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2019-2020年高三数学上学期第四次联考试卷文(含解析)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填涂在答题卡上)1.集合A={﹣1,0,1},B={y|y=ex,x∈A},则A∩B=( ) A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{﹣1,0,1} 2.已知命题p∃x∈R,cosx≥a,下列的取值能使“¬p”命题是真命题的是( ) A.a∈RB.a=2C.a=1D.a=0 3.若,且,则x=( ) A.2B.C.或D.﹣2或 4.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( ) A.2B.﹣1C.1D.﹣2 5.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足f(x)+f(﹣x)=0,当x>0时,f(x)=1gx﹣x+1,则函数)y=f(x)的大致图象是( ) A.B.C.D. 6.下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 7.若正项数列{an}满足lgan+1=1+lgan,且axx+axx+…+axx=xx,则a2011+axx+…+a2020的值为( ) A.xx•1010B.xx•1011C.xx•1010D.xx•1011 8.若函数f(x)=sin(ωx+)的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称,则ω的最小正值是( ) A.B.1C.2D.3 9.已知f(x)=x2﹣2x+c,f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn﹣1(x))(n≥2,n∈N*),若函数y=fn(x)﹣x不存在零点,则c的取值范围是( ) A.B.C.D. 10.已知函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断
①△ABC一定是钝角三角形;
②△ABC可能是直角三角形;
③△ABC可能是等腰三角形;
④△ABC不可能是等腰三角形.其中,正确的判断是( ) A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卷相应位置)11.已知,B={x|log2(x﹣2)<1},则A∪B= . 12.已知锐角α,β满足3tanα=tan(α+β),则tanβ的最大值为 . 13.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2an2=an+12+an﹣12(n∈N*,n≥2),则a7= . 14.定义在R上的偶函数f(x),对任意实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点,则实数k的取值范围是 . 15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .
三、解答题本大题共6小题,共75分16.已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x﹣1,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值. 17.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(I)求an及Sn;(II)求数列{}的前n项和为Tn. 18.已知函数f(x)=++.(I)求y=f(x)在[﹣4,﹣]上的最值;(II)若a≥0,求g(x)=++的极值点. 19.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求证;AE∥平面BFD;(Ⅲ)求三棱锥C﹣BGF的体积. 20.已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意a∈(﹣4,﹣2)及x∈[1,3]时,恒有ma﹣f(x)>a2成立,求实数m的取值范围. 21.知函数f(x)=x2﹣1,设曲线y=f(x)在点(xn,yn)处的切线与x轴的交点为(xn+1,0),其中x1为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)x1=2,若an=lg,试证明数列{an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{bn}的前n项和Sn=,记数列{an•bn}的前n项和Tn,求Tn. xx学年安徽省合肥市三校联考高三(上)第四次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填涂在答题卡上)1.集合A={﹣1,0,1},B={y|y=ex,x∈A},则A∩B=( ) A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{﹣1,0,1}考点交集及其运算.专题函数的性质及应用.分析集合B中的自变量属于集合A,把集合A中的元素代入函数求出值域,确定出集合B,找出两集合的公共部分,即可确定出两集合的交集.解答解∵y=ex,x∈A∴当x=﹣1时,y=,当x=1时,y=e,当x=0时,y=1.∴可知B={,e,1},又集合A={﹣1,0,1},则A∩B={1}.故选B.点评本题主要考查了函数值域为平台,考查了交集的运算,是一道基础题. 2.已知命题p∃x∈R,cosx≥a,下列的取值能使“¬p”命题是真命题的是( ) A.a∈RB.a=2C.a=1D.a=0考点命题的否定.专题概率与统计.分析写出命题的否定形式,然后判断选项即可.解答解命题p∃x∈R,cosx≥a,则¬p,∀x∈R,cosx<a,能使“¬p”命题是真命题,由余弦函数的值域可知,cosx≤1,故选项C成立.故选C.点评本题考查特称命题的真假的判断与应用,三角函数的值域的应用,基本知识的考查. 3.若,且,则x=( ) A.2B.C.或D.