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2019-2020年高三数学下学期仿真模拟试卷文(含解析)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a,b∈R,则“a>0,b>0”是“a2+b2≥2ab的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.向量,,则A.与的夹角为30°B.与的夹角为y=ax﹣a(a>0,a≠1)C.D.∥3.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=3,S5=10,则a13的值是A.1B.3C.5D.74.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β5.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增6.函数的y=f(x)图象如图1所示,则函数y=的图象大致是A.B.C.D.7.双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是抛物线y2=8x焦点F,两曲线的一个公共点为P,且|PF|=5,则此双曲线的离心率为A.B.C.2D.8.已知函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是A.B.C.D.
二、填空题本大题7小题,9-12题每题6分,13-15每题4分,共36分,把答案填在题中的横线上.9.已知全集U=R,集合A={x||x|<1},B={x|x>﹣},则A∪B=__________,A∩B=__________,(∁UB)∩A=__________.10.已知圆x2+y2=10,直线x﹣y﹣1=0与圆交于B,C两点,则线段BC的中点坐标为__________,线段BC的长度为__________.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位cm),则该几何体的体积V=__________cm3,表面积S=__________cm2.12.设x、y满足约束条件目标函数z=2x+y的最大值是__________,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10,则+的最小值为__________.13.在数列{an}中,Sn为它的前n项和,已知a2=4,a3=15,且数列{an+n}是等比数列,则Sn=__________.14.设函数和,已知x∈[﹣4,0]时恒有f(x)≤g(x),则实数a的取值范围为__________.15.设非零向量与的夹角是,且,则(t∈R)的最小值是__________.三.解答题本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,B=60°.(Ⅰ)若a=3,B=,求c的值;(Ⅱ)若f(A)=sinA(cosA﹣sinA),求f(A)的最大值.17.如图,四棱锥E﹣ABCD中,面EBA⊥面ABCD,侧面ABE是等腰直角三角形,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2.(Ⅰ)求证AB⊥ED;(Ⅱ)求直线CE与面ABE的所成角的正弦值.18.已知数列{an},Sn是其前n项的且满足(I)求证数列为等比数列;(Ⅱ)记{(﹣1)nSn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.19.已知函数f(x)=﹣x|x﹣a|+1(x∈R).(Ⅰ)当a=1时,求使f(x)=x成立的x的值;(Ⅱ)当a∈(0,3),求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值.20.已知抛物线x2=4y,圆C x2+(y﹣2)2=4,M(x0,y0),(x0>0,y0>0)为抛物线上的动点.(Ⅰ)若y0=4,求过点M的圆的切线方程;(Ⅱ)若y0>4,求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.浙江省杭州市余杭区xx届高考数学仿真试卷(文科)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a,b∈R,则“a>0,b>0”是“a2+b2≥2ab的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题简易逻辑.分析根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可.