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2019-2020年高三数学上学期第五次调考试卷理(含解析)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x|﹣1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B=( ) A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{2}D.{﹣1,0,1,2,3} 2.已知复数1﹣i=(i为虚数单位),则z等于( ) A.﹣1+3iB.﹣1+2iC.1﹣3iD.1﹣2i 3.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a10=16,则a6=( ) A.1B.2C.4D.8 4.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为( ) A.8万元B.10万元C.12万元D.15万 5.命题甲f(x)是R上的单调递增函数;命题乙∃x1<x2,f(x1)<f(x2).则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 6.运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于3,则t的取值范围为( ) A.B.C.D. 7.为得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m﹣n|的最小值是( ) A.B.C.D. 8.如图,=,=,且BC⊥OA,C为垂足,设=λ,则λ的值为( ) A.B.C.D. 9.已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x﹣y的最大值是( ) A.6B.0C.2D.2 10.将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)模型,如图2放置,若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3),则正四棱锥的体积是( ) A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3 11.已知O为原点,双曲线﹣y2=1上有一点P,过P作两条渐近线的平行线,交点分别为A,B,平行四边形OBPA的面积为1,则双曲线的离心率为( ) A.B.C.D. 12.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣,0)B.(0,)C.(﹣,)D.(﹣,0)或(0,)
二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.二项式(﹣)5的展开式中常数项为 (用数字作答) 14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f
(2)=1且对任意x∈R都有f(x+3)=f(x),则f(xx)= . 16.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,等比数列{bn}中,b1=a1,b4=a3+1,记集合A={x|x=an,n∈N},B={x|x=b,n∈N},U=A∪B,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列{cn},则数列{cn}的前50项和S50= .
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为2,则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为 . 17.在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC
(1)求cosA的值
(2)若a=1,,求边c的值. 18.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表作物产量(kg)300500概率
0.
50.5作物市场价格(元/kg)610概率
0.
40.6(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率. 19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形A1ABB1为菱形,∠A1AB=45°,四边形BCC1B1为矩形,若AC=5,AB=4,BC=3
(1)求证AB1⊥面A1BC;
(2)求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值. 20.以椭圆C=1(a>b>0)的中心O为圆心,以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C及其“伴随”的方程;
(2)过点P(0,m)作“伴随”的切线l交椭圆C于A,B两点,记△AOB(O为坐标原点)的面积为S△AOB,将S△AOB表示为m的函数,并求S△AOB的最大值. 21.设函数f(x)=x2+aln(x+1)(a为常数)(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证. 选修题请考生在第
(22)、
(23)
(24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1几何证明选讲22.如图所示,圆O的直径为BD,过圆上一点A作圆O的切线AE,过点D作DE⊥AE于点E,延长ED与圆O交于点C.
(1)证明DA平分∠BDE;
(2)若AB=4,AE=2,求CD的长. xx•南昌校级模拟)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围. xx•南昌校级二模)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a(Ⅰ)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);(Ⅱ)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围. xx学年河北省衡水中学高三(上)第五次调考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x|﹣1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B=( ) A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{2}D.{﹣1,0,1,2,3}考点并集及其运算.专题计算题.分析把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起,得到集合A∪B.由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},能求出A∪B.解答解∵集合A={x|﹣1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},集合B={2,3},∴A∪B={0,1,2,3}.故选B.点评本题考查集合的并集的定义及其运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意并集中相同的元素只写一个. 2.已知复数1﹣i=(i为虚数单位),则z等于( ) A.﹣1+3iB.﹣1+2iC.1﹣3iD.1﹣2i考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析利用复数的运算法则即可得出.解答解∵复数1﹣i=,∴==﹣1+3i.故选A.点评本题考查了复数定义是法则,属于基础题. 3.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a10=16,则a6=( ) A.1B.2C.4D.8考点等比数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析由题意结合等比数列的性质可得a7=4,由通项公式可得a6.解答解由题意可得=a4a10=16,又数列的各项都是正数,故a7=4,故a6===2故选B点评本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 4.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为( ) A.8万元B.10万元C.12万元D.15万考点频率分布直方图.专题计算题;概率与统计.分析由频率分布直方图得
