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2019-2020年高三数学下学期3月模拟联考试卷文(含解析)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,每个空格填对4分,否则一律得零分.1.幂函数y=x(m∈N)在区间(0,+∞)上是减函数,则m=__________.2.函数的定义域是__________.3.在△ABC中,已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos2C=__________.4.设i为虚数单位,若关于x的方程x2﹣(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m=__________.5.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=__________.6.若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3的扇形,则这个圆锥的表面积是__________.7.若关于x的方程lg(x2+ax)=1在x∈[1,5]上有解,则实数a的取值范围为__________.8.《孙子算经》卷下第二十六题今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?__________.(只需写出一个答案即可)9.若(x≥0,y≥0),则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为__________.10.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到至少1个白球的概率为,则口袋中白球的个数为__________.11.如图所示,一个确定的凸五边形ABCDE,令x=•,y=•,z=•,则x、y、z的大小顺序为__________.12.设函数f(x)的定义域为D,D⊆[0,4π],它的对应法则为f x→sinx,现已知f(x)的值域为{0,﹣,1},则这样的函数共有__________个.13.若多项式(1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣xxx+xxx)(1+2x+3x2+4x3+…+xxx+xxx)=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000,则a1+a3+a5+…+a2011+axx+axx=__________.14.在平面直角坐标系中有两点A(﹣1,3)、B(1,),以原点为圆心,r>0为半径作一个圆,与射线y=﹣x(x<0)交于点M,与x轴正半轴交于N,则当r变化时,|AM|+|BN|的最小值为__________.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分.15.若非空集合A中的元素具有命题α的性质,集合B中的元素具有命题β的性质,若A⊊B,则命题α是命题β的条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要16.用反证法证明命题“已知a、b∈N*,如果ab可被5整除,那么a、b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除C.a、b不都能被5整除D.a不能被5整除17.实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1,则x﹣y的最大值为A.4B.2C.2D.18.直线m⊥平面α,垂足是O,正四面体ABCD的棱长为4,点C在平面α上运动,点B在直线m上运动,则点O到直线AD的距离的取值范围是A.[,]B.[2﹣2,2+2]C.[,]D.[3﹣2,3+2]
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题须写出必要的步骤.19.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,底面边长为,点P、Q、R分别在棱AA
1、BB
1、BC上,Q是BB1中点,且PQ∥AB,C1Q⊥QR
(1)求证C1Q⊥平面PQR;
(2)若C1Q=,求四面体C1PQR的体积.20.已知数列{bn}满足b1=1,且bn+1=16bn(n∈N),设数列{}的前n项和是Tn.
(1)比较Tn+12与Tn•Tn+2的大小;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n+2,数列{cn}=an﹣logdbn(d>0,d≠1),求d的取值范围使得{cn}是递增数列.21.某种波的传播是由曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0)来实现的,我们把函数解析式f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”,把振幅都是A的波称为“A类波”,把两个解析式相加称为波的叠加.
(1)已知“1类波”中的两个波f1(x)=sin(x+φ1)与f2(x)=sin(x+φ2)叠加后仍是“1类波”,求φ2﹣φ1的值;
(2)在“A类波“中有一个是f1(x)=sinx,从A类波中再找出两个不同的波(每两个波的初相φ都不同)使得这三个不同的波叠加之后是“平波”,即叠加后y=0,并说明理由.22.(16分)设函数f(x)=ax2+(2b+1)x﹣a﹣2(a,b∈R).
(1)若a=0,当x∈[,1]时恒有f(x)≥0,求b的取值范围;
(2)若a≠0且b=﹣1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数y=f(x)的图象永远不经过这两点;
(3)当a2+b2=1时,函数y=f(x)存在零点x0,求x0的取值范围.23.(18分)设有二元关系f(x,y)=(x﹣y)2+a(x﹣y)﹣1,已知曲线Γf(x,y)=0
(1)若a=2时,正方形ABCD的四个顶点均在曲线上,求正方形ABCD的面积;
(2)设曲线C与x轴的交点是M、N,抛物线E y=x2+1与y轴的交点是G,直线MG与曲线E交于点P,直线NG与曲线E交于Q,求证直线PQ过定点(0,3).
