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2019-2020年高三数学下学期第三次月考试卷理(含解析)
一、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题5分,共40分.)1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.180B.240C.276D.300 2.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,给出四个命题
①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则α⊥β
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β其中正确的命题是( ) A.
①②B.
②③C.
①④D.
②④ 3.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( ) A.B.C.D. 4.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( ) A.2B.1C.D. 5.已知F1和F2分别是双曲线(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.D.2 6.已知双曲线C1=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C2x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( ) A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y 7.抛物线C1的焦点与双曲线C2的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( ) A.B.C.D. 8.已知椭圆E的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( ) A.B. C.D.
二、填空题(每小题0分,共30分.)015春•天津校级月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1(n∈N*),且a1=1,则通项公式an= . 1015春•天津校级月考)圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(﹣2,0)、B(﹣4,0),则圆C的方程为 . 1015春•天津校级月考)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则•= . 1015春•天津校级月考)已知cos(x﹣)=﹣,则cosx+cos(x﹣)= . 1015春•天津校级月考)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点,则实数c的取值范围是 . 1015春•天津校级月考)点F是椭圆E的左焦点,过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点,若△AOB的面积为,则直线l的斜率是 .
三、解答题(15-18每小题0分,19-20每小题0分,共80分.)1015春•天津校级月考)一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球,从中任意取出3个球.(Ⅰ)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率;(Ⅱ)记X为取出的3个球中编号的最大值,求X的分布列与数学期望. 1013•铁岭模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,(Ⅰ)求B的值;(Ⅱ)求2sin2A+cos(A﹣C)的范围. 1014•东莞二模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证EF∥平面PAD;(Ⅱ)求证面PAB⊥平面PDC;(Ⅲ)在线段AB上是否存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为?说明理由. 1014•河北区三模)已知函数f(x)=.(Ⅰ)若a=2,求f(x)在(1,f
(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最小值;(Ⅲ)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围. 1014•天津三模)已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.
(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Tn,证明n∈N*且n≥3时,Tn>;
(3)设数列{cn}满足an(cn﹣3n)=(﹣1)n﹣1λn(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn. xx•和平区一模)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点,设P(﹣4,0),连接PA交椭圆C于另一点E,求证直线BE与x轴相交于定点M;(III)设O为坐标原点,在(II)的条件下,过点M的直线交椭圆C于S、T两点,求•的取值范围. xx学年天津市南开中学高三(下)第三次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题5分,共40分.)1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.180B.240C.276D.300考点由三视图求面积、体积.专题计算题.分析由三视图可知几何体复原后,上部是四棱锥,下部是正方体,利用三视图的数据,求出几何体的表面积即可.解答解由题意可知几何体复原后,上部是四棱锥,下部是正方体,四棱锥的底面是边长为6的正方形,侧面斜高为5;下部是棱长为6的正方体,所以几何体的表面积为5个正方形的面积加上棱锥的侧面积,即5×6×6+4××4=240.故选B.点评本题考查几何体与三视图的关系,几何体的表面积的求法,考查计算能力. 2.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,给出四个命题
①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则α⊥β
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β其中正确的命题是( ) A.
①②B.
②③C.
①④D.