﹣2或考点数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题计算题.分析由已知中,我们可以求出向量的坐标,根据两向量的数量积为0,构造方程,解方程可得答案.解答解∵,∴=(1+2x,4)=(2﹣x,3)又∵,∴=(1+2x)•(2﹣x)+3×4=0即﹣2x2+3x+14=0解得x=﹣2或x=故选D点评本题考查的知识点是数量积判断两个向量的垂直关系,其中根据两向量的数量积为0,构造方程是解答本题的关键. 4.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( ) A.2B.﹣1C.1D.﹣2考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析先求出函数的导数,再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程,列出方程组进行求解,即可得出结论.解答解∵解由题意得,y′=3x2+a,∴k=3+a
①∵切点为A(1,3),∴3=k+1
②3=1+a+b
③由
①②③解得,a=﹣1,b=3,∴2a+b=1,故选C.点评本题考查直线与曲线相切,考查学生的计算能力,属于基础题. 5.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足f(x)+f(﹣x)=0,当x>0时,f(x)=1gx﹣x+1,则函数)y=f(x)的大致图象是( ) A.B.C.D.考点函数的图象.专题作图题.分析利用已知条件判断函数的奇偶性,通过x>0时,f(x)=1gx﹣x+1判断函数的图象,然后判断选项即可.解答解因为函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足f(x)+f(﹣x)=0,所以函数是奇函数,排除C、D.又函数当x>0时,f(x)=lgx﹣x+1,当x=10时,y=1﹣10+1=﹣8,就是的图象在第四象限,A正确,故选A.点评本题考查函数的图象的判断,注意函数的奇偶性以及函数的图象的特殊点的应用,考查判断能力. 6.下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β考点平面与平面垂直的性质.专题空间位置关系与距离;简易逻辑.分析本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答时A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答;B反证法即可获得解答;C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线,然后用线面垂直的判定定理即可获得解答;D结合实物举反例即可.解答解由题意可知A、结合实物教室的门面与地面垂直,门面的上棱对应的直线就与地面平行,故此命题成立;B、假若平面α内存在直线垂直于平面β,根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立;C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线,再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行,进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行,又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面,故命题成立;D、举反例教室内侧墙面与地面垂直,而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题错误.故选D.点评本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思. 7.若正项数列{an}满足lgan+1=1+lgan,且axx+axx+…+axx=xx,则a2011+axx+…+a2020的值为( ) A.xx•1010B.xx•1011C.xx•1010D.xx•1011考点数列的求和;等差数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析lgan+1=1+lgan,可得=10,数列{an}是等比数列,可得a2011+axx+…+a2020=1010(axx+axx+…+axx).解答解∵lgan+1=1+lgan,∴=1,∴=10,∴数列{an}是等比数列,∵axx+axx+…+axx=xx,∴a2011+axx+…+a2020=1010(axx+axx+…+axx)=xx×1010.故选A.点评本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 8.若函数f(x)=sin(ωx+)的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称,则ω的最小正值是( ) A.B.1C.2D.3考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.专题计算题;三角函数的图像与性质.分析先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移个单位所得的函数,然后由已知y=sin(ωx+﹣)与f(x)=sin(ωx+)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+)=﹣sin(ωx+﹣),解方程可得ω,进而求最小值解答解根据函数的平移法则可得,把已知函数的图象向右平移个单位的函数y=sin(ωx+﹣)与f(x)=sin(ωx+)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+)=﹣sin(ωx+﹣),解方程可得,ω=6k+3,k∈Z,故当k=0时ω的最小值为3.故选D.点评三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方,要引起注意,而函数的图象变换也是函数的重要知识,要熟练掌握. 9.已知f(x)=x2﹣2x+c,f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn﹣1(x))(n≥2,n∈N*),若函数y=fn(x)﹣x不存在零点,则c的取值范围是( ) A.B.C.D.考点函数零点的判定定理.专题压轴题.分析本选择题可以使用排除法解决.首先,当n=1时,考查f(x)﹣x的零点,因它不存在零点,说明x2﹣3x+c=0没有实数根,△<0,那就排除答案中A,B,D选项,从而得出正确选项.解答解因函数y=fn(x)﹣x不存在零点,当n=1时,考察f(x)﹣x的零点,因它不存在零点,说明x2﹣3x+c=0没有实数根,△<0,即.那就排除答案中A,B,D选项,从而得出正确选项.故选C.点评本小题主要考查函数零点的判定定理等基础知识,考查运化归与转化思想.解答关键是排除法的应用,属于基础题. 10.已知函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断