(3)设曲线C与x轴的交点是M(u,0)、N(v,0),可知动点R(u,v)在某确定的曲线上运动,曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点,其分别是A(x1,|x2)、B(x3,x4)、C(x5,x6)、D(x7,x8),集合X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为Yi=1,2,…,255),将Yi中的所有元素相加(若Yi中只有一个元素,则和是其自身)得到255个数y
1、y
2、…、y255,求y13+y23+…+y2553的值.上海市十二校联考xx届高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,每个空格填对4分,否则一律得零分.1.幂函数y=x(m∈N)在区间(0,+∞)上是减函数,则m=0.考点幂函数的单调性、奇偶性及其应用;幂函数的概念、解析式、定义域、值域.专题计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析根据幂函数的性质,可得m2+2m﹣3<0,解不等式求得自然数解,即可得到m=0.解答解由幂函数y=xm2+2m﹣3在(0,+∞)为减函数,则m2+2m﹣3<0,解得﹣3<m<1.由于m∈N,则m=0.故答案为0.点评本题考查幂函数的性质,主要考查二次不等式的解法,属于基础题.2.函数的定义域是(0,1].考点函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.专题计算题.分析令被开方数大于等于0,然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围,写出集合区间形式即为函数的定义域.解答解∴0<x≤1∴函数的定义域为(0,1]故答案为(0,1]点评求解析式已知的函数的定义域应该考虑开偶次方根的被开方数大于等于0;对数函数的真数大于0底数大于0小于1;分母非0.3.在△ABC中,已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos2C=.考点余弦定理的应用.专题计算题.分析先通过BC=8,AC=5,三角形面积为12求出sinC的值,再通过余弦函数的二倍角公式求出答案.解答解∵已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为点评本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用.属基础题.4.设i为虚数单位,若关于x的方程x2﹣(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m=1.考点复数相等的充要条件.专题数系的扩充和复数.分析把n代入方程,利用复数相等的条件,求出m,n,即可.解答解关于x的方程x2﹣(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,可得n2﹣(2+i)n+1+mi=0所以,所以m=n=1,故答案为1.点评本题考查复数相等的条件,考查计算能力,是基础题.5.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=4或8.考点椭圆的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析首先分两种情况
①焦点在x轴上.
②焦点在y轴上,分别求出a的值即可.解答解
①焦点在x轴上时10﹣a﹣(a﹣2)=4解得a=4.
②焦点在y轴上时a﹣2﹣(10﹣a)=4解得a=8故答案为4或8.点评本题考查的知识要点椭圆方程的两种情况焦点在x轴或y轴上,考察a、b、c的关系式,及相关的运算问题.6.若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3的扇形,则这个圆锥的表面积是4π.考点棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.专题空间位置关系与距离.分析易得圆锥侧面展开图的弧长,除以2π即为圆锥的底面半径,圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长,把相关数值代入即可求解.解答解圆锥的侧面展开图的弧长为=2π,∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1,∴此圆锥的表面积=π×
(1)2+π×1×3=4π.故答案为4π.点评本题考查扇形的弧长公式为;圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,圆锥的表面积的求法.7.若关于x的方程lg(x2+ax)=1在x∈[1,5]上有解,则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9.考点函数的零点.专题计算题;函数的性质及应用.分析由题意,x2+ax﹣10=0在x∈[1,5]上有解,可得a=﹣x在x∈[1,5]上有解,利用a=﹣x在x∈[1,5]上单调递减,即可求出实数a的取值范围.解答解由题意,x2+ax﹣10=0在x∈[1,5]上有解,所以a=﹣x在x∈[1,5]上有解,因为a=﹣x在x∈[1,5]上单调递减,所以﹣3≤a≤9,故答案为﹣3≤a≤9.点评本题主要考查方程的根与函数之间的关系,考查由单调性求函数的值域,比较基础.8.《孙子算经》卷下第二十六题今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?23,或105k+23(k为正整数)..(只需写出一个答案即可)考点进行简单的合情推理.专题推理和证明.分析根据“三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二”找到三个数第一个数能同时被3和5整除;第二个数能同时被3和7整除;第三个数能同时被5和7整除,将这三个数分别乘以被