②④考点命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系.专题空间位置关系与距离.分析由面面垂直的判定定理,可判断
①的真假;由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征,可以判断
②的真假;由面面垂直的判定定理,及线面垂直的几何特征,可以判断
③的真假;根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可以判断
④的真假.解答解
①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,如图,则α与β不一定垂直,故
①为假命题;
②若m⊥α,m⊥β,根据垂直于同一条直线的两个平面平行,则α∥β;故
②为真命题;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β,故
③为真命题;
④若m∥α,n∥β,m∥n,如图,则α与β可能相交,故
④为假命题.故选B.点评本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键. 3.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( ) A.B.C.D.考点直线与平面所成的角.专题空间位置关系与距离;空间角.分析利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1=即可得出.解答解如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵==.∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴==1,在Rt△AA1P中,,∴.故选B.点评熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键. 4.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( ) A.2B.1C.D.考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.解答解不等式组表示的区域如图,当M取得点A(3,﹣1)时,z直线OM斜率取得最小,最小值为k==﹣.故选C.点评本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题. 5.已知F1和F2分别是双曲线(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.D.2考点双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析连接AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°,F2F1=2c,AF1=c,AF2=c,由双曲线的定义可知AF2﹣AF1=c﹣c=2a,变形可得离心率的值.解答解连接AF1,可得∠AF2F1=30°,∠F1AF2=90°,由焦距的意义可知F2F1=2c,AF1=c,由勾股定理可知AF2=c,由双曲线的定义可知AF2﹣AF1=2a,即c﹣c=2a,变形可得双曲线的离心率==+1故选C.点评本题考查双曲线的性质,涉及直角三角形的性质,属中档题. 6.已知双曲线C1=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C2x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( ) A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y考点抛物线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析利用双曲线C1=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的2倍,推出a,b的关系,求出抛物线的焦点坐标,通过点到直线的距离求出p,即可得到抛物线的方程.解答解∵双曲线C1=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的2倍,∴c=2a,即=4,∴,双曲线的一条渐近线方程为.抛物线C2x2=2py(p>0)的焦点(0,)到双曲线C1的渐近线的距离为2,∴2=,∵,∴p=8.∴抛物线C2的方程为x2=16y.故选D.点评本题考查抛物线的简单性质,点到直线的距离公式,双曲线的简单性质,考查计算能力. 7.抛物线C1的焦点与双曲线C2的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( ) A.B.C.D.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.解答解由,得x2=2py(p>0),所以抛物线的焦点坐标为F().由,得,.所以双曲线的右焦点为(2,0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即
①.设该直线交抛物线于M(),则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知,得,代入M点得M()把M点代入
①得.解得p=.故选D.点评本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题. 8.已知椭圆E的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( ) A.B. C.D.考点椭圆的标准方程.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.解答解设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选D.点评熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.