①△ABC一定是钝角三角形;
②△ABC可能是直角三角形;
③△ABC可能是等腰三角形;
④△ABC不可能是等腰三角形.其中,正确的判断是( ) A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④考点数列与函数的综合.专题综合题;压轴题;探究型;数形结合;数形结合法.分析由于函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项,对于
①正确,由函数的图象可以得出,角ABC是钝角,
②亦可由此判断出;
③④可由变化率判断出.解答解由于函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数,故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率.可得出角ABC一定是钝角故
①对,
②错.由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率,由两点间距离公式可以得出AB<BC,故三角形不可能是等腰三角形,由此得出
③不对,
④对.故选B.点评此题考查了数列与函数的综合,求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚,由函数的图形结合等差数列的性质得出答案.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卷相应位置)11.已知,B={x|log2(x﹣2)<1},则A∪B= {x|1<x<4} .考点并集及其运算.专题计算题.分析首先求解指数不等式和对数不等式化简集合A和集合B,然后根据并集的概念取两个集合的并集.解答解析由,得,所以1<x<3,所以,再由0<x﹣2<2,得2<x<4,所以B={x|log2(x﹣2)<1}={x|2<x<4},所以A∪B={x|1<x<3}∪{x|2<x<4}={x|1<x<4}.故答案为{x|1<x<4}.点评本题考查了并集及其运算,解答此题的关键是指数不等式和对数不等式的求解,求并集问题属基础题. 12.(5分)(xx•安徽三模)已知锐角α,β满足3tanα=tan(α+β),则tanβ的最大值为 .考点两角和与差的正切函数.专题三角函数的求值.分析由条件利用两角和的正切公式化简可得tanβ==,再利用基本不等式求得它的最大值.解答解∵已知锐角A,B满足tan(α+β)=3tanA,∴tanα>0,tanβ>0,且,化简可得tanβ==≤=当且仅当时,取等号,故tanβ的最大值为.故答案为点评本题主要考查两角和的正切公式的应用,利用基本不等式求式子的最大值,属于中档题. 13.正项数列{an}满足a1=1,a2=2,2an2=an+12+an﹣12(n∈N*,n≥2),则a7= .考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析由2an2=an+12+an﹣12(n∈N*,n≥2),可得数列{}是等差数列,通过求出数列{}的通项公式,求得an,再求a7.解答解由2an2=an+12+an﹣12(n∈N*,n≥2),可得数列{}是等差数列,公差d==3,首项=1,所以=1+3×(n﹣1)=3n﹣2,an=,∴a7=故答案为点评本题考查数列递推公式的应用,数列通项求解,考查转化构造、计算能力. 14.定义在R上的偶函数f(x),对任意实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点,则实数k的取值范围是 (0,] .考点函数零点的判定定理.专题函数的性质及应用.分析由题意可得,函数f(x)的图象和直线y=k(x+1)在区间[﹣1,3]内有4个交点,数形结合求得k的范围.解答解由题意可得,函数f(x)的周期为2,x∈[0,1]时,f(x)=x2,而f(x)是偶函数,∴x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2,令y=kx+k,在区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣kx﹣k有4个零点即函数f(x)的图象和直线y=k(x+1)在区间[﹣1,3]内有4个交点,如图所示故有0<k(3+1)≤1,求得0<k≤,故答案为(0,].点评本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题. 15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 12 .考点由三视图求面积、体积.专题计算题.分析由已知中的三视图,我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱,根据已知中正视图中及俯视图中所标识的数据,我们可以确定出棱柱的高,并根据割补法可求出底面面积,代入棱柱体积公式,即可求出答案.解答解由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2,由割被法,可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为12点评本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图确定几何体的形状及棱长、高等关系几何量是解答本题的关键.