7、
5、3除的余数再相加即可求出答案.解答解我们首先需要先求出三个数第一个数能同时被3和5整除,但除以7余1,即15;第二个数能同时被3和7整除,但除以5余1,即21;第三个数能同时被5和7整除,但除以3余1,即70;然后将这三个数分别乘以被
7、
5、3除的余数再相加,即15×2+21×3+70×2=233.最后,再减去
3、
5、7最小公倍数的整数倍,可得233﹣105×2=23.或105k+23(k为正整数).故答案为23,或105k+23(k为正整数).点评本题考查的是带余数的除法,简单的合情推理的应用,根据题意下求出
15、
21、70这三个数是解答此题的关键.[可以原文理解为三个三个的数余二,七个七个的数也余二,那么,总数可能是三乘七加二,等于二十三.二十三用五去除余数又恰好是三]9.若(x≥0,y≥0),则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为(0,5).考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析由题意,画出约束条件的可行域,结合目标函数K=6x+8y取得最大值的点的坐标即可.解答解由题意画出约束条件的可行域,与直线6x+8y=0平行的直线中,只有经过M点时,目标函数K=6x+8y取得最大值.目标函数K=6x+8y取得最大值时的点的坐标M为x+y=5与y轴的交点(0,5).故答案为(0,5).点评本题是中档题,考查线性规划的应用,注意正确做出约束条件的可行域是解题的关键,考查计算能力.10.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到至少1个白球的概率为,则口袋中白球的个数为3.考点古典概型及其概率计算公式.专题概率与统计.分析设口袋中白球个数为x个,由对立事件概率公式得到1﹣=,由此能求出口袋中白球的个数.解答解设口袋中白球个数为x个,由已知得1﹣=,解得x=3.故答案为3.点评本题考查口袋中白球的个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.11.如图所示,一个确定的凸五边形ABCDE,令x=•,y=•,z=•,则x、y、z的大小顺序为x>y>z.考点平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用.专题平面向量及应用.分析根据向量的数量积公式分别判断x,y,z的符号,得到大小关系.解答解由题意,x=•=AB×ACcos∠BAC>0,y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD,又∠BAD>∠BAC所以cos∠BAD<cos∠BAC,所以x>y>0z=•=AB×AEcos∠BAE<0,所以x>y>z.故答案为x>y>z.点评本题考查了向量的数量积的公式;属于基础题.12.设函数f(x)的定义域为D,D⊆[0,4π],它的对应法则为f x→sinx,现已知f(x)的值域为{0,﹣,1},则这样的函数共有1395个.考点映射.专题函数的性质及应用;集合.分析分别求出sinx=0,x=0,π,2π,3π,4π,sinx=,x=,x=,x=,x=,sinx=1,x=,x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有(C+C)()()即可.解答解∵函数f(x)的定义域为D,D⊆[0,4π],∴它的对应法则为f x→sinx,f(x)的值域为{0,﹣,1},sinx=0,x=0,π,2π,3π,4π,sinx=,x=,x=,x=,x=,sinx=1,x=,x=这样的函数共有(C+C)()()=31×15×3=1395故答案为1395点评本题考查了映射,函数的概念,排列组合的知识,难度不大,但是综合性较强.13.若多项式(1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣xxx+xxx)(1+2x+3x2+4x3+…+xxx+xxx)=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000,则a1+a3+a5+…+a2011+axx+axx=0.考点二项式定理的应用.专题计算题;二项式定理.分析根据等式,确定a1=﹣xx×xx+xx×xx=0,a3=0,a5=0,…,即可得出结论.解答解根据(1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣xxx+xxx)(1+2x+3x2+4x3+…+xxx+xxx)=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000,可得a1=﹣xx×xx+xx×xx=0,a3=0,a5=0,…,所以a1+a3+a5+…+a2011+axx+axx=0,故答案为0.点评本题考查二项式定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.14.在平面直角坐标系中有两点A(﹣1,3)、B(1,),以原点为圆心,r>0为半径作一个圆,与射线y=﹣x(x<0)交于点M,与x轴正半轴交于N,则当r变化时,|AM|+|BN|的最小值为2.考点两点间距离公式的应用.专题计算题;转化思想;推理和证明.分析由题意,设M(a,﹣a)(a<0),则r=﹣2a,N(﹣2a,0).可得|AM|+|BN|=+,设2a=x,进而可以理解为(x,0)与(﹣,)和(﹣1,)的距离和,即可得出结论.解答解由题意,设M(a,﹣a)(a<0),则r=﹣2a,N(﹣2a,0).∴|AM|+|BN|=+设2a=x,则|AM|+|BN|=+,可以理解为(x,0)与(﹣5,)和(﹣1,)的距离和,∴|AM|+|BN|的最小值为(﹣5,)和(﹣1,﹣)的距离,即2.故答案为2.