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2019-2020年高三数学上学期第三次质检试卷文(含解析)
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知复数Z满足(1+i)Z=1﹣i,则复数Z的共轭复数=A.﹣iB.iC.1+iD.1﹣i考点复数代数形式的乘除运算.专题计算题.分析由题意可得z===﹣i,再根据共轭复数的定义求出结果.解答解∵复数Z满足(1+i)Z=1﹣i,∴z===﹣i,∴=i,故选B.点评本题主要考查两个复数代数形式的除法,属于基础题.2.已知集合M={x|x2﹣2x﹣3=0},N={x|﹣2<x≤4},则M∩N=A.{x|﹣1<x≤3}B.{x|﹣1<x≤4}C.{﹣3,1}D.{﹣1,3}考点交集及其运算.专题计算题.分析求出集合M中方程的解,确定出集合M,找出集合M与集合N的公共元素,即可求出两集合的交集.解答解由集合M中的方程x2﹣2x﹣3=0变形得(x﹣3)(x+1)=0,解得x=3或x=﹣1,∴M={﹣1,3},又N={x|﹣2<x≤4},∴M∩N={﹣1,3}.故选D点评此题考查了交集及其运算,以及一元二次方程的解法,是一道比较简单的基本题.3.函数f(x)=x+的单调递减区间是A.(﹣1,1)B.(﹣1,0)∪(0,1)C.(﹣1,0),(0,1)D.(﹣ω,﹣1),(1,+ω)考点利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明.专题计算题.分析求出函数f(x)=x+的导数,再令f(x)<0,得到的解集即为函数f(x)的单调递减区间,得到本题的答案.解答解函数f(x)=x+的导数为f(x)=1﹣令f(x)<0,得1﹣<0,所以﹣1<x<0或0<x<1因此函数的单调减区间为(﹣1,0)和(0,1)故选C点评本题给出函数f(x)=x+,求f(x)的单调递减区间,着重考查了利用导数研究函数单调性的知识点,属于基础题.4.若向量,满足||=||=2,与的夹角为60°,则|+|=A.2B.2C.4D.12考点平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题计算题.分析根据题意,算出•的值,进而算出|+|2的值,再开方得到|+|的值,得到答案.解答解∵==2,夹角为60°,∴•=•cos60°=2,∴|+|2=2+2•+2=4+4+4=12,可得|+|=2故选B点评本题给出夹角为60度的两个向量长度均为2,求它们和的长度,着重考查了平面向量数量积的定义和模的性质等知识,属于基础题.5.若a<b<0,则有A.<B.0<<1C.b2>a2D.|a|>﹣b考点不等式的基本性质.专题不等式的解法及应用.分析由a<b<0,可得|a|>|b|=﹣b.解答解∵a<b<0,∴|a|>|b|=﹣b.故选D.点评本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.6.若函数的最小正周期为π,为了得到函数f(x)的图象,只要将y=sin2x的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度考点由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题计算题.分析利用已知条件求出ω,得到函数的解析式,然后利用左加右减的原则,确定平移的方向与单位.解答解因为函数的最小正周期为π,所以ω=,所以函数的解析式为,为了得到函数f(x)的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移个单位长长度即可.故选C.点评本题考查函数的解析式的求法,函数的图象的变换,考查计算能力.7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2﹣Sk=24,则k=A.8B.7C.6D.5考点等差数列的前n项和.专题计算题.分析先由等差数列前n项和公式求得Sk+2,Sk,将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解.解答解根据题意Sk+2=(k+2)2,Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24转化为(k+2)2﹣k2=24∴k=5故选D点评本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用,同时还考查了方程思想,属中档题.8.若实数x,y满足,则z=2x+3y的最大值是A.0B.C.2D.3考点简单线性规划.分析先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+3y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.解答解先根据约束条件画出可行域,当直线z=2x+3y过点A(0,1)时,z最大是3,故选D.点评本小题主要考查线性规划问题,以及利用几何意义求最值,属于基础题.9.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对应边的边长,若的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点正弦定理;充要条件.专题计算题.分析利用正弦定理求出sinB=b•求出B的值,判定两个命题的关系.解答解由正弦定理可知=∴sinB=b•=×=∵0<B<180°∴B=60°或120°∴若a=1,b=,A=30°则B=60°或120°∠B=60°不能推出a=1,b=,A=30°故选D点评本题考查了正弦定理和充要条件,要熟练掌握正弦定理,属于基础题.10.数列{an}的通项公式an=,则该数列的前项之和等于9.A.98B.99C.96D.97考点数列的求和.分析先将分母有理化,再利用叠加法可求和,进而可得结论解答解∵an=,∴an=,∴∴,∴n=99故选B.点评本题的考点是数列求和,解题的关键是对通项的化简,进而利用叠加法.11.已知函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是A.B.C.D.考点指数函数的图像变换.专题数形结合.分析由已知中函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象,我们易判断出a,b与0,±1的关系,根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换,我们分析四个答案中函数的图象,即可得到结论.解答解由已知中函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象可得b<﹣1<0<a<1则函数g(x)=ax+b为减函数,即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评本题考查的知识点是指数函数的图象变换,其中根据已知判断出a,b与0,±1的关系,进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键.12.已知函数f(x)=ex﹣1,g(x)=﹣x2+4x﹣3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为A.B.(2﹣,2+)C.[1,3]D.(1,3)考点函数的零点与方程根的关系.专题计算题;压轴题.分析利用f(a)=g(b),整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可.解答解∵f(a)=g(b),∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=ea>0即b2﹣4b+2<0,求得2﹣<b<2+故选B点评本题主要考查了函数的零点与方程根的关系.