解答解由a2+b2≥2ab得(a﹣b)2≥0,∀a,b是R恒成立,推不出a>0,b>0,不是必要条件,由“a>0,b>0”能推出“a2+b2≥2ab,是充分条件,故“a>0,b>0”是“a2+b2≥2ab的充分不必要条件,故选A.点评本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是一道基础题.2.向量,,则A.与的夹角为30°B.与的夹角为y=ax﹣a(a>0,a≠1)C.D.∥考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析直接利用向量数量积为0得答案.解答解∵,,∴,∴,故选C.点评本题考查平面向量数量积的坐标运算,是基础的计算题.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5=3,S5=10,则a13的值是A.1B.3C.5D.7考点等差数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析根据条件建立方程组求出首项和公差即可.解答解∵a5=3,S5=10,∴,解得a1=1,d=,则a13=a1+12d=1+12×=1+6=7,故选D.点评本题主要考查等差数列项的计算,根据条件求出数列的首项和公差是解决本题的关键.4.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β考点空间中直线与平面之间的位置关系.专题空间位置关系与距离.分析可通过线面垂直的性质定理,判断A;通过面面平行的性质和线面垂直的性质,判断B;通过面面平行的性质和线面垂直的定义,即可判断C;由线面平行的性质和面面垂直的性质,即可判断D.解答解A.若α⊥β,a⊥α,a⊄β,b⊄β,b⊥α,则a∥b,故A错;B.若a⊥α,α∥β,则a⊥β,又b⊥β,则a∥b,故B错;C.若b⊥β,α∥β,则b⊥α,又a⊂α,则a⊥b,故C正确;D.若α⊥β,b∥β,设α∩β=c,由线面平行的性质得,b∥c,若a∥c,则a∥b,故D错.故选C.点评本题主要考查空间直线与平面的位置关系平行和垂直,考查线面、面面平行、垂直的判定和性质,熟记这些是迅速解题的关键.5.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则A.f(x)在单调递减B.f(x)在(,)单调递减C.f(x)在(0,)单调递增D.f(x)在(,)单调递增考点由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性.专题三角函数的图像与性质.分析利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与ω的关系确定出ω的值,根据函数的偶函数性质确定出φ的值,再对各个选项进行考查筛选.解答解由于f(x)=sin(ωx+ϕ)+cos(ωx+ϕ)=,由于该函数的最小正周期为T=,得出ω=2,又根据f(﹣x)=f(x),得φ+=+kπ(k∈Z),以及|φ|<,得出φ=.因此,f(x)=cos2x,若x∈,则2x∈(0,π),从而f(x)在单调递减,若x∈(,),则2x∈(,),该区间不为余弦函数的单调区间,故B,C,D都错,A正确.故选A.点评本题考查三角函数解析式的确定问题,考查辅助角公式的运用,考查三角恒等变换公式的逆用等问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型.6.函数的y=f(x)图象如图1所示,则函数y=的图象大致是A.B.C.D.考点对数函数的图像与性质.专题综合题.分析本题考查的知识点是对数函数的性质,及复合函数单调性的确定,由对数函数的性质得,外函数y=log
0.5u的底数0<
0.5<1,故在其定义域上为减函数,根据复合函数单调性“同增异减”的原则,不难给出复合函数的单调性,然后对答案逐一进行分析即可.解答解∵
0.5∈(0,1),log
0.5x是减函数.而f(x)在(0,1]上是减函数,在[1,2)上是增函数,故log
0.5f(x)在(0,1]上是增函数,而在[1,2)上是减函数.分析四个图象,只有C答案符合要求故选C点评复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则“同增”的意思是g(x),h(x)在定义域是同增函数或者都是减函数时,f(x)是增函数;“异减”的意思是g(x),h(x)在定义域是一个增函数另一个减函数的时候,f(x)是减函数7.双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是抛物线y2=8x焦点F,两曲线的一个公共点为P,且|PF|=5,则此双曲线的离心率为A.B.C.2D.考点双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c=2,根据抛物线的定义可以求出P的坐标,运用双曲线的定义求得2a=2,然后求得离心率e.