点评本题考查两点间距离公式的应用,考查学生分析解决问题的能力,有难度.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分.15.若非空集合A中的元素具有命题α的性质,集合B中的元素具有命题β的性质,若A⊊B,则命题α是命题β的条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题集合;简易逻辑.分析可举个例子来判断比如A={1},B={1,2},αx>0,βx<3,容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件.解答解命题α是命题β的既非充分又非必要条件;比如A={1},αx>0;B={1,2},βx<3;显然α成立得不到β成立,β成立得不到α成立;∴此时,α是β的既非充分又非必要条件.故选D.点评考查真子集的概念,以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念,以及找一个例子来说明问题的方法.16.用反证法证明命题“已知a、b∈N*,如果ab可被5整除,那么a、b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除C.a、b不都能被5整除D.a不能被5整除考点反证法.专题证明题;反证法;推理和证明.分析反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此得出此命题是成立的.解答解由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有1个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”.故选B.点评反证法是命题的否定的一个重要运用,用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧.17.实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1,则x﹣y的最大值为A.4B.2C.2D.考点三角函数的最值;基本不等式.专题不等式的解法及应用.分析由x2+2xy+y2+x2y2=1,变形为(x+y)2+(xy)2=1.可设x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0,2π).利用(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=﹣(sinθ+2)2+5≤4,即可得出.解答解由x2+2xy+y2+x2y2=1,变形为(x+y)2+(xy)2=1.可设x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0,2π).∴(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=cos2θ﹣4sinθ=1﹣sin2θ﹣4sinθ=﹣(sinθ+2)2+5≤4,∴x﹣y≤2,故选C.点评本题考查了三角函数代换、三角函数的单调性、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.直线m⊥平面α,垂足是O,正四面体ABCD的棱长为4,点C在平面α上运动,点B在直线m上运动,则点O到直线AD的距离的取值范围是A.[,]B.[2﹣2,2+2]C.[,]D.[3﹣2,3+2]考点点、线、面间的距离计算.专题空间位置关系与距离.分析确定直线BC与动点O的空间关系,得到最大距离为AD到球心的距离+半径,最小距离为AD到球心的距离﹣半径.解答解由题意,直线BC与动点O的空间关系点O是以BC为直径的球面上的点,所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离,最大距离为AD到球心的距离(即BC与AD的公垂线)+半径=2+2.最小距离为AD到球心的距离(即BC与AD的公垂线)﹣半径=2﹣2.∴点O到直线AD的距离的取值范围是[2﹣2,2+2].故选B.点评本题考查点、线、面间的距离计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题须写出必要的步骤.19.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,底面边长为,点P、Q、R分别在棱AA
1、BB
1、BC上,Q是BB1中点,且PQ∥AB,C1Q⊥QR
(1)求证C1Q⊥平面PQR;
(2)若C1Q=,求四面体C1PQR的体积.考点棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.专题空间位置关系与距离;空间角.分析
(1)由已知得AB⊥平面B1BCC1,从而PQ⊥平面B1BCC1,进而C1Q⊥PQ,又C1Q⊥QR,由此能证明C1Q⊥平面PQR.
(2)由已知得B1Q=1,BQ=1,△B1C1Q∽△BQR,从而BR=,QR=,由C1Q、QR、QP两两垂直,能求出四面体C1PQR的体积.解答
(1)证明∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱,∴AB⊥平面B1BCC1,又PQ∥AB,∴PQ⊥平面B1BCC1,∴C1Q⊥PQ,又已知C1Q⊥QR,且QR∩QP=Q,∴C1Q⊥平面PQR.
(2)解∵B1C1=,,∴B1Q=1,∴BQ=1,∵Q是BB1中点,C1Q⊥QR,∴∠B1C1Q=∠BQR,∠C1B1Q=∠QBR,∴△B1C1Q∽△BQR,∴BR=,∴QR=,∵C1Q、QR、QP两两垂直,∴四面体C1PQR的体积V=.点评本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.20.已知数列{bn}满足b1=1,且bn+1=16bn(n∈N),设数列{}的前n项和是Tn.