二、填空题本大题共2小题,每小题5分,满分10分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上(必做题11--14题,选做题15题)13.公差不为0的等差数列{an}中,a2,a3,a6依次成等比数列,则此公比等于3.考点等比数列的性质;等差数列的通项公式.专题计算题.分析设公差为d,由题意可得=(a1+d)(a1+5d),解得d=﹣2a1,由此求得公比=的值.解答解设公差不为0的等差数列{an}的公差为d,∵a2,a3,a6依次成等比数列,∴=(a1+d)(a1+5d),解得d=﹣2a1.此公比等于===3,故答案为3.点评本题主要考查等比数列的定义和性质,等差数列的通项公式,属于中档题.14.如果log2x+log2y=1,则x+2y的最小值是4.考点基本不等式;对数的运算性质.专题计算题.分析由条件可得x>0,y>0,且xy=2,利用基本不等式求出x+2y的最小值.解答解如果log2x+log2y=1,可得log2xy=1,x>0,y>0,且xy=2.则x+2y≥2=4,当且仅当x=2y时,等号成立.故答案为4.点评本题主要考查对数运算法则和基本不等式的综合问题,得到xy=2是解题的关键,属于基础题.
三、选做题(共2小题,每小题5分,满分10分)15.过点p(﹣4,0)作曲线y=xex的切线,则切线方程为x+e2y+4=0.考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用.分析设出切点坐标,根据坐标表示出切线的斜率,然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率,两者相等即可求出切点的横坐标,把横坐标代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率,根据斜率和切点坐标写出切线方程即可.解答解点P(﹣4,0)不为切点,可设出切点M(m,n),则n=mem,
①又y′=ex+xex,则切线的斜率为k=(1+m)em,又k=,
②由
①②得,m=﹣2,n=﹣2e﹣2,k=﹣e﹣2,故切线方程为y﹣0=﹣e﹣2(x+4),即x+e2y+4=0.故答案为x+e2y+4=0.点评本题考查切线斜率与导函数的关系,要求会利用导数研究曲线上某点的切线方程,以及会根据斜率和一点写出直线的方程.16.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a=.考点由三视图求面积、体积.专题立体几何.分析该几何体是放倒的三棱柱,依据所给数据求解即可.解答解由已知可知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为a的等腰三角形,所以有.故答案为点评本小题考查三视图、三棱柱的体积,基础题.本试题考查了简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力.
三、解答题本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A为锐角,记角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量=(cosA,sinA),=(cosA,﹣sinA),且与的夹角为.
(1)求•的值及角A的大小;
(2)若a=,c=,求△ABC的面积S.考点解三角形;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题计算题;解三角形.分析
(1)通过向量的数量积的坐标运算以及向量的数量积,求出A的大小即可.
(2)通过余弦定理求出b,然后通过面积公式求出结果即可.解答解
(1)因为,||=1,,∴,∴又,所以cos2A=.因为角A为锐角,∴2A=,A=
(2)因为a=,c=,A=,及a2=b2+c2﹣2bccosA,∴7=b2+3﹣3b,即b=﹣1(舍去)或b=4故S=点评本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念,以及用正弦或余弦定理解三角形,三角形的面积公式,考查了简单的数学运算能力.18.设数列{an}满足a1=1,an=
(1)求a
2、a
3、a
4、a5;猜想数列的通项公式an
(2)设bn={anan+1},求数列{bn}的前n项和Sn.18或者换成数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an﹣1).