解答解抛物线y2=8x焦点F(2,0),准线方程为x=﹣2,设P(m,n),由抛物线的定义可得|PF|=m+2=5,解得m=3,则n2=24,即有P(3,±2),可得左焦点F为(﹣2,0),由双曲线的定义可得2a=|PF|﹣|PF|=﹣=7﹣5=2,即a=1,即有e==2.故选C.点评本题主要考查了双曲线,抛物线的定义和简单性质,主要考查了离心率的求法,解答关键是利用抛物线和双曲线的定义.8.已知函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是A.B.C.D.考点分段函数的应用.专题函数的性质及应用.分析求出函数f(x)=sin()﹣1,(x<0)关于y轴对称的解析式,利用数形结合即可得到结论.解答解若x>0,则﹣x<0,∵x<0时,f(x)=sin()﹣1,∴f(﹣x)=sin(﹣)﹣1=﹣sin()﹣1,则若f(x)=sin()﹣1,(x<0)关于y轴对称,则f(﹣x)=﹣sin()﹣1=f(x),即y=﹣sin()﹣1,x>0,设g(x)=﹣sin()﹣1,x>0作出函数g(x)的图象,要使y=﹣sin()﹣1,x>0与f(x)=logax,x>0的图象至少有3个交点,则0<a<1且满足g
(5)<f
(5),即﹣2<loga5,即loga5>,则5,解得0<a<,故选A点评本题主要考查分段函数的应用,作出函数关于y对称的图象,利用数形结合的思想是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
二、填空题本大题7小题,9-12题每题6分,13-15每题4分,共36分,把答案填在题中的横线上.9.已知全集U=R,集合A={x||x|<1},B={x|x>﹣},则A∪B={x|x>﹣1},A∩B={x|﹣<x<1},(∁UB)∩A={x|x|﹣1<x≤﹣}.考点交、并、补集的混合运算.专题集合.分析根据集合的基本运算进行计算即可.解答解A={x||x|<1}={x|﹣1<x<1},∁UB={x|x≤﹣},则A∪B={x|x>﹣1},A∩B={x|﹣<x<1},(∁UB)∩A={x|﹣1<x≤﹣};故答案为{x|x>1},{x|﹣<x<1},{x|x|﹣1<x≤﹣};点评本题主要考查集合的基本运算,比较基础.10.已知圆x2+y2=10,直线x﹣y﹣1=0与圆交于B,C两点,则线段BC的中点坐标为(,﹣),线段BC的长度为.考点直线与圆相交的性质.专题计算题;直线与圆.分析利用圆心到直线的距离与半径半弦长满足的勾股定理,求出弦长即可.解答解过圆心(0,0),与直线x﹣y﹣1=0垂直的直线方程为x+y=0,联立,可得线段BC的中点坐标为(,﹣);圆的圆心(0,0),到直线BC的距离d=,所以线段BC的长度为2=.故答案为(,﹣);.点评本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式的应用,考查计算能力.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位cm),则该几何体的体积V=cm3,表面积S=cm2.考点由三视图求面积、体积.专题计算题;空间位置关系与距离.分析由三视图可得该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥,根据标识的各棱长及高,代入棱锥体积、表面积公式可得答案.解答解由题意,该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥,所以V==cm3,S=+++=.故答案为;.点评本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积,其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键.12.设x、y满足约束条件目标函数z=2x+y的最大值是14,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10,则+的最小值为5.考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析
①作出不等式对应的平面区域,
①由z=2x+y得y=﹣2x+z,显然y=﹣2x+z过A点时,z最大,将A(4,6)代入求出即可;
②利用线性规划的知识先求出a,b的关系,然后利用基本不等式的性质求出+的最小值即可.解答解由z=ax+by(a>0,b>0)得y=﹣x+,作出可行域如图
①由z=2x+y得y=﹣2x+z,显然y=﹣2x+z过A点时,z最大,由,解得,即A(4,6),∴z最大值=2×4+6=14,