三、解答题本大题共6小题,共75分16.已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x﹣1,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.考点余弦定理;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.专题解三角形.分析(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,代入周期公式求出函数f(x)的最小正周期,利用正弦函数的值域确定出f(x)最小值即可;(Ⅱ)由f(C)=0及第一问化简得到的解析式,求出C的度数,利用正弦定理化简sinB=2sinA,得到b=2a,利用余弦定理列出关系式,把c,b=2a,cosC的值代入即可求出a与b的值.解答解(Ⅰ)f(x)=sin2x﹣(cos2x+1)﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin(2x﹣)﹣2,∵ω=2,﹣1≤sin(2x﹣)≤1,∴f(x)的最小正周期T=π;最小值为﹣4;(Ⅱ)∵f(C)=2sin(2C﹣)﹣2=0,∴sin(2C﹣)=1,∵C∈(0,π),∴2C﹣∈(﹣,),∴2C﹣=,即C=,将sinB=2sinA,利用正弦定理化简得b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2a2=3a2,把c=代入得a=1,b=2.点评此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(I)求an及Sn;(II)求数列{}的前n项和为Tn.考点数列的求和;等差数列的性质.专题等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,Sn=n2+2n,可得Sn==,利用“裂项求和”即可得出.解答解(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=7,a5+a7=26,∴,解得a1=3,d=2,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1;Sn==n2+2n.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,Sn=n2+2n,∴Sn==,∴Tn=+…+=.=﹣.点评本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.已知函数f(x)=++.(I)求y=f(x)在[﹣4,﹣]上的最值;(II)若a≥0,求g(x)=++的极值点.考点利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.专题计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用.分析(Ⅰ)求导可判断f′(x)=﹣<0恒成立,从而求最值;(Ⅱ)求导g′(x)=﹣,令u=x2+4x+3a,从而得到△=16﹣12a;从而讨论函数的极值点即可.解答解(Ⅰ)f′(x)=﹣<0恒成立,故f(x)在[﹣4,﹣]递减;所以最大值为f(﹣4)=﹣,最小值为f(﹣)=﹣6;(Ⅱ)∵g(x)=++,∴g′(x)=﹣,令u=x2+4x+3a,△=16﹣12a;当a≥时,△=16﹣12a≤0,g′(x)≤0,所以y=g(x)没有极值点;当0<a<时,x1=﹣2﹣,x2=﹣2+<0;故函数的减区间为(﹣∞,﹣2﹣),(﹣2+,0)(0,+∞),增区间(﹣2﹣,﹣2+),故g(x)有极小值点﹣2﹣,极大值点﹣2+.点评本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,属于中档题. 19.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求证;AE∥平面BFD;(Ⅲ)求三棱锥C﹣BGF的体积.考点直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.专题计算题;证明题.分析
(1)先证明AE⊥BC,再证AE⊥BF,由线面垂直的判定定理证明结论.
(2)利用F、G为边长的中点证明FG∥AE,由线面平行的判定定理证明结论.
