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2019-2020年高三数学上学期第一次调考试卷(含解析)一.选择题1.(5分)设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={x|﹣1<x<3},则(∁UA)∩B=()A.{x|﹣1<x<0}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣3<x<0}D.{x|x≥3}2.(5分)函数的图象可能是()A.B.C.D.3.(5分)已知命题p∃x∈R,x﹣2>0,命题q∀x∈R,>x,则下列说法中正确的是()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨(¬q)是假命题D.命题p∧(¬q)是真命题4.(5分)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.B.C.D.65.(5分)△ABC中,若,,则λ=()A.B.C.D.6.(5分)已知角α的终边经过点(﹣8,﹣6)则sin2α=()A.B.C.D.7.(5分)若数列{an}满足a1=﹣﹣1,(n>1),则axx=()A.﹣B.C.D.58.(5分)将函数y=cos2x+sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值为()A.B.C.D.π9.(5分)设,,且tanα=,则下列结论中正确的是()A.2α﹣β=B.2α+β=C.α﹣β=D.α+β=10.(5分)函数y=的图象与函数y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.811.(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),且在上是增函数,在锐角△ABC中,令m=f(sinA+sinB),n=f(cosA+cosC),则m和n的大小关系为()A.m>nB.m<nC.m=nD.不能确定大小二.填空题12.(5分)设i为虚数单位,则(1﹣i)•=.13.(5分)已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点,点B(﹣1,1),O为坐标原点,则的取值范围是.14.(5分)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是米.15.(5分)当x>1时,log2x2+logx2的最小值是.16.(5分)设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和,S1=a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1为反序和,S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn为顺序和.根据排序原理有S1≤S≤S2即反序和≤乱序和≤顺序和.给出下列命题
①数组(2,4,6,8)和(1,3,5,7)的反序和为60;
②若A=++…+,B=x1x2+x2x3+…+xn﹣1xn+xnx1其中x1,x2,…xn都是正数,则A≤B;
③设正实数a1,a2,a3的任一排列为c1,c2,c3则++的最小值为3;
④已知正实数x1,x2,…,xn满足x1+x2+…+xn=P,P为定值,则F=++…++的最小值为.其中所有正确命题的序号为.(把所有正确命题的序号都填上)三.解答题17.(10分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.(Ⅰ)求证MC⊥AB;(文科)(Ⅱ)求三棱锥A1﹣ABP的体积.(理科)(Ⅱ)若点P为CC1的中点,求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.18.(10分)济南高新区引进一高科技企业,投入资金720万元建设基本设施,第一年各种运营费用120万元,以后每年增加40万元;每年企业销售收入500万元,设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?(Ⅱ)若干年后,该企业为开发新产品,有两种处理方案
①年平均利润最大时,以480万元出售该企业;
②纯利润最大时,以160万元出售该企业;问哪种方案最合算?19.(12分)己知二次函数y=f(x)的图象过点(1,﹣4),且不等式f(x)<0的解集是(O,5).(I)求函数f(x)的解析式;(II)设g(x)=x3﹣(4k﹣10)x+5,若函数h(x)=2f(x)+g(x)在上单调递增,在上单调递减,求y=h(x)在上的最大值和最小值..20.(12分)△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,若
(1)求角A;
(2)若函数f(x)=cos2(x+A)﹣sin2(x﹣A)+,求函数f(x)的值域.21.(12分)已知数列{an}的首项a1=1,a2=3,前n项的和为Sn,且Sn+
1、Sn、Sn﹣1(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,,设b1=1,bn+1=log2(an+1)+bn.
(1)判断数列{an+1}是否为等比数列,并证明你的结论.