②∵a>0,b>0,∴直线y=﹣x+的斜率为负,且截距最大时,z也最大.平移直线y=﹣x+,由图象可知当y=﹣x+经过点A时,直线的截距最大,此时z也最大.此时z=4a+6b=10,即2a+3b﹣5=0,即+=1,则+=(+)(+)=+++≥+2=+=5,当且仅当=,即a=b=1时,取等号,故+的最小值为5,故答案为14,5.点评本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.13.在数列{an}中,Sn为它的前n项和,已知a2=4,a3=15,且数列{an+n}是等比数列,则Sn=3n﹣.考点数列的求和;等比数列的通项公式.专题等差数列与等比数列.分析根据{an+n}是等比数列,求出{an+n}的公比,然后求出数列{an}的通项公式,利用分组求和法进行求解,即可得到结论.解答解∵{an+n}是等比数列,∴数列{an+n}的公比q==,则{an+n}的通项公式为an+n=(a2+2)•3n﹣2=6•3n﹣2=2•3n﹣1,则an=2•3n﹣1﹣n,则Sn=﹣=3n﹣,故答案为3n﹣点评本题主要考查数列和的计算,根据等比数列的定义求出等比数列的通项公式,利用分组求和法是解决本题的关键.14.设函数和,已知x∈[﹣4,0]时恒有f(x)≤g(x),则实数a的取值范围为(﹣∞,﹣].考点函数恒成立问题.专题函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析已知x∈[﹣4,0]时恒有f(x)≤g(x),对其进行移项,利用常数分离法,可以得出a小于等于一个新函数,求出这个新函数的最小值即可.解答解∵函数f(x)=a﹣和,已知x∈[﹣4,0]时恒有f(x)≤g(x),∴a﹣≤x+1,∴a≤+x+1,令h(x)=+x+1,求出h(x)的最小值即可,∵≥0,(﹣4≤x≤0),y=x+1在[﹣4,0]上为增函数,∴当x=﹣4时,h(x)取得最小值,hmin(x)=h(﹣4)=﹣+1=﹣,∴a≤﹣.故答案为(﹣∞,﹣].点评此题考查函数的恒成立问题,解决此题的关键是利用常数分离法,分离出a,转化为求函数的最值问题.15.设非零向量与的夹角是,且,则(t∈R)的最小值是.考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析对两边平方,便可得到,从而得到,这样根据二次函数的最值公式即可得到的最小值,从而得出的最小值.解答解由条件;∴;∴;∴=;∴的最小值为.故答案为.点评考查数量积的运算及其计算公式,以及二次函数的最值公式.三.解答题本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,B=60°.(Ⅰ)若a=3,B=,求c的值;(Ⅱ)若f(A)=sinA(cosA﹣sinA),求f(A)的最大值.考点三角函数中的恒等变换应用;余弦定理.专题计算题;解三角形.分析(Ⅰ)由余弦定理知b2=a2+c2﹣2ac•cosB,代入a=3,,B=60°,从而有c2﹣3c+2=0,即可解得c=1或2;(Ⅱ)由二倍角公式得,整理有,即可求f(A)的最大值.解答解(Ⅰ)由b2=a2+c2﹣2ac•cosB,a=3,,B=60°可解得c2﹣3c+2=0∴可解得c=1或2;(Ⅱ)由二倍角公式得∴,当时,f(A)最大值为.点评本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,余弦定理的应用,属于基本知识的考查.17.如图,四棱锥E﹣ABCD中,面EBA⊥面ABCD,侧面ABE是等腰直角三角形,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2.(Ⅰ)求证AB⊥ED;(Ⅱ)求直线CE与面ABE的所成角的正弦值.考点直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.专题空间位置关系与距离.分析(Ⅰ)作EM⊥AB,交AB于M,连结DM,由已知得四边形BCDM是边长为1的正方形,由此能证明AB⊥ED.(Ⅱ)由已知得BC⊥面ABE,直线CE与面ABE所成角为∠CEB,由此能求出直线CE与面ABE的所成角的正弦值.解答(Ⅰ)证明作EM⊥AB,交AB于M,连结DM,∵△ABE为等腰直角三角形,∴M为AB的中点,∵AB=2CD=2BC=2,AB∥CD,AB⊥BC,∴四边形BCDM是边长为1的正方形,∴AB⊥DM,∵EM∩DM=M,∴AB⊥面DEM,∴AB⊥ED.(Ⅱ)解∵AB⊥BC,面ABE⊥面ABCD,面ABE∩平面ABCD=AB,∴BC⊥面ABE,直线CE与面ABE所成角为∠CEB,∵BC=1,BE=,∴CE=,∴sin∠CEB=.点评本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.18.已知数列{an},Sn是其前n项的且满足(I)求证数列为等比数列;(Ⅱ)记{(﹣1)nSn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.考点数列的求和;等比关系的确定.专题等差数列与等比数列.