(1)比较Tn+12与Tn•Tn+2的大小;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n+2,数列{cn}=an﹣logdbn(d>0,d≠1),求d的取值范围使得{cn}是递增数列.考点数列递推式;数列的函数特性.专题计算题;等差数列与等比数列.分析
(1)由数列递推式可得数列{bn}为公比是16的等比数列,求出其通项公式后可得,然后由等比数列的前n项和求得Tn,再由作差法证明Tn+12>Tn•Tn+2;
(2)由Sn=2n2+2n+2求出首项,进一步得到n≥2时的通项公式,再把数列{an},{bn}的通项公式代入cn=an﹣logdbn=4n+(4﹣4n)logd2=(4﹣4logd2)n+4logd2,然后由一次项系数大于0求得d的取值范围.解答解
(1)由bn+1=16bn,得数列{bn}为公比是16的等比数列,又b1=1,∴,因此,则=,∵Tn+12﹣Tn•Tn+2=.于是Tn+12>Tn•Tn+2;
(2)由Sn=2n2+2n+2,当n=1时求得a1=S1=6;当n≥2时,=4n.a1=6不满足上式,∴an=.当n=1时,c1=a1﹣logdb1=6﹣logd1=6,当n≥2时,可得cn=an﹣logdbn=4n+(4﹣4n)logd2=(4﹣4logd2)n+4logd2,要使数列{cn}是递增数列,则,解得0<d<1或d>4.综上,d∈(0,1)∪(4,+∞).点评本题考查了等比关系的确定,考查了数列的函数特性,考查了对数不等式的解法,是中档题.21.某种波的传播是由曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0)来实现的,我们把函数解析式f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”,把振幅都是A的波称为“A类波”,把两个解析式相加称为波的叠加.
(1)已知“1类波”中的两个波f1(x)=sin(x+φ1)与f2(x)=sin(x+φ2)叠加后仍是“1类波”,求φ2﹣φ1的值;
(2)在“A类波“中有一个是f1(x)=sinx,从A类波中再找出两个不同的波(每两个波的初相φ都不同)使得这三个不同的波叠加之后是“平波”,即叠加后y=0,并说明理由.考点三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数.专题三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析
(1)首先对函数的关系式进行恒等变换进一步求出函数中角的大小.
(2)利用
(1)的结论再对函数关系式进行变换最后证明出函数时平波.解答解
(1)f1(x)+f2(x)=sin(x+Φ1)+sin(x+Φ2)=(cosΦ1+cosΦ2)sinx+(sinΦ1+sinΦ2)cosxΦ所以函数的振幅为=则=1即所以(k∈Z)
(2)设f2(x)=Asin(x+Φ1),f3(x)=Asin(x+Φ2)则f1(x)+f2(x)+f3(x)=Asinx+Asin(x+Φ1)+Asin(x+Φ2)=Asinx(1+cosΦ1+cosΦ2)+Acosx(sinΦ1+sinΦ2)=0恒成立.则即消去Φ2得到若取Φ1=,则可取Φ2=此时,f1(x)+f2(x)+f3(x)=+=0所以为平波.点评本题考查的知识要点三角函数关系式的恒等变换,信息题的应用,主要考查学生对实际问题的应用能力,属于中档题型.22.(16分)设函数f(x)=ax2+(2b+1)x﹣a﹣2(a,b∈R).
(1)若a=0,当x∈[,1]时恒有f(x)≥0,求b的取值范围;
(2)若a≠0且b=﹣1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数y=f(x)的图象永远不经过这两点;
(3)当a2+b2=1时,函数y=f(x)存在零点x0,求x0的取值范围.考点函数恒成立问题.专题函数的性质及应用;不等式的解法及应用;直线与圆.分析
(1)求出a=0的解析式,再一次函数的单调性,得到不等式,即可得到范围;
(2)
(2)b=﹣1时,y=a(x2﹣1)﹣x﹣2,当x2=1时,无论a取任何值,y=﹣x﹣2为定值,y=f(x)图象一定过点(1,﹣3)和(﹣1,﹣1),运用函数的定义即可得到结论;
(3)存在x0,ax02+(2b+1)x0﹣a﹣2=0,即(x02﹣1)a+(2x0)b+x0﹣2=0,可看作点(a,b)的直线方程,而a2+b2=1可看作点(a,b)的圆,运用直线和圆有交点的条件,结合点到直线的距离公式,解不等式即可得到范围.解答解
(1)当a=0时,f(x)=(2b+1)x﹣2,当x∈[,1]时恒有f(x)≥0,则f()≥0且f
(1)≥0,即b﹣≥0且2b﹣1≥0,解得b≥;
(2)b=﹣1时,y=a(x2﹣1)﹣x﹣2,当x2=1时,无论a取任何值,y=﹣x﹣2为定值,y=f(x)图象一定过点C(1,﹣3)和D(﹣1,﹣1)由函数定义可知函数图象一定不过A(1,y1)(y1≠﹣3)和B(﹣1,y2)(y2≠﹣1);
(3)存在x0,ax02+(2b+1)x0﹣a﹣2=0,即(x02﹣1)a+(2x0)b+x0﹣2=0,可看作点(a,b)的直线方程,而a2+b2=1可看作点(a,b)的圆,直线与圆有交点,则圆心到直线的距离d=≤1,即≤1,即为x0﹣2≤x02+1,且x0﹣2≥﹣x02﹣1,解得x0∈(﹣∞,]∪[,+∞).点评本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题,主要考查一次函数的单调性,运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键.23.(18分)设有二元关系f(x,y)=(x﹣y)2+a(x﹣y)﹣1,已知曲线Γf(x,y)=0
(1)若a=2时,正方形ABCD的四个顶点均在曲线上,求正方形ABCD的面积;
(2)设曲线C与x轴的交点是M、N,抛物线E y=x2+1与y轴的交点是G,直线MG与曲线E交于点P,直线NG与曲线E交于Q,求证直线PQ过定点(0,3).