0.4÷
0.1=4,也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍.解答解由频率分布直方图得
0.4÷
0.1=4∴11时至12时的销售额为3×4=12故选C点评本题考查频率分布直方图,关键是注意纵坐标表示频率比组距,属于基础题. 5.命题甲f(x)是R上的单调递增函数;命题乙∃x1<x2,f(x1)<f(x2).则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题规律型.分析根据函数单调性的定义和性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.解答解根据函数单调性的定义可知,若f(x)是R上的单调递增函数,则∀x1<x2,f(x1)<f(x2)成立,∴命题乙成立.若∃x1<x2,f(x1)<f(x2).则不满足函数单调性定义的任意性,∴命题甲不成立.∴甲是乙成立的充分不必要条件.故选A.点评本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键,比较基础. 6.运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于3,则t的取值范围为( ) A.B.C.D.考点循环结构.专题计算题.分析第一次执行循环结构n←0+2,第二次执行循环结构n←2+2,第三次执行循环结构n←4+2,此时应终止循环结构.求出相应的x、a即可得出结果.解答解第一次执行循环结构n←0+2,x←2×t,a←2﹣1;∵n=2<4,∴继续执行循环结构.第二次执行循环结构n←2+2,x←2×2t,a←4﹣1;∵n=4=4,∴继续执行循环结构,第三次执行循环结构n←4+2,x←2×4t,a←6﹣3;∵n=6>4,∴应终止循环结构,并输出38t.由于结束时输出的结果不小于3,故38t≥3,即8t≥1,解得t.故答案为B.点评理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键.属于基础题. 7.为得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m﹣n|的最小值是( ) A.B.C.D.考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题三角函数的图像与性质.分析依题意得m=2k1π+,n=2k2π+(k
1、k2∈N),于是有|m﹣n|=|2(k1﹣k2)π﹣|,从而可求得|m﹣n|的最小值.解答解由条件可得m=2k1π+,n=2k2π+(k
1、k2∈N),则|m﹣n|=|2(k1﹣k2)π﹣|,易知(k1﹣k2)=1时,|m﹣n|min=.故选B.点评本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,得到|m﹣n|=|2(k1﹣k2)π﹣|是关键,考查转化思想. 8.如图,=,=,且BC⊥OA,C为垂足,设=λ,则λ的值为( ) A.B.C.D.考点平面向量数量积的运算.分析利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答解=﹣,,∴,∴即===0∴λ=故选项为A点评向量垂直的充要条件. 9.已知P(x,y)为区域内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=2x﹣y的最大值是( ) A.6B.0C.2D.2考点简单线性规划.专题数形结合;不等式的解法及应用.分析由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为4的a值,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.解答解由作出可行域如图,由图可得A(a,﹣a),B(a,a),由,得a=2.∴A(2,﹣2),化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,∴当y=2x﹣z过A点时,z最大,等于2×2﹣(﹣2)=6.故选A.点评本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 10.将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)模型,如图2放置,若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3),则正四棱锥的体积是( ) A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3考点棱柱、棱锥、棱台的体积.专题空间位置关系与距离.分析根据图形正四棱锥的正视图是正三角形,正视图的底面边长为a,高为a,正四棱锥的斜高为a,运用图1得出;×6=,a=2,计算计算出a,代入公式即可.解答解∵正四棱锥的正视图是正三角形,正视图的底面边长为a,高为a,∴正四棱锥的斜高为a,∵图1得出∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=,a=2,∴正四棱锥的体积是a2×a=,故选A点评本题综合考查了空间几何体的性质,展开图与立体图的结合,需要很好的空间思维能力,属于中档题. 11.已知O为原点,双曲线﹣y2=1上有一点P,过P作两条渐近线的平行线,交点分别为A,B,平行四边形OBPA的面积为1,则双曲线的离心率为( ) A.B.C.D.考点双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析求出|OA|,P点到OA的距离,利用平行四边形OBPA的面积为1,求出a,可得c,即可求出双曲线的离心率.解答解渐近线方程是x±ay=0,设P(m,n)是双曲线上任一点,过P平行于OB x+ay=0的方程是x+ay﹣m﹣an=0与OA方程x﹣ay=0交点是A(,),|OA|=||,P点到OA的距离是d=∵|OA|•d=1,∴||•=1,∵,∴a=2,∴c=,∴e=.故选C.点评本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础. 12.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣,0)B.(0,)C.(﹣,)D.(﹣,0)或(0,)考点根的存在性及根的个数判断.专题计算题;作图题;函数的性质及应用.分析由题意,关于x的方程f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题,从而作图解答.解答解直线y=x﹣a与函数f(x)=ex﹣1的图象在x≥0处有一个切点,切点坐标为(0,0);此时a=0;直线y=|x﹣a|与函数y=﹣x2﹣2x的图象在x<0处有两个切点,切点坐标分别是(﹣,)和(﹣,);此时相应的a=,a=﹣;观察图象可知,方程f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根时,实数a的取值范围是(﹣,0)或(0,);故选D.点评本题考查了函数的图象与方程的根的关系,属于中档题.