分析(I)通过与3an+1=2Sn+1+n+1作差、整理可得an+1+=3(an+),进而可得结论;(Ⅱ)通过(I)可知当n=2k﹣1时bn=﹣(3n﹣1),当n=2k时bn=(3n﹣1),进而数列{ck=b2k﹣1+b2k}的前n项和Qn=(9n﹣1),利用Tn=+bn(n为奇数)、Tn=(n为偶数),计算即得结论.解答(I)证明∵,∴3an+1=2Sn+1+n+1,两式相减得3an+1﹣3an=2an+1+1,整理得an+1=3an+1,∴an+1+=3(an+),又∵3a1=2a1+1,∴a1=1,a1+=1+=,∴数列是以为首项、3为公比的等比数列;(Ⅱ)解由(I)可知Sn==(3n﹣1),记bn=(﹣1)nSn,对n分奇数、偶数讨论当n=2k﹣1时,bn=﹣Sn=﹣(3n﹣1);当n=2k时,bn=Sn=(3n﹣1);记ck=b2k﹣1+b2k,则ck=﹣(32k﹣1﹣1)+(32k﹣1)=﹣•32k++•32k﹣=•9k,∴数列{ck}的前n项和Qn==(9n﹣1),∴当n为奇数时,Tn=+bn=(﹣1)﹣(3n﹣1)=﹣•3n+1;当n为偶数时,Tn==•3n﹣;综上所述,Tn=.点评本题考查等比数列的判定,考查数列的前n项和,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.19.已知函数f(x)=﹣x|x﹣a|+1(x∈R).(Ⅰ)当a=1时,求使f(x)=x成立的x的值;(Ⅱ)当a∈(0,3),求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值.考点分段函数的应用;函数的最值及其几何意义.专题函数的性质及应用.分析(Ⅰ)当a=1时,f(x)=﹣x|x﹣1|+1=,依题意,可得,解之即可;(Ⅱ)当a∈(0,3),作出函数y=f(x)的图象,分0<a≤
1、1<a<2与2≤a<3三类讨论,数形结合,即可求得函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值;解答解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=﹣x|x﹣1|+1=,由f(x)=x可得.解得x=1,(Ⅱ)f(x)=,作出示意图,注意到几个关键点的值f
(0)=f(a)=1,f()=1﹣,当0<a≤1时,f(x)在[1,2]上单调递减,函数的最大值为f
(1)=a;1<a<2时,f(x)在[1,a]上单调递增,在[a,2]上单调递减,函数的最大值为f(a)=1;当2≤a<3时,f(x)在[1,]上单调递减,在[,2]上单调第增,且直线x=是函数的对称轴,由于(2﹣)﹣(﹣1)=3﹣a>0,故函数的最大值为f
(2)=5﹣2a.综上可得,f(x)max=.点评本题考查绝对值不等式的解法,着重考查二次函数在闭区间上的最值,综合考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想,考查逻辑思维、抽象思维、创新思维的综合运用,是难题20.已知抛物线x2=4y,圆C x2+(y﹣2)2=4,M(x0,y0),(x0>0,y0>0)为抛物线上的动点.(Ⅰ)若y0=4,求过点M的圆的切线方程;(Ⅱ)若y0>4,求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.考点圆与圆锥曲线的综合;基本不等式;点到直线的距离公式;圆的切线方程.专题综合题.分析(I)当点M坐标为(4,4)时,设切线kx﹣y+4﹣4k=0,圆心到切线的距离,由此能求出切线方程.(Ⅱ)设切线y﹣y0=k(x﹣x0),切线与x轴交于点(),圆心到切线的距离,由此能求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.解答解(I)∵y0=4,∴x0=4,当点M坐标为(4,4)时,设切线y﹣4=k(x﹣4)即kx﹣y+4﹣4k=0圆心到切线的距离,,3k2﹣4k=0,解得k=0或k=.∴切线方程为y=4或4x﹣3y﹣4=0.(Ⅱ)设切线y﹣y0=k(x﹣x0),即kx﹣y+y0﹣kx0=0,切线与x轴交于点(),圆心到切线的距离,∴4+y02+k2x02﹣4y0+4kx0﹣2x0y0k=4k2+4,化简得(x02﹣4)k2+2x0(2﹣y0)k+y02﹣4y0=0,设两切线斜率分别为k1,k2,则,,===2[]≥=32.当且仅当,即y0=8时取等号.故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32.点评本题考查直线与抛物线的综合运用,具体涉及到抛物线的基本性质及应用,直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识,轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用,易错点是均值定理的应用.解题时要认真审题,仔细解答.。