(2)设,数列{cn}的前n项和为Tn,证明Tn<1.22.(14分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣.(I)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;(II)设g(x)=kx+1,对∀x∈(0,+∞),f(x)≤g(x)恒成立,求实数k的取值范围;(III)设bn=,证明b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N*,n≥2).四川省乐山市xx届高三上学期第一次调考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题1.(5分)设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={x|﹣1<x<3},则(∁UA)∩B=()A.{x|﹣1<x<0}B.{x|0<x<1}C.{x|﹣3<x<0}D.{x|x≥3}考点交、并、补集的混合运算.专题集合.分析由全集U=R,以及A,求出A的补集,找出A补集与B的交集即可.解答解∵全集U=R,集合A={x|x≥0},B={x|﹣1<x<3},∴∁UA={x|x<0},则(∁UA)∩B={x|﹣1<x<0}.故选A.点评此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.(5分)函数的图象可能是()A.B.C.D.考点指数函数的图像变换.专题计算题;函数的性质及应用.分析利用y=﹣的图象与y=图象间的关系即可得到答案.解答解∵指数函数y=为过定点(0,1)的单调递减函数,可排除A,B;又y=﹣的图象是由y=的图象向下平移单位得到的,故y=﹣的图象过(0,),可排除D,故选C.点评本题考查指数函数的单调性质与图象变换,明确y=﹣的图象是将y=的图象向下平移单位得到的是关键,属于中档题.3.(5分)已知命题p∃x∈R,x﹣2>0,命题q∀x∈R,>x,则下列说法中正确的是()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨(¬q)是假命题D.命题p∧(¬q)是真命题考点复合命题的真假.专题简易逻辑.分析容易判断命题p是真命题,q是假命题,所以根据p∨q,p∧q,¬q的真假和p,q的关系即可找出正确选项.解答解∃x∈R,x﹣2>0,即不等式x﹣2>0有解,∴命题p是真命题;x<0时,无解,∴命题q是假命题;∴p∨q为真命题,p∧q是假命题,¬q是真命题,p∨(¬q)是真命题,p∧(¬q)是真命题;∴D正确.故选D.点评考查真命题,假命题的概念,以及p∨q,p∧q,¬q的真假和p,q真假的关系.4.(5分)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.B.C.D.6考点由三视图求面积、体积.专题计算题;压轴题;图表型.分析由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,其高已知,底面正三角形的高为,故先解三角形求出底面积,再由体积公式求解其体积即可.解答解此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是,设底面边长为a,则,∴a=6,故三棱柱体积.故选B点评本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积,本题求的是本棱柱的体积.三视图的投影规则是“主视、俯视长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视宽相等”.三视图是新课标的新增内容,在以后的xx届高考中有加强的可能.5.(5分)△ABC中,若,,则λ=()A.B.C.D.考点平面向量的基本定理及其意义.专题平面向量及应用.分析利用向量的运算法则和向量共线定理即可得出.解答解如图所示,∵,,,∴=.∵,∴λ=.故选B.点评本题考查了向量的运算法则和向量共线定理,属于基础题.6.(5分)已知角α的终边经过点(﹣8,﹣6)则sin2α=()A.B.C.D.考点二倍角的正弦;任意角的三角函数的定义.专题计算题.分析先计算点到原点的距离,再利用三角函数的定义及二倍角公式,即可得到结论.解答解由题意,∴,∴sin2α=2sinαcosα=故选D.点评本题考查三角函数的定义及二倍角公式,正确运用公式是关键.7.(5分)若数列{an}满足a1=﹣﹣1,(n>1),则axx=()A.﹣B.C.D.5考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析由递推公式分别求出数列的前四项,由此推导出{an}是周期为3的周期数列,由此能求出axx.解答解∵数列{an}满足a1=﹣﹣1,(n>1),∴an=1﹣,n>1,∴a2==5,=,a4=1﹣=﹣,∴{an}是周期为3的周期数列,∵xx=671×3+2,∴axx=a2=5.故选D.点评本题考查数列的第xx项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数列的周期性的合理运用.8.(5分)将函数y=cos2x+sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值为()A.B.C.D.π考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题三角函数的图像与性质.分析由两角和的正弦化简y=cos2x+sin2x,平移后由函数为偶函数得到2m+=k,由此可求最小正数m的值.解答解∵y=cos2x+sin2x==2sin(2x+),∴将函数y=cos2x+sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个长度单位后,所得到的图象对应的函数解析式为.∵所得到的图象关于y轴对称,∴为偶函数.即2m+=k,m=.当k=0时,m的最小值为.故选A.