二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.二项式(﹣)5的展开式中常数项为 ﹣10 (用数字作答)考点二项式系数的性质.专题二项式定理.分析先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值.解答解二项式(﹣)5的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,令=0,求得r=3,可得展开式中常数项为﹣=﹣10,故答案为﹣10.点评本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题. 14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f
(2)=1且对任意x∈R都有f(x+3)=f(x),则f(xx)= 1 .考点函数奇偶性的性质.专题计算题;函数的性质及应用.分析由f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为3的周期函数.可得f(xx)=f
(1)=f(﹣2),再由偶函数的定义,结合条件,即可得到所求值.解答解由f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为3的周期函数.所以f(xx)=f(671×3+1)=f
(1)=f(3﹣2)=f(﹣2)由于f(x)是定义在R上的偶函数,则有f(﹣2)=f
(2)=1.故答案为1.点评本题考查函数的奇偶性和周期性的运用求函数值,考查运算能力,属于基础题. 16.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,等比数列{bn}中,b1=a1,b4=a3+1,记集合A={x|x=an,n∈N},B={x|x=b,n∈N},U=A∪B,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列{cn},则数列{cn}的前50项和S50= 3321 .考点数列的求和.专题等差数列与等比数列.分析由已知得bn=2n﹣1.数列{an}的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148},数列{bn}的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2,8,32,128这4项.由此能求出S50.解答解设等比数列{bn}的公比为q,∵b1=a1=1,b4=a3+1=8,则q3=8,∴q=2,∴bn=2n﹣1.根据数列{an}和数列{bn}的增长速度,数列{cn}的前50项至多在数列{an}中选50项,数列{an}的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148},由2n﹣1<148得,n≤8,数列{bn}的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中1,4,16,64是等差数列{an}中的项,2,8,32,128不是等差数列中的项,a46=136>128,∴数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2,8,32,128这4项.∴S50=+2+8+32+128=3321.故答案为3321.点评本题考查数列的前50项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为2,则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为 3π .考点棱柱、棱锥、棱台的体积.专题综合题;空间位置关系与距离.分析根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长,再根据棱长求出高,设内切球的球心为O,半径为r,连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等,然后根据等积法计算得到半径r,再由球的表面积公式计算即可得到.解答解根据题意几何体为正三棱锥,如图,设棱长为a,PD=a,OD=a,OP==a.则OD+PD=a+a=a=2⇒a=3,V棱锥=×a2×a=9,设内切球的球心为O,半径为r,连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等,即为4××a2r=×18r=6r.由等积法,可得,9=6r,解得,r=.则内切球的表面积为S=4πr2=3π.故答案为3π.点评本题主要考查球的表面积的求法,考查等积法的运用,考查三棱锥的体积公式的运用,考查运算能力,属于中档题. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC
(1)求cosA的值
(2)若a=1,,求边c的值.考点正弦定理;同角三角函数基本关系的运用.专题计算题.分析
(1)利用正弦定理分别表示出cosB,cosC代入题设等式求得cosA的值.
(2)利用
(1)中cosA的值,可求得sinA的值,进而利用两角和公式把cosC展开,把题设中的等式代入,利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值,最后利用正弦定理求得c.解答解
(1)由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2;2abcosc=a2+b2﹣c2;代入3acosA=ccosB+bcosC;得cosA=;
(2)∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC
③又已知cosB+cosC=代入
③cosC+sinC=,与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=已知a=1正弦定理c===点评本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用.考查了基础知识的综合运用. 18.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表作物产量(kg)300500概率
0.
