3)]2=[t(t﹣3)]2,即s(3﹣s)=t(3﹣t),整理并除以s﹣t得s+t=3,
②由
①、
②可得,即s,t是方程x2﹣3x+1=0的两根,即存在s=,t=不合要求.(13分)综上可得不存在满足条件的s、t.(14分)点评此题主要考查利用导数求函数的单调区间及极值,是一道综合性比较强,第二问难度比较大,存在性问题,假设存在求出s,t,计算时要仔细; 20.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),
(1)若x=0为函数的一个极值点,且f(x)在区间(﹣6,﹣4),(﹣2,0)上单调且单调性相反,求的取值范围.
(2)当b=3a,且﹣2是f(x)=ax3+3ax2+d的一个零点,求a的取值范围.考点导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点;利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析
(1)由已知得f(x)=3ax2+2bx+c,f
(0)=0,由此利用导数性质能求出的取值范围.
(2)由已知得f(﹣2)=﹣8a+12a+d=0,从而f(x)=3ax2+6ax,令f(x)=0,x=0或x=﹣2.列表讨论能求出实数a的取值范围.解答解
(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx+d,所以f(x)=3ax2+2bx+c.又f(x)在x=0处有极值,所以f
(0)=0即c=0,所以f(x)=3ax2+2bx.令f(x)=0,所以x=0或.又因为f(x)在区间(﹣6,﹣4),(﹣2,0)上单调且单调性相反,所以所以.(5分)
(2)因为b=3a,且﹣2是f(x)=ax3+3ax2+d的一个零点,所以f(﹣2)=﹣8a+12a+d=0,所以d=﹣4a,从而f(x)=ax3+3ax2﹣4a,所以f(x)=3ax2+6ax,令f(x)=0,所以x=0或x=﹣2.(7分)列表讨论如下x﹣3(﹣3,﹣2)﹣2[(﹣2,0)0(0,2)2a>0a<0a>0a<0a>0a<0f(x)+﹣0﹣+0+﹣f(x)﹣4a↗↘0↘↗﹣4a↗↘16a所以当a>0时,若﹣3≤x≤2,则﹣4a≤f(x)≤16a.当a<0时,若﹣3≤x≤2,则16a≤f(x)≤﹣4a.从而或,即或所以存在实数,满足题目要求.(13分)点评本题考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意导数的性质的灵活运用. 21.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12,f′(x)为f(x)的导函数,满足f′(2﹣x)=f′(x).(Ⅰ)设g(x)=x,m>0,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;(Ⅱ)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1﹣t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.考点利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题.专题综合题;压轴题.分析(Ⅰ)f′(x)=x2+2bx+c,由f′(2﹣x)=f′(x),解得b=﹣1.由直线y=4x﹣12与x轴的交点为(3,0),解得c=1,d=﹣3.由此能求出函数g(x)在[0,m]上的最大值.(Ⅱ)h(x)=ln(x﹣1)2=2ln|x﹣1|,则h(x+1﹣t)=2ln|x﹣t|,h(2x+2)=2ln|2x+1|,由当x∈[0,1]时,|2x+1|=2x+1,知不等式2ln|x﹣t|<2ln|2x+1|恒成立等价于|x﹣t|<2x+1,且x≠t恒成立,由此能求出实数t的取值范围.解答(本小题满分14分)解(Ⅰ)f′(x)=x2+2bx+c,∵f′(2﹣x)=f′(x),∴函数y=f′(x)的图象关于直线x=1对称,则b=﹣1.∵直线y=4x﹣12与x轴的交点为(3,0),∴f
(3)=0,且f′(x)=4,即9+9b+3c+d=0,且9+6b+c=4,解得c=1,d=﹣3.则.故f′(x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,g(x)=x=x|x﹣1|=,如图所示.当时,x=,根据图象得(ⅰ)当x<m时,g(x)最大值为m﹣m2;(ⅱ)当时,g(x)最大值为;(ⅲ)当m时,g(x)最大值为m2﹣m.…(8分)(Ⅱ)h(x)=ln(x﹣1)2=2ln|x﹣1|,则h(x+1﹣t)=2ln|x﹣t|,h(2x+2)=2ln|2x+1|,∵当x∈[0,1]时,|2x+1|=2x+1,∴不等式2ln|x﹣t|<2ln|2x+1|恒成立等价于|x﹣t|<2x+1,且x≠t恒成立,由|x﹣t|<2x+1恒成立,得﹣x﹣1<t<3x+1恒成立,∵当x∈[0,1]时,3x+1∈[1,4],﹣x﹣1∈[﹣2,﹣1],∴﹣1<t<1,又∵当x∈[0,1]时,由x≠t恒成立,得t∉[0,1],因此,实数t的取值范围是﹣1<t<0.…(14分)点评本题考查函数最大值的求法,考查实数的取值范围的求法.考查推理论证能力的应用,考查计算推导能力.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 。