点评本题考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象平移,考查了三角函数奇偶性的性质,是基础题.9.(5分)设,,且tanα=,则下列结论中正确的是()A.2α﹣β=B.2α+β=C.α﹣β=D.α+β=考点二倍角的余弦;二倍角的正弦.专题三角函数的求值.分析利用二倍角公式得出,然后分子分母同时除以cosβ,最后由角的范围得出答案即可.解答解.因为,β+∈(,),所以.故选C.点评本题主要考查了二倍角的应用,属于基础题.10.(5分)函数y=的图象与函数y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8考点奇偶函数图象的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象.专题压轴题;数形结合.分析的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得,所以它的图象关于点(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点(1,0),故交点个数为偶数,且每一对对称点的横坐标之和为2.由此不难得到正确答案.解答解函数,y2=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),作出两个函数的图象如图当1<x≤4时,y1<0而函数y2在(1,4)上出现
1.5个周期的图象,在和上是减函数;在和上是增函数.∴函数y1在(1,4)上函数值为负数,且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地,y1在(﹣2,1)上函数值为正数,且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为8故选D点评发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口,讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间(1,4)上的交点个数是本题的难点所在.11.(5分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),且在上是增函数,在锐角△ABC中,令m=f(sinA+sinB),n=f(cosA+cosC),则m和n的大小关系为()A.m>nB.m<nC.m=nD.不能确定大小考点函数奇偶性的性质.专题函数的性质及应用.分析首先根据A、B是锐角三角形的两个内角,结合y=sinx在区间(0,)上是增函数,证出sinA>cosC.然后根据偶函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),可得函数f(x)是周期为4的函数,且f(x)在上是减函数.最后比较大小.解答解∵A、C是锐角三角形的两个内角∴A+C>,可得A>﹣C,∵y=sinx在区间(0,)上是增函数,>A>﹣C>0,∴sinA>sin(﹣C)=cosC,即锐角三角形的两个内角A、C是满足sinA>cosC,同理,sinB>cosA,∴sinA+sinB>cosA+cosC,且(sinA+sinB)∈(0,2)与cosA+cosC∈(0,2),∵函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣=f(x),可得函数f(x)是周期为4的函数.∵f(x)在上是增函数,∴f(x)在上也是增函数,再结合函数f(x)是定义在R上的偶函数,可得f(x)在上是减函数.f(sinA+sinB)<f(cosA+cosC),m<n,故选B点评本题以函数的单调性与奇偶性为例,考查了锐角三角形的性质、函数的定义域与简单性质等知识点,属于中档题.二.填空题12.(5分)设i为虚数单位,则(1﹣i)•=﹣2i.考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析利用复数的运算法则和周期性i4=1即可得出.解答解(1﹣i)•====﹣2i.故答案为﹣2i.点评本题考查了复数的运算法则和周期性,属于基础题.13.(5分)已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点,点B(﹣1,1),O为坐标原点,则的取值范围是.考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析设A(x,y),z==﹣x+y,作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.解答解作出不等式组对应的平面区域如图设A(x,y),z==﹣x+y,由z=﹣x+y,得y=x+z表示,斜率为1纵截距为z的一组平行直线,平移直线y=x+z,当直线y=x+z经过点D时,直线y=x+z的截距最小,此时z最小,当直线y=x+z经过点B时,直线y=x+z的截距最大,此时z最大,由,解得,即B(1,2),此时zmax=﹣1+2=1.由,解得,即D(2,1)此时zmin=﹣2+1=﹣1.故﹣1≤z≤1,故答案为;点评本题主要考查线性规划的基本应用,利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形结合来解决.14.(5分)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是米.考点解三角形的实际应用.专题应用题.分析设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x,从而有,在△BCD中,CD=10,∠BCD=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,由正弦定理可求BC,从而可求x即塔高解答解设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x,从而有,在△BCD中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°由正弦定理可得,可得,=则x=10故答案为点评本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题,结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据,进而选择合适的公式进行求解.15.