二、填空题(每小题0分,共30分.)015春•天津校级月考)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1(n∈N*),且a1=1,则通项公式an= .考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析通过an+1=Sn+1﹣Sn,可得该数列从第2项起的公比为,进而可得结论.解答解∵Sn=2an+1(n∈N*),∴Sn+1=2an+2,两式相减得an+1=2an+2﹣2an+1,整理得=,又∵a1=1,∴a1+a2=2a2,即a2=,∴,故答案为.点评本题考查求数列的通项,注意解题方法的积累,属于基础题. 1015春•天津校级月考)圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(﹣2,0)、B(﹣4,0),则圆C的方程为 (x+3)2+(y﹣2)2=5 .考点圆的标准方程.专题计算题;直线与圆.分析由条件求得圆心的坐标为C(﹣3,2),半径r=|AC|=,从而得到圆C的方程.解答解析直线AB的中垂线方程为x=﹣3,代入直线x﹣2y+7=0,得y=2,故圆心的坐标为C(﹣3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=,∴圆C的方程为(x+3)2+(y﹣2)2=5.故答案为(x+3)2+(y﹣2)2=5点评本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系的应用,属于中档题. 1015春•天津校级月考)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则•= 1 .考点平面向量数量积的运算.专题平面向量及应用.分析由题意可得||=||=2,且与的夹角∠BAD=60°,用与作基底表示要求的向量,由数量积的运算可得.解答解由题意可得||=||=2,且与的夹角∠BAD=60°,由向量的运算可得=+=+,=﹣,∴•=(+)•(﹣)=﹣﹣=22﹣×2×2×﹣×22=1故答案为1点评本题考查平面向量的数量积,涉及平面向量基本定理,属基础题. 1015春•天津校级月考)已知cos(x﹣)=﹣,则cosx+cos(x﹣)= ﹣1 .考点两角和与差的余弦函数.专题三角函数的求值.分析由和差角的三角函数公式可得cosx+cos(x﹣)=cosx+cosx+sinx=cos(x﹣),代入已知数据可得.解答解∵cos(x﹣)=﹣,∴cosx+cos(x﹣)=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=(cosx+sinx)=cos(x﹣)=﹣1故答案为﹣1点评本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题. 1015春•天津校级月考)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有三个公共点,则实数c的取值范围是 (﹣2,2) .考点利用导数研究函数的极值.专题导数的概念及应用.分析由题意,根据根的存在性定理知,只需使函数f(x)的极大值与极小值符号相反即可.解答解令f′(x)=3x2﹣3=0解得,x=1或x=﹣1,∵函数f(x)=x3﹣3x+c的图象与x轴恰好有三个不同的公共点,∴f
(1)f(﹣1)<0,即(c﹣2)(c+2)<0,则﹣2<c<2,故答案为(﹣2,2).点评本题考查了函数的图象与性质,利用导数求极值及根的存在性定理. 1015春•天津校级月考)点F是椭圆E的左焦点,过点F且倾斜角是锐角的直线l与椭圆E交于A、B两点,若△AOB的面积为,则直线l的斜率是 .考点椭圆的简单性质.专题直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析求出椭圆的a,b,c,求得F的坐标,设直线AB x=my﹣4,(m>0),代入椭圆方程,可得(25+9m2)y2﹣72my﹣81=0,运用韦达定理,由△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=,两边平方,化简整理,解方程即可得到m,进而得到直线l的斜率.解答解椭圆E的a=5,b=3,c=4,则F(﹣4,0),设直线AB x=my﹣4,(m>0),代入椭圆方程,可得(25+9m2)y2﹣72my﹣81=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=,y1y2=,则|y1﹣y2|2=(y1+y2)2﹣4y1y2=()2﹣4•=,则△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=,两边平方可得,16•=81,解得m=,即有直线l的斜率为,故答案为.点评本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,考查化简运算能力,属于中档题.
三、解答题(15-18每小题0分,19-20每小题0分,共80分.)1015春•天津校级月考)一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球,从中任意取出3个球.(Ⅰ)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率;(Ⅱ)记X为取出的3个球中编号的最大值,求X的分布列与数学期望.考点离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.专题概率与统计.分析(Ⅰ)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A,利用古典概型的概率公式求解即可.(Ⅱ)X的取值可能是2,3,4,5,分别分别求出概率得到分布列,然后求解期望即可.解答解(Ⅰ)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A,则P(A)==.(Ⅱ)X的取值为2,3,4,5.=,=,=,=.所以X的分布列为X2345PX的数学期望EX=2×+3×+4×=.点评本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查古典概型概率的求法,考查计算能力. 1013•铁岭模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,(Ⅰ)求B的值;(Ⅱ)求2sin2A+cos(A﹣C)的范围.考点正弦定理;等差数列;三角函数的定义域.专题计算题.分析(Ⅰ)根据等差数列的性质可知acosC+ccosA=2bcosB,利用正弦定理把边转化成角的正弦,化简整理得sinB=2sinBcosB,求得cosB,进而求得B.(Ⅱ)先利用二倍角公式对原式进行化简整理,进而根据A的范围和正弦函数的单调性求得2sin2A+cos(A﹣C)的范围.解答解(Ⅰ)∵acosC,bcosB,ccosA成等差数列,∴acosC+ccosA=2bcosB,由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入得2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB,即sin(A+C)=sinB,∴sinB=2sinBcosB,又在△ABC中,sinB≠0,∴,∵0<B<π,∴;(Ⅱ)∵,∴∴==,∵,∴∴2sin2A+cos(A﹣C)的范围是.点评本题主要考查了正弦定理的应用.解题的关键就是利用了正弦定理把边的问题转化成了角的问题,利用三角函数的特殊性质求得答案. 1014•东莞二模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证EF∥平面PAD;(Ⅱ)求证面PAB⊥平面PDC;(Ⅲ)在线段AB上是否存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为?说明理由.考点平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.专题空间位置关系与距离;空间角.