50.5作物市场价格(元/kg)610概率
0.
40.6(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率.考点离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式.专题概率与统计.分析(Ⅰ)分别求出对应的概率,即可求X的分布列;(Ⅱ)分别求出3季中有2季的利润不少于xx元的概率和3季中利润不少于xx元的概率,利用概率相加即可得到结论.解答解(Ⅰ)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,则P(A)=
0.5,P(B)=
0.4,∵利润=产量×市场价格﹣成本,∴X的所有值为500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=xx,300×10﹣1000=xx,300×6﹣1000=800,则P(X=4000)=P()P()=(1﹣
0.5)×(1﹣
0.4)=
0.3,P(X=xx)=P()P(B)+P(A)P()=(1﹣
0.5)×
0.4+
0.5(1﹣
0.4)=
0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=
0.5×
0.4=
0.2,则X的分布列为X4000xx800P
0.
30.
50.2(Ⅱ)设Ci表示事件“第i季利润不少于xx元”(i=1,2,3),则C1,C2,C3相互独立,由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=xx)=
0.3+
0.5=
0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于xx的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=
0.83=
0.512,3季的利润有2季不少于xx的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×
0.82×
0.2=
0.384,综上这3季中至少有2季的利润不少于xx元的概率为
0.512+
0.384=
0.896.点评本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算,考查学生的计算能力. 19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形A1ABB1为菱形,∠A1AB=45°,四边形BCC1B1为矩形,若AC=5,AB=4,BC=3
(1)求证AB1⊥面A1BC;
(2)求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值.考点与二面角有关的立体几何综合题.专题综合题;空间位置关系与距离;空间角.分析
(1)证明AB1⊥面A1BC,只需证明AB1⊥A1B,CB⊥AB1,证明CB⊥平面AA1B1B,利用四边形A1ABB1为菱形可证;
(2)过B作BD⊥AA1于D,连接CD,证明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角,求出DB,CD,即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值.解答
(1)证明在△ABC中AC=5,AB=4,BC=3,所以∠ABC=90°,即CB⊥AB,又因为四边形BCC1B1为矩形,所以CB⊥BB1,因为AB∩BB1=B,所以CB⊥平面AA1B1B,又因为AB1⊂平面AA1B1B,所以CB⊥AB1,又因为四边形A1ABB1为菱形,所以AB1⊥A1B,因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC;
(2)解过B作BD⊥AA1于D,连接CD因为CB⊥平面AA1B1B,所以CB⊥AA1,因为CB∩BD=B,所以AA1⊥面BCD,又因为CD⊂面BCD,所以AA1⊥CD,所以,∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角.在直角△ADB中,AB=4,∠DAB=45°,∠ADB=90°,所以DB=2在直角△CDB中,DB=2,CB=3,所以CD=,所以cos∠CDB==.点评本题考查线面垂直的判定,考查面面角,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面垂直的判定,作出面面角是关键. 20.以椭圆C=1(a>b>0)的中心O为圆心,以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C及其“伴随”的方程;
(2)过点P(0,m)作“伴随”的切线l交椭圆C于A,B两点,记△AOB(O为坐标原点)的面积为S△AOB,将S△AOB表示为m的函数,并求S△AOB的最大值.考点直线与圆锥曲线的综合问题.专题计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析
(1)由椭圆C的离心率,结合a,b,c的关系,得到a=2b,设椭圆方程,再代入点,即可得到椭圆方程和“伴随”的方程;
(2)设切线l的方程为y=kx+m,联立椭圆方程,消去y得到x的二次方程,运用韦达定理和弦长公式,即可得到AB的长,由l与圆x2+y2=1相切,得到k,m的关系式,求出三角形ABC的面积,运用基本不等式即可得到最大值.解答解
(1)椭圆C的离心率为,即c=,由c2=a2﹣b2,则a=2b,设椭圆C的方程为,∵椭圆C过点,∴,∴b=1,a=2,以为半径即以1为半径,∴椭圆C的标准方程为,椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1.