(5分)当x>1时,log2x2+logx2的最小值是2.考点对数的运算性质.专题函数的性质及应用.分析x>1时,log2x2+logx2=2log2x+logx2≥2=2.解答解∵x>1,∴log2x2+logx2=2log2x+logx2≥2=2,当且仅当2log2x=logx2,即x=时,取等号,∴当x>1时,log2x2+logx2的最小值是2.故答案为.点评本题考查对数值的最小值的求法,是基础题,解题时要注意均值定理的合理运用.16.(5分)设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和,S1=a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1为反序和,S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn为顺序和.根据排序原理有S1≤S≤S2即反序和≤乱序和≤顺序和.给出下列命题
①数组(2,4,6,8)和(1,3,5,7)的反序和为60;
②若A=++…+,B=x1x2+x2x3+…+xn﹣1xn+xnx1其中x1,x2,…xn都是正数,则A≤B;
③设正实数a1,a2,a3的任一排列为c1,c2,c3则++的最小值为3;
④已知正实数x1,x2,…,xn满足x1+x2+…+xn=P,P为定值,则F=++…++的最小值为.其中所有正确命题的序号为
①③.(把所有正确命题的序号都填上)考点命题的真假判断与应用.专题新定义.分析对于
①,利用定义求出数组(2,4,6,8)和(1,3,5,7)的反序和能判断
①的对错;对于
②,不妨设x1≤x2≤…≤xn,由乱序和≤顺序和,得x1x2+x2x3+…+xn﹣1xn+xnx1≤x12+x22+…+xn2,由此能判断
②的对错;对于
③,不妨设a1≥a2≥a3>0,则,由排序原理能判断
③的对错;对于
④,由x1≥x2≥…≥xn>0,则,,由此能判断
④的对错.解答解对于
①,数组(2,4,6,8)和(1,3,5,7)的反序和S1=2×7+4×5+6×3+8×1=60,故
①对;对于
②,不妨设x1≤x2≤…≤xn,由乱序和≤顺序和,得x1x2+x2x3+…+xn﹣1xn+xnx1≤x12+x22+…+xn2,即B≤A,故
②错;对于
③,不妨设a1≥a2≥a3>0,则,由排序原理有≥,所以最小值为3,故
③对;对于
④,由x1≥x2≥…≥xn>0,则,,∴F≥=x1+x2+…+xn=P,故
④错.故答案为
①③.点评本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.三.解答题17.(10分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为4正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.(Ⅰ)求证MC⊥AB;(文科)(Ⅱ)求三棱锥A1﹣ABP的体积.(理科)(Ⅱ)若点P为CC1的中点,求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.考点二面角的平面角及求法;组合几何体的面积、体积问题;直线与平面垂直的性质.专题计算题;作图题;证明题;空间位置关系与距离.分析(Ⅰ)取AB的中点N,连结MN,CN;从而可证CN⊥AB,MN⊥平面ABC,NM⊥AB,从而得证AB⊥平面MNC,从而得证;(文科)(Ⅱ)三棱锥A1﹣ABP的体积可转化为三棱锥P﹣A1AB的体积,从而求值;(理科)(Ⅱ)取AC的中点D,连结BD,作DE⊥AP于点E,连结BE;可证∠BED为二面角B﹣AP﹣C的平面角,在Rt△BED中求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.解答解(Ⅰ)证明取AB的中点N,连结MN,CN;∵底面是正三角形,∴CN⊥AB,又∵M为A1B1的中点,∴MN∥AA1,又∵AA1⊥平面ABC,∴MN⊥平面ABC,∴NM⊥AB,又∵MN∩CN=N,MN⊂平面MNC,CN⊂平面MNC,∴AB⊥平面MNC,又∵MC⊂平面MNC,∴MC⊥AB.(文科)(Ⅱ)三棱锥A1﹣ABP的体积可转化为三棱锥P﹣A1AB的体积,=×4×2=4;h=CN=4×=2,故V=×4×2=8.(理科)(Ⅱ)如图,取AC的中点D,连结BD,作DE⊥AP于点E,连结BE;∵AA1⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴AA1⊥BD,又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面ACP,∴BD⊥AP,又∵DE⊥AP,∴AP⊥平面BDE,∴∠BED为二面角B﹣AP﹣C的平面角,在Rt△BED中,BD=4×=2,DE=×=,BE==,故cos∠BED==.故二面角B﹣AP﹣C的余弦值为.点评本题考查了学生的空间想象力及作图与识图的能力,同时考查了体积的转化,及垂直的应用,属于难题.18.(10分)济南高新区引进一高科技企业,投入资金720万元建设基本设施,第一年各种运营费用120万元,以后每年增加40万元;每年企业销售收入500万元,设f(n)表示前n年的纯收入.(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额)(Ⅰ)从第几年开始获取纯利润?(Ⅱ)若干年后,该企业为开发新产品,有两种处理方案
①年平均利润最大时,以480万元出售该企业;