分析(I)证明连接AC,则F是AC的中点,E为PC的中点,证明EF∥PA,留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD;(II)先证明CD⊥PA,然后证明PA⊥PD.利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD,最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC.(III)假设在线段AB上,存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为,然后以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设G(1,a,0)(0≤a≤2).利用空间向量的坐标运算求出a值,即可得出结论.解答证明(Ⅰ)连结AC∩BD=F,ABCD为正方形,F为AC中点,E为PC中点.∴在△CPA中,EF∥PA…(2分)且PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…(4分)(Ⅱ)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD.∴CD⊥PA…(6分)又PA=PD=AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=90° 即PA⊥PDCD∩PD=D,且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB,∴面PAB⊥面PDC.…..(9分)(Ⅲ)如图,取AD的中点O,连结OP,OF.∵PA=PD,∴PO⊥AD.∵侧面PAD⊥底面ABCD,面PAD⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD,而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF∥AB,又ABCD是正方形,故OF⊥AD.∵PA=PD=AD,∴PA⊥PD,OP=OA=1.以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有A(1,0,0),F(0,1,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,1).若在AB上存在点G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为,连结PG,DG设G(1,a,0)(0≤a≤2).由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为=(1,0,﹣1).设平面PGD的法向量为=(x,y,z).∵=(1,0,1),=(﹣2,﹣a,0),∴由,=0可得,令x=1,则y=﹣,z=﹣1,故=(1,﹣,﹣1),∴cos==,解得,a=.所以,在线段AB上存在点G(1,,0),使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为.…(14分)点评本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法,考查逻辑推理能力. 1014•河北区三模)已知函数f(x)=.(Ⅰ)若a=2,求f(x)在(1,f
(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最小值;(Ⅲ)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点;利用导数求闭区间上函数的最值.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)把a=2代入可得f′
(1)=﹣1,f
(1)=,进而可得方程,化为一般式即可;(Ⅱ)可得x=为函数的临界点,分≤1,1<<e,,三种情形来讨论,可得最值;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a≤1或a≥e2时,不合题意,当1<a<e2时,需,解之可得a的范围.解答解(I)当a=2时,f(x)=,f′(x)=x﹣,∴f′
(1)=﹣1,f
(1)=,故f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为y﹣=﹣(x﹣1)化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..(3分)(Ⅱ)求导数可得f′(x)=x﹣=由a>0及定义域为(0,+∞),令f′(x)=0,解得x=,
①若≤1,即0<a≤1,在(1,e)上,f′(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增,因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f
(1)=.
②若1<<e,即1<a<e2,在(1,)上,f′(x)<0,f(x)单调递减;在(,e)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f()=,
③若,即a≥e2在(1,e上,f′(x)<0,f(x)在[1,e]上单调递减,因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)=.综上,当0<a≤1时,fmin(x)=;当1<a<e2时,fmin(x)=;当a≥e2时,fmin(x)=.….(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a≤1或a≥e2时,f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当1<a<e2时,要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,则即,此时,e<a<.所以,a的取值范围为(e,)…..(13分)点评本题考查利用导数研究函数的切线,涉及函数的零点和闭区间的最值,属中档题. 1014•天津三模)已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣+2(n∈N*),数列{bn}满足bn=2nan.
(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Tn,证明n∈N*且n≥3时,Tn>;
(3)设数列{cn}满足an(cn﹣3n)=(﹣1)n﹣1λn(λ为非零常数,n∈N*),问是否存在整数λ,使得对任意n∈N*,都有cn+1>cn.考点等差数列的性质;数列与不等式的综合.专题等差数列与等比数列.分析
(1)由已知条件推导出2nan=2n﹣1an﹣1+1.由此能证明{数列bn}是首项和公差均为1的等差数列.从而求出an=.
(2)由
(1)知=(n+1)•()n,利用错位相减法能求出Tn=3﹣.再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时,Tn>.