(1)证明数列{an}是等比数列;
(2)求an及Sn.考点数列递推式;数列的求和.专题点列、递归数列与数学归纳法.分析
(1)直接由数列递推式求得a
2、a
3、a
4、a5并猜想数列的通项公式an;
(2)直接利用裂项相消法求数列的和;
(1)在数列递推式中取n=1求得首项,取n=n﹣1得另一递推式,作差后可证得数列{an}是等比数列;
(2)直接由等比数列的通项公式和前n项和公式得答案.解答解
(1)由a1=1,an=,得.猜测;
(2),∴{bn}的前n项和Sn=.或
(1)证明由Sn=(an﹣1),得,即.当n≥2时,,两式作差得,即(n≥2).∴数列{an}是以为首项,﹣为公比的等比数列;
(2);.点评本题考查了由数列递推式求数列的项,考查了裂项相消法求数列的和,考查了等比关系的确定,考查了等比数列的通项公式和前n项和,是中档题.19.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣,(x∈R)
(1)当x∈[﹣,]时,求函数f(x)的最小值和最大值;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,求a,b的值.考点余弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.专题综合题;解三角形.分析
(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式,根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值;
(2)根据C的范围和f(C)=0可求出角C的值,再根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0,再由正弦定理可得b=2a,最后再由余弦定理得到a与b的等式,解方程组可求出a,b的值.解答解
(1)函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin(2x﹣)﹣1,∵x∈[﹣,]∴2x﹣∈[﹣,]则sin(2x﹣)∈[﹣,1]∴函数f(x)的最小值为﹣﹣1和最大值0;
(2)∵f(C)=sin(2C﹣)﹣1=0,即sin(2C﹣)=1,又∵0<C<π,﹣<2C﹣<,∴2C﹣=,∴C=.∵向量=(1,sinA)与=(2,sinB)共线,∴sinB﹣2sinA=0.由正弦定理,得b=2a,
①∵c=,由余弦定理得3=a2+b2﹣2abcos,
②解方程组
①②,得a=1,b=2.点评本题主要考查了两角和与差的逆用,以及余弦定理的应用,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.20.在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12.q=(Ⅰ)求an与bn;(Ⅱ)设数列{cn}满足cn=,求的{cn}的前n项和Tn.考点等差数列与等比数列的综合;数列的求和.专题计算题.分析(Ⅰ)根据条件列出关于公差和公比的方程组,解方程即可求出公差和公比,进而求出通项;(Ⅱ)对通项化简,利用裂项法求和,即可得到数列的前n项和.解答解(Ⅰ)设{an}的公差为d,因为所以b2+b2q=12,即q+q2=12,∴q=3或q=﹣4(舍),b2=3,s2=9,a2=6,d=3.故an=3+3(n﹣1)=3n,.(Ⅱ)因为=,所以cn=,故Tn=.点评本题考查数列的通项与求和,考查等差数列与等比数列的综合,考查裂项法求数列的和,属于中档题.21.已知函数f(x)=x﹣alnx,g(x)=﹣,(a∈R).(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),求函数h(x)的单调区间;(Ⅲ)若在[1,e](e=
2.718…)上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围.考点利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题计算题;压轴题;分类讨论;转化思想.分析(Ⅰ)先求出其导函数,让其大于0求出增区间,小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f(x)的极值;(Ⅱ)先求出函数h(x)的导函数,分情况讨论让其大于0求出增区间,小于0求出减区间即可得到函数的单调区间;(Ⅲ)先把f(x0)<g(x0)成立转化为h(x0)<0,即函数在[1,e]上的最小值小于零;再结合(Ⅱ)的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围.解答解(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=x﹣lnx,,x(0,1)1(1,+∞)f(x)﹣0+f(x)极小所以f(x)在x=1处取得极小值1.(Ⅱ),
①当a+1>0时,即a>﹣1时,在(0,1+a)上h(x)<0,在(1+a,+∞)上h(x)>0,所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)上单调递增;
②当1+a≤0,即a≤﹣1时,在(0,+∞)上h(x)>0,所以,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.(III)在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,即在[1,e]上存在一点x0,使得h(x0)<0,即函数在[1,e]上的最大值小于零.由(Ⅱ)可知
①即1+a≥e,即a≥e﹣1时,h(x)在[1,e]上单调递增,所以h(x)的最小值为h(e),由可得,因为,所以;
②当1+a≤1,即a≤0时,h(x)在[1,e]上单调递增,所以h(x)最小值为h
(1),由h
(1)=1+1+a<0可得a<﹣2;
③当1<1+a<e,即0<a<e﹣1时,可得h(x)最小值为h(1+a),因为0<ln(1+a)<1,所以,0<aln(1+a)<a故h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)>2此时,h(1+a)<0不成立.综上讨论可得所求a的范围是或a<﹣2.点评本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值.在利用导函数来研究函数的极值时,分三步
①求导函数,
②求导函数为0的根,
③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数取极大值;若左负右正,原函数取极小值.