(3)设曲线C与x轴的交点是M(u,0)、N(v,0),可知动点R(u,v)在某确定的曲线上运动,曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点,其分别是A(x1,|x2)、B(x3,x4)、C(x5,x6)、D(x7,x8),集合X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为Yi=1,2,…,255),将Yi中的所有元素相加(若Yi中只有一个元素,则和是其自身)得到255个数y
1、y
2、…、y255,求y13+y23+…+y2553的值.考点直线与圆锥曲线的综合问题;数列的求和;数列与函数的综合.专题圆锥曲线中的最值与范围问题.分析
(1)令f(x,y)=(x﹣y)2+2(x﹣y)﹣1=0,解得x﹣y=﹣1,可得f(x,y)表示两条平行线,之间的距离是2,为一个正方形,即可得出其面积S.
(2)在曲线C中,令y=0,则x2+ax﹣1=0,设M(m,0),N(n,0),则mn=﹣1,G(0,1),可得直线MG,NG方程.联立解得P,同理可得Q(2m,2m2+1).可得直线PQ的方程为,即可验证直线PQ过定点(0,3).
(3)令y=0,则x2+ax﹣1=0,则mn=﹣1,即点R(u,v)在曲线xy=﹣1上,又曲线C f(x,y)=(x﹣y)2+a(x﹣y)﹣1=0.恒表示平行线x﹣y=,如图所示,A(x1,x2),B(x3,x4)关于直线y=﹣x对称,可得x1+x2+x3+x4=0,同理可得x5+x6+x7+x8=0,则x1+x2+…+x8=0,集合X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为Yi=1,2,…,255),取Y1={x1,x2,…,x8},则y1=x1+x2+…+x8=0,=0,对X的其它子集,把它们配成集合“对”(Yp,Yq),Yp∪Yq=X,Yp∩Yq=∅,这样的集合“对”共有127对,且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0,因此=0,即可得出.解答解
(1)令f(x,y)=(x﹣y)2+2(x﹣y)﹣1=0,解得x﹣y=﹣1,∴f(x,y)表示两条平行线,之间的距离是2,为一个正方形,其面积S=4.
(2)证明在曲线C中,令y=0,则x2+ax﹣1=0,设M(m,0),N(n,0),则mn=﹣1,G(0,1),则直线MG y=﹣x+1,NG y=﹣x+1.联立,解得P,同理可得Q(﹣,+1).∴直线PQ的方程为y﹣=(m+n)(x+)令x=0,则y=+(m+n)=+(﹣+n)=3,因此直线PQ过定点(0,3).
(3)令y=0,则x2+ax﹣1=0,则mn=﹣1,即点R(u,v)在曲线xy=﹣1上,又曲线C f(x,y)=(x﹣y)2+a(x﹣y)﹣1=0.恒表示平行线x﹣y=,如图所示,A(x1,x2),B(x3,x4)关于直线y=﹣x对称,则,即x1+x2+x3+x4=0,同理可得x5+x6+x7+x8=0,则x1+x2+…+x8=0,集合X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为Yi=1,2,…,255),取Y1={x1,x2,…,x8},则y1=x1+x2+…+x8=0,=0,对X的其它子集,把它们配成集合“对”(Yp,Yq),Yp∪Yq=X,Yp∩Yq=∅,这样的集合“对”共有127对,且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0,因此=0,于是y13+y23+…+y2553=0.点评本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.。