②纯利润最大时,以160万元出售该企业;问哪种方案最合算?考点数列的应用.专题综合题.分析(Ⅰ)根据第一年各种运营费用120万元,以后每年增加40万元,可知每年的运营费用是以120为首项,40为公差的等差数列,利用f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额,可确立函数的解析式,进而可建立不等式,从而可求从第几年开始获取纯利润.(Ⅱ)
①求出年平均利润,利用基本不等式,可求此方案获利最大值的时间;
②f(n)=﹣20n2+400n﹣720=﹣20(n﹣10)2+1280,利用配方法,求此方案获利最大值的时间,比较即可得出结论.解答解由题意知每年的运营费用是以120为首项,40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为f(n),设.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)(Ⅰ)获取纯利润就是要求f(n)>0,故有﹣20n2+400n﹣720>0,解得2<n<18.又n∈N*,知从第三年开始获取纯利润.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)(Ⅱ)
①年平均利润,当且仅当n=6时取等号.故此方案获利6×160+480=1440(万元),此时n=6.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
②f(n)=﹣20n2+400n﹣720=﹣20(n﹣10)2+1280,当n=10时,f(n)max=1280.故此方案共获利1280+160=1440(万元).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)比较两种方案,在同等数额获利的基础上,第
①种方案只需6年,第
②种方案需要10年,故选择第
①种方案.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)点评本题考查数列模型,考查基本不等式的运用,考查二次函数最值的研究,解题的关键是建立数列模型,选择适当的方法求最值.19.(12分)己知二次函数y=f(x)的图象过点(1,﹣4),且不等式f(x)<0的解集是(O,5).(I)求函数f(x)的解析式;(II)设g(x)=x3﹣(4k﹣10)x+5,若函数h(x)=2f(x)+g(x)在上单调递增,在上单调递减,求y=h(x)在上的最大值和最小值..考点二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值.专题函数的性质及应用.分析
(1)根据函数零点,方程根与不等式解集端点之间的关系,结合二次函数y=f(x)的图象过点(1,﹣4),可求出函数f(x)的解析式;(II)由(I)可求出函数h(x)的解析式(含参数k),进而由函数极大值点为﹣2,求出k值,结合导数法求最值的步骤,可得答案.解答解(Ⅰ)由已知y=f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),可得f(x)=0的两根为0,5,于是设二次函数f(x)=ax(x﹣5),代入点(1,﹣4),得﹣4=a×1×(1﹣5),解得a=1,∴f(x)=x(x﹣5).…(4分)(Ⅱ)h(x)=2f(x)+g(x)=2x(x﹣5)+x3﹣(4k﹣10)x+5=x3+2x2﹣4kx+5,于是h′(x)=3x2+4x﹣4k,∵h(x)在上单调递增,在上单调递减,∴x=﹣2是h(x)的极大值点,∴h′
(2)=3×(﹣2)2+4×(﹣2)﹣4k=0,解得k=1.…(6分)∴h(x)=x3+2x2﹣4x+5,进而得h′(x)=3x2+4x﹣4.令h′(x)=3x2+4x﹣4=0,得x=﹣2,或x=.由下表x(﹣3,﹣2)﹣2(﹣2,)(,1)h′(x)+0﹣0+h(x)↗极大↘极小↗可知h(﹣2)=(﹣2)3+2×(﹣2)2﹣4×(﹣2)+5=13,h
(1)=13+2×12﹣4×1+5=4,h(﹣3)=(﹣3)3+2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+5=8,h()=()3+2×()2﹣4×+5=,∴h(x)的最大值为13,最小值为.…(12分)点评本题考查的知识点是二次函数的性质,函数零点,方程根与不等式解集端点的关系,导数法求函数的极值与最值,其中求出函数h(x)的解析式是解答的关键.20.(12分)△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,若
(1)求角A;
(2)若函数f(x)=cos2(x+A)﹣sin2(x﹣A)+,求函数f(x)的值域.考点余弦定理;正弦定理.专题解三角形.分析
(1)已知等式利用正弦定理化简得到关系式,再利用余弦定理表示出cosA,把得出关系式代入求出cosA的值,即可确定出A的度数;
(2)把A的度数代入f(x),利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用二次函数的性质及余弦函数的值域确定出f(x)值域即可.解答解
(1)由=,得=,即a2=b2+c2﹣bc,∴cosA==,∵A为三角形内角,∴A=;
(2)由
(1)得f(x)=cos2(x+)﹣sin2(x﹣)+cosx=﹣+cosx=﹣cos2x+cosx=﹣cos2x+cosx+=﹣t2+t+,其中t=cosx∈(≤x≤π),由图象可得当t=﹣1时,fmin(x)=﹣1,当t=时,fmax(x)=,则f(x)的值域为.点评此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦、余弦函数公式,二次函数的性质,以及余弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.21.(12分)已知数列{an}的首项a1=1,a2=3,前n项的和为Sn,且Sn+
1、Sn、Sn﹣1(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,,设b1=1,bn+1=log2(an+1)+bn.
