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2019-2020年高三数学下学期第5次测试试题理
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.复数的共轭复数=(C)A.B.C.D.
2.不等式组的解集用数轴表示为(B)
3.如右图所示的程序框图.若两次输入的值分别为和,则两次运行程序输出的值分别为(A)A.,B.,C.D.,
4.双曲线的一个焦点到它的一条渐近线距离满足,则该双曲线的离心率的取值范围为(D)A.B.C.D.
5.已知,为两条不同的直线,为两个不同的平面下列命题中正确的是(D)A.且则B.若平面内有不共线的三点到平面的距离相等则C.若则D.若则
6.若锐角满足,则的值是(B)A.B.C.D.
7.如图是一台微波炉的操作界面.若一个两岁小孩触碰五个按钮是等可能的,则他不超过两次按钮启动微波炉的概率为(B)A.B.C.D.
8.下列命题中真命题的个数为(B)
①使得.
②锐角中,恒有.
③不等式成立的充要条件为A.B.C.D.
9.(理)二项式展开式的二项式系数之和为,则展开式第四项的系数为CA.B.C.D.
10.平行四边形中,点为中点,连接且交于点.若,则(C)A.B.C.D.
11.已知集合,则任取,关于的方程无实根的概率(D)A.B.C.D.
12.理某几何体的三视图如右所示,若该几何体的外接球的表面积为,则正视图中AA.B.C.D.第Ⅱ卷
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,把答案填在答题卡中的指定位置)13.对于的命题,下面四个判断
①若,则;
②若,则;
③若,则;
④若,则其中正确命题的序号为___
③④__________.15在中,角的对边分别为a,b,c.已知,且a,b,c成等比数列.则.15.已知实数满足,当时,目标函数的最大值函数的最小值为_____________.16.将正奇数按右表的方式进行排列,记表示第行第列的数,若,则的值为.
三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将大体的过程写在答题卷中指定的位置)
17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且,对任意N,都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.解
(1)…
①…
②由
②①得,,即…
③;又,即…
④综合
③、
④可得对有成立.数列是以为首项,公差的等差数列.所以数列的通项公式为.
(2)数列满足,,,.…
⑤…
⑥由
⑤⑥可得,18.某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取12名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶1指出这组数据的众数和中位数;2若幸福度不低于
9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这12人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;3以这12人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区人数很多任选2人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望.
18.解
(1)众数
8.6;中位数
8.7;……………………………2分
(2)设表示所取3人中有个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件,则;…………………6分
(3)的可能取值为0,1,
2.;;;…….10分所以的分布列为………..……….…12分另解的可能取值为0,1,
2.则,所以.
19.已知四边形是菱形,点为线段上的任一点.1若求与面所成角的正切值;2若二面角的平面角的余弦值为,求线段的长.解析
(1)为四边形的两条对角线,.又,.且,.再且,.与面所成角为.由条件,
(2)如图建立空间直角坐标系,则,易求得面的一个法向量.设线段的长为,,,设面的一个法向量.由,可得,由,,令,可得由
(2)已知面面的一个法向量,再因二面角的平面角的余弦值为,,可解得,即线段的长为.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C经过点,离心率,直线的方程为.1求椭圆C的方程;2AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线与l相交于点M,记PAPBPM的斜率分别为,问是否存在常数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由20.解
(1)由点在椭圆上得,
①②由
①②得,故椭圆的方程为……………………..4分
(2)假设存在常数,使得.由题意可设
③代入椭圆方程并整理得设,则有
④……………6分在方程
③中,令得,,从而.又因为共线,则有,即有所以=
⑤将
④代入
⑤得,又,所以故存在常数符合题意……………………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)已知函数,当时,有极大值1求实数的值;2若存在,使得成立,求实数的取值范围21.解
(1)当时,,则,所以(2分)因为,所以(4分)
(2)因为存在,使得,所以问题可转化为当时,由
(1)知,当时,令得或当x变化时,,fx变化情况如下表x-100-0+0-fx极小值极大值又f-1=2f=f0=0所以fx在[-11上的最大值为2(6分)当时,fx=alnx当时,,所以fx的最大值为0当a0时,fx在
[12]上单调递增,所以fx在
[12]上的最大值为aln28分由此可知,当时,fx在[-12]上的最大值为2;由得当a0时,若即时,fx在区间[-12]上的最大值为2;由得(10分)若即时,fx在区间[-12]上的最大值为由得综上可知,a的取值范围为(12分)请考生在
22、
23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按题号最前的一题给分.
22.(本小题满分10分)如图所示,是圆O的内接三角形,AC=BC,D为弧AB上任一点,延长DA至点E,使CE=CD.I求证BD=AEⅡ若,求证.
23.本小题满分10分极坐标系中,已知点,的极坐标分别为,,点是平面内一动点,且,动点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;(Ⅱ)以极点为直角坐标系原点,极轴为正半轴建立直角坐标系,设点在曲线上移动,求式子范围解(Ⅰ)设点,则,,由,得,得,所以曲线的极坐标方程为.(Ⅱ)由互化公式,曲线的直角坐标方程为,令,则直线系与圆有公共点,则,则
24.本小题满分10分设函数().(Ⅰ)当时,求函数的值域;(Ⅱ)当时,存在,使得成立,求实数的取值范围.解(Ⅰ)当时,,所以,所以函数的值域是.(Ⅱ)当时,,因存在,使得成立,所以,即,所以实数的取值范围是.。