(3)由an(cn﹣3n)=(﹣1)n﹣1λn可求得cn,对任意n∈N+,都有cn+1>cn即cn+1﹣cn>0恒成立,整理可得(﹣1)n﹣1•λ<()n﹣1,分n为奇数、偶数两种情况讨论,分离出参数λ后转化为函数最值即可解决.解答
(1)证明在Sn=﹣an﹣+2(n∈N*)中,令n=1,得S1=﹣a1﹣1+2=a1,解得a1=,当n≥2时,Sn﹣1=﹣an﹣1﹣()n﹣2+2,∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+()n﹣1,∴2an=an﹣1+()n﹣1,即2nan=2n﹣1an﹣1+1.∵bn=2nan,∴bn=bn﹣1+1,即当n≥2时,bn﹣bn﹣1=1,又b1=2a1=1,∴{数列bn}是首项和公差均为1的等差数列.于是bn=1+(n﹣1)•1=n=2nan,∴an=.
(2)证明∵,∴=(n+1)•()n,∴Tn=2×+3×()2+…+(n+1)×()n,
①=2×()2+3×()3+…+(n+1)×()n+1,
②①﹣
②,得=1+=1+﹣(n+1)•()n+1=,∴Tn=3﹣.∴Tn﹣=3﹣=,∴确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时,Tn>.
①当n=3时,23>2×3+1,成立
②假设当n=k(k≥3)时,2k>2k+1成立,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k﹣1)>2(k+1)+1,∴当n=k+1时,也成立.于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立∴n∈N*且n≥3时,Tn>.
(3)由,得=3n+(﹣1)n﹣1•λ•2n,∴cn+1﹣cn=[3n+1+(﹣1)n•λ•2n+1]﹣[3n+(﹣1)n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ(﹣1)n﹣1•2n>0,∴,
①当n=2k﹣1,k=1,2,3,…时,
①式即为λ<,
②依题意,
②式对k=1,2,3…都成立,∴λ<1,当n=2k,k=1,2,3,…时,
①式即为
③,依题意,
③式对k=1,2,3…都成立,∴,∴,又λ≠0,∴存在整数λ=﹣1,使得对任意n∈N*有cn+1>cn.点评本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识,考查恒成立问题,考查转化思想,错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容,要熟练掌握. xx•和平区一模)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,它的一个顶点恰好是抛物线x2=4的焦点.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点,设P(﹣4,0),连接PA交椭圆C于另一点E,求证直线BE与x轴相交于定点M;(III)设O为坐标原点,在(II)的条件下,过点M的直线交椭圆C于S、T两点,求•的取值范围.考点直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线中的最值与范围问题.分析
(1)由抛物线x2=4得焦点.设椭圆方程为.由题意可得,再利用及a2=b2+c2即可得出;
(2)由题意可知直线PA的斜率存在,设直线PA的方程为y=k(x+4),与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系.设点A(x1,y1),E(x2,y2),则B(x1,﹣y1).直线BE的方程为.把y1,y2分别用x1,x2表示,在代入直线BE的方程即可得出;
(3)当过点M的直线斜率存在时,设直线ST的方程为y=m(x+1),且S(x3,y3),T(x4,y4)在椭圆C上,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式,再利用向量的数量积,即可得出其其中范围.当过点M的直线斜率不存在时,比较简单.解答
(1)解由抛物线x2=4得焦点.设椭圆方程为.由题意可得,解得,∴椭圆的方程为.
(2)证明由题意可知直线PA的斜率存在,设直线PA的方程为y=k(x+4),联立,消去y得到(4k2+3)x2+32k2x+64k2﹣12=0
①设点A(x1,y1),E(x2,y2),则B(x1,﹣y1).直线BE的方程为.令y=0,则,把y1=k(x1+4),y2=k(x2+4)代入上式并整理得.
②由
①得,,将其代入
②并整理得.∴直线BE与x轴相交于定点M(﹣1,0).
(3)当过点M的直线斜率存在时,设直线ST的方程为y=m(x+1),且S(x3,y3),T(x4,y4)在椭圆C上,联立得(4m2+3)x2+8m2x+4m2﹣12=0,则△=(8m2)2﹣4(4m2+3)(4m2﹣12)=144(m2+1)>0.∴,,∴=m2(x3x4+x3+x4+1)=﹣.∴=x3x4+y3y4==﹣.由m2≥0得.当过点M的直线斜率不存在时,直线ST的方程为x=﹣1,,,此时,,∴•的取值范围为.点评本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能,考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力. 。