(2)由题意知,|m|≥1.易知切线l的斜率存在,设切线l的方程为y=kx+m,由得,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则,.又由l与圆x2+y2=1相切,所以,k2=m2﹣1.所以=,则,|m|≥1.(当且仅当时取等号)所以当时,S△AOB的最大值为1.点评本题考查椭圆的方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数,运用韦达定理和弦长公式的运用,考查直线与圆相切的条件,考查运算能力,属于中档题. 21.设函数f(x)=x2+aln(x+1)(a为常数)(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证.考点利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题转化思想.分析(Ⅰ)已知原函数的值为正,得到导函数的值非负,从而求出参量的范围;(Ⅱ)利用韦达定理,对所求对象进行消元,得到一个新的函数,对该函数求导后,再对导函数求导,通过对导函数的导导函数的研究,得到导函数的最值,从而得到原函数的最值,即得到本题结论.解答解(Ⅰ)根据题意知f′(x)=在[1,+∞)上恒成立.即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1,+∞)上恒成立.∵﹣2x2﹣2x在区间[1,+∞)上的最大值为﹣4,∴a≥﹣4;经检验当a=﹣4时,,x∈[1,+∞).∴a的取值范围是[﹣4,+∞).(Ⅱ)在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根,即方程2x2+2x+a=0在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根.记g(x)=2x2+2x+a,则有,解得.∴,.∴令.,记.∴,.在使得p′(x0)=0.当,p′(x)<0;当x∈(x0,0)时,p′(x)>0.而k′(x)在单调递减,在(x0,0)单调递增,∵,∴当,∴k(x)在单调递减,即.点评本题考查的是导数知识,重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值,难点是多次连续求导,即二次求导,本题还用到消元的方法,难度较大. 选修题请考生在第
(22)、
(23)
(24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1几何证明选讲22.如图所示,圆O的直径为BD,过圆上一点A作圆O的切线AE,过点D作DE⊥AE于点E,延长ED与圆O交于点C.
(1)证明DA平分∠BDE;
(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.考点相似三角形的判定.专题立体几何.分析
(1)由于AE是⊙O的切线,可得∠DAE=∠ABD.由于BD是⊙O的直径,可得∠BAD=90°,因此∠ABD+∠ADB=90°,∠ADE+∠DAE=90°,即可得出∠ADB=∠ADE..
(2)由
(1)可得△ADE∽△BDA,可得,BD=2AD.因此∠ABD=30°.利用DE=AEtan30°.切割线定理可得AE2=DE•CE,即可解出.解答
(1)证明∵AE是⊙O的切线,∴∠DAE=∠ABD,∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABD+∠ADB=90°,又∠ADE+∠DAE=90°,∴∠ADB=∠ADE.∴DA平分∠BDE.
(2)由
(1)可得△ADE∽△BDA,∴,∴,化为BD=2AD.∴∠ABD=30°.∴∠DAE=30°.∴DE=AEtan30°=.由切割线定理可得AE2=DE•CE,∴,解得CD=.点评本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. xx•南昌校级模拟)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.考点简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.专题坐标系和参数方程.分析
(1)首先,将曲线C1化为直角坐标方程,然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,根据距离关系,确定取值范围.解答解
(1)根据题意,得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),根据中点坐标公式,得,代入x2+y2﹣4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,
(2)直线l的普通方程为y=ax,根据题意,得,解得实数a的取值范围为[0,].点评本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考查比较综合,属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解. xx•南昌校级二模)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a(Ⅰ)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);(Ⅱ)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.考点绝对值不等式的解法;带绝对值的函数.专题不等式的解法及应用.分析(Ⅰ)当a=0时,由f不等式可得|2x+1|≥x,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解此一元二次不等式求得原不等式的解集.(Ⅱ)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|﹣|x|,令h(x)=|2x+1|﹣|x|,则h(x)=,求得h(x)的最小值,即可得到从而所求实数a的范围.解答解(Ⅰ)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤﹣1或x≥﹣∴原不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[﹣,+∞)(Ⅱ)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|﹣|x|,令h(x)=|2x+1|﹣|x|,即h(x)=,故h(x)min=h(﹣)=﹣,故可得到所求实数a的范围为[﹣,+∞).点评本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中档题. 。