(1)判断数列{an+1}是否为等比数列,并证明你的结论.
(2)设,数列{cn}的前n项和为Tn,证明Tn<1.考点数列递推式;等比关系的确定;数列的求和.专题计算题;证明题.分析
(1)用Sn+
1、Sn、Sn﹣1表示出和进而根据题意求得推断出an+1+1=2(an+1)根据等比数列的定义判断出数列{an+1}是等比数列.
(2)把
(1)中求得an代入题设,求得bn的表达式,进而可求得Cn,进而用裂项法求得答案.解答
(1)解判断数列{an+1}为等比数列,证明如下由题意Sn+
1、Sn、Sn﹣1(n≥2)分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,,得∴an+1+1=2(an+1)(n≥2),又∵a1=1,a2=3∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列.则an+1=2n∴an=2n﹣1(n∈N*)]
(2)证明由an=2n﹣1及bn+1=log2(an+1)+bn得bn+1=bn+n,∴,则=,数列{cn}的前n项和为Tn为=.点评本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项公式以及裂项法求和.22.(14分)已知函数f(x)=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣.(I)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;(II)设g(x)=kx+1,对∀x∈(0,+∞),f(x)≤g(x)恒成立,求实数k的取值范围;(III)设bn=,证明b1+b2+…+bn<1+ln2(n∈N*,n≥2).考点导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题综合题;导数的综合应用.分析(Ⅰ)求导数,利用函数f(x)=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣,可确定a的值,利用导数的正负,可得函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)∀x∈(0,+∞),f(x)≤g(x),即lnx﹣(k+1)x≤0恒成立,构造函数h(x)=lnx﹣(k+1)x,利用h(x)max≤0,即可求得k的取值范围;(Ⅲ)先证明当n≥2时,有ln(n+1)<n,再利用放缩法,裂项法,即可证得结论.解答(Ⅰ)解由已知(x>0),∵函数f(x)=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣.∴,∴a=1.∴,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).…(5分)(Ⅱ)解∀x∈(0,+∞),f(x)≤g(x),即lnx﹣(k+1)x≤0恒成立,设h(x)=lnx﹣(k+1)x,有.
①当k+1≤0,即k≤﹣1时,h′(x)>0,此时h
(1)=ln1﹣(k+1)≥0与h(x)≤0矛盾.
②当k+1>0,即k>﹣1时,令h′(x)=0,解得,∴,h′(x)>0,h(x)为增函数,,h′(x)<0,h(x)为减函数,∴h(x)max=h()=ln﹣1≤0,即ln(k+1)≥﹣1,解得k≥.综合k>﹣1,知k≥.∴综上所述,k的取值范围为[,+∞).…(10分)(Ⅲ)证明由(Ⅰ)知f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,∴f(x)≤f
(1)=0,∴lnx≤x﹣1.当n=1时,b1=ln(1+1)=ln2,当n≥2时,有ln(n+1)<n,∵bn=<=<=,∴b1+b2+…+bn<b1+()+…+()=ln2+(1﹣)<1+ln2.…(14分)点评本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。