六、选修4-1几何证明选讲解答题(共1小题,满分10分)22.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于D,DE⊥AC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.(Ⅰ)求证DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若,求的值.考点圆的切线的判定定理的证明;相似三角形的判定;相似三角形的性质.专题证明题.分析(Ⅰ)根据OA=OD,得到∠ODA=∠OAD,结合AD是∠BAC的平分线,得到∠OAD=∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE.再根据DE⊥AE,得到DE⊥OD,结合圆的切线的判定定理,得到DE是⊙O的切线.(II)连接BC、DB,过D作DH⊥AB于H,因为AB是⊙O的直径,所以在Rt△ACB中,求出,再利用OD∥AE,所以∠DOH=∠CAB,得到Rt△HOD中,=.设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,用勾股定理,在Rt△HOD中算出DH=4x,再在Rt△HAD中,算出AD2=80x2.最后利用△ADE∽△ADB,得到AD2=AE•AB=AE•10x,从而AE=8x,再结合△AEF∽△ODF,得出.解答证明(Ⅰ)连接OD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE…又∵DE⊥AE,∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线.…(Ⅱ)连接BC、DB,过D作DH⊥AB于H,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,Rt△ABC中,∵OD∥AE,∴∠DOH=∠CAB,∴.∵Rt△HOD中,,∴,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,∴Rt△HOD中,DH==4x,AH=AO+OH=8x,Rt△HAD中,AD2=AH2+DH2=80x2…∵∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°∴△ADE∽△ADB,可得,∴AD2=AE•AB=AE•10x,而AD2=80x2∴AE=8x又∵OD∥AE,∴△AEF∽△ODF,可得…点评本题以角平分线和圆中的垂直线段为载体,通过证明圆的切线和求线段的比,考查了相似三角形的性质、相似三角形的判定、圆的切线的判定定理等知识点,属于中档题.
七、选修4-4坐标系与参数方程23.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建极坐标系,已知曲线Cρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为,直线l与曲线C分别交于M,N.
(1)写出曲线C和直线L的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.考点直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.专题直线与圆.分析
(1)把极坐标方程两边同时乘以ρ后,代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案;由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角,求出斜率后直接写出直线的点斜式方程;
(2)把直线的参数方程代入抛物线方程,由|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a的值.解答解
(1)由ρsin2θ=2acosθ,得ρ2sin2θ=2aρcosθ,即y2=2ax;由,可知直线过(﹣2,﹣4),且倾斜角为,∴直线的斜率等于1,∴直线方程为y+4=x+2,即y=x﹣2;
(2)直线l的参数方程为(t为参数),代入y2=2ax得到,则有,因为|MN|2=|PM|•|PN|,所以,即8(4+a)2=5×8(4+a).解得a=1.点评本题考查了直线的参数方程,考查了简单曲线的极坐标方程,训练了等比数列性质的应用,是中档题.
八、选修4-5不等式选讲24.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|a﹣1|的解集非空,求实数a的取值范围.考点带绝对值的函数;其他不等式的解法.专题计算题;压轴题.分析(Ⅰ)不等式等价于
①,或
②,或
③.分别求出这3个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)由绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值等于4,故有|a﹣1|>4,解此不等式求得实数a的取值范围.解答解(Ⅰ)不等式f(x)≤6即|2x+1|+|2x﹣3|≤6,∴
①,或
②,或
③.解
①得﹣1≤x<﹣,解
②得﹣≤x≤,解
③得<x≤2.故由不等式可得,即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4,即f(x)的最小值等于4,∴|a﹣1|>4,解此不等式得a<﹣3或a>5.故实数a的取值范围为(﹣∞,﹣3)∪(5,+∞).点评本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来解.体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.。