(3)运用等体积法,先证FG⊥平面BCF,把原来的三棱锥的底换成面BCF,则高就是FG,代入体积公式求三棱锥的体积.解答解(Ⅰ)证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE.(4分)(Ⅱ)证明依题意可知G是AC中点,∵BF⊥平面ACE,则CE⊥BF,而BC=BE,∴F是EC中点.(6分)在△AEC中,FG∥AE,∴AE∥平面BFD.(8分)(Ⅲ)解∵AE∥平面BFD,∴AE∥FG,而AE⊥平面BCE,∴FG⊥平面BCE,∴FG⊥平面BCF,(10分)∵G是AC中点,∴F是CE中点,且,∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE.∴Rt△BCE中,.∴,(12分)∴(14分)点评本题考查线面平行与垂直的证明方法,利用等体积法求三棱锥的体积. 20.已知函数f(x)=a(x2+1)+lnx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对任意a∈(﹣4,﹣2)及x∈[1,3]时,恒有ma﹣f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.专题导数的综合应用.分析
(1)利用导数判断函数的单调性即可;
(2)由题意得恒有ma﹣f(x)>a2成立,等价于ma﹣a2>f(x)max,利用导数求得函数的最大值,即可得出结论.解答解(Ⅰ)f′(x)=2ax+=(x>0),…(2分)
①当a≥0时,恒有f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;…(4分)
②当a<0时,当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在(0,)上是增函数;当x>时,f′(x)<0,则f(x)在(,+∞)上是减函数…(6分)综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当a<0时,f(x)在(0,)上是增函数,f(x)在(,+∞)上是减函数.…(7分)(Ⅱ)由题意知对任意a∈(﹣4,﹣2)及x∈[1,3]时,恒有ma﹣f(x)>a2成立,等价于ma﹣a2>f(x)max,因为a∈(﹣4,﹣2),所以<<<1,由(Ⅰ)知当a∈(﹣4,﹣2)时,f(x)在[1,3]上是减函数所以f(x)max=f
(1)=2a…(10分)所以ma﹣a2>2a,即m<a+2,因为a∈(﹣4,﹣2),所以﹣2<a+2<0…(12分)所以实数m的取值范围为m≤﹣2…13点评本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识,考查恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力,属难题. 21.知函数f(x)=x2﹣1,设曲线y=f(x)在点(xn,yn)处的切线与x轴的交点为(xn+1,0),其中x1为正实数.
(1)用xn表示xn+1;
(2)x1=2,若an=lg,试证明数列{an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{bn}的前n项和Sn=,记数列{an•bn}的前n项和Tn,求Tn.考点数列的求和.专题等差数列与等比数列.分析
(1)由f(x)=x2﹣1,求出在曲线上点(xn,f(xn))处的切线方程,令y=0,能得到xn表示xn+1的表达式.
(2)由
(1)得,由此利用对数的运算法则能推导an+1=2an,由此证明数列{an}为等比数列,并能求出数列{an}的通项公式.
(3)由已知条件推导出bn=n,从而得到,由此利用错位相减法能求出{an•bn}的前n项和Tn.解答解
(1)∵f(x)=x2﹣1,∴f′(x)=2x,∴在曲线上点(xn,f(xn))处的切线方程为y﹣f(xn)=f′(xn)(x﹣xn),即y﹣=2xn(x﹣xn),令y=0,得﹣(xn2﹣1)=2xn(xn+1﹣xn),即,由题意得xn≠0,∴.
(2),∴====2lg=2an,即an+1=2an,∴数列{an}为等比数列,∴=lg•2n﹣1=2n﹣1•lg3.
(3)当n=1时,b1=S1=1,当n≥2时,=Sn﹣Sn﹣1==n,∴数列{bn}的通项公式为bn=n,∴数列{anbn}的通项公式为,∴
①①×2,得,
②①﹣
②得﹣Tn=(1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n)lg3=(﹣n•2n)lg3=(2n﹣1﹣n•2n)lg3,∴.点评本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,有机地把函数、对数、导数融合为一体,综合性强,难度大,是一道好题. 。