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2019-2020年高三数学下学期第六次模拟试卷理(含解析)一.选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=A.{}B.{2}C.{1}D.∅2.在复平面内,复数z=的共轭复数的虚部为A.B.﹣C.iD.﹣i3.执行如图所示的程序框图,输出的T=A.29B.44C.52D.624.已知点A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),则向量在方向上的投影为A.B.C.D.5.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值等于A.126B.130C.132D.1346.设曲线y=在点(,1)处的切线与直线x﹣ay+1=0平行,则实数a等于A.﹣1B.1C.﹣2D.27.一个几何体得三视图如图所示,则该几何体的体积为A.B.C.D.58.设x、y满足,则z=x+yA.有最小值2,最大值3B.有最大值3,无最大值C.有最小值2,无最大值D.既无最小值,也无最大值9.将5名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则不同的分配方案共有种.A.80种B.120种C.140种D.50种10.已知α,β∈(,2π),满足tan(α+β)﹣2tanβ=0,则tanα的最小值是A.B.﹣C.﹣D.11.直线l交椭圆=1于M、N两点,椭圆的上顶点为B点,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是A.2x﹣3y﹣9=0B.3x﹣2y﹣11=0C.3x+2y﹣7=0D.x﹣y﹣5=012.已知函数f(x)=,当2<a≤3时,则方程f(2x2+x)=a的根最多个数是A.4B.5C.6D.7二.填空题本大题共4小题,每小题5分.13.设n=10sinxdx,则(﹣)n展开式中的常数项为__________(用数字作答)14.如图,设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A,与x轴正半轴的交点为B,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M,随机往M内投一点,则点P落在△AOB内的概率是__________.15.若正三棱柱的底面边长为2,高为2,则此正三棱柱的外接球的体积为__________.16.点P为双曲线=1的右支上任意一点,由P向两条渐近线作平行线交渐近线于M、N两点,若平行四边形OMPN面积为3,则双曲线的离心率为__________.三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,已知acos2+ccos2=b
(1)求证a、b、c成等差数列;
(2)若B=,S=4求b.18.为检测某种零件的生产质量,检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分.若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件,评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰,评分结果在(40,60]内的零件可能被修复也可能被淘汰.(I)已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示.请根据此频率分布直方图,估计这200个零件评分结果的平均数和中位数;(Ⅱ)根据已有的经验,可能被修复的零件个体被修复的概率如表零件评分结果所在区间(40,50](50,60]每个零件个数被修复的概率假设每个零件被修复与否相互独立.现有5个零件的评分结果为(单位分)38,43,45,52,58,记这5个零件被修复的个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.19.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证AB⊥平面PBC;(Ⅱ)求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小.20.已知椭圆C=1(a>b>0)过点P(1,),离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设F
1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.21.已知函数f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=+x,m∈R令F(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)当m=时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若关于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值;(Ⅲ)若m=﹣2,正实数x1,x2满足F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明x1+x2.请考生在第
22、
23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修4-1几何证明选讲22.如图,已知圆O的两弦AB和CD相交于点E,FG是圆O的切线,G为切点,EF=FG.求证(Ⅰ)∠DEF=∠EAD;(Ⅱ)EF∥CB.选修4-4坐标系与参数方程23.在极坐标系中,设圆C1ρ=4cosθ与直线lθ=(ρ∈R)交于A,B两点.(Ⅰ)求以AB为直径的圆C2的极坐标方程;(Ⅱ)在圆C1任取一点M,在圆C2上任取一点N,求|MN|的最大值.选修4-5不等式选讲24.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.(Ⅰ)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;(Ⅱ)若当x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.吉林省实验中学xx届高考数学六模试卷(理科)一.选择题本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,},集合B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=A.{}B.{2}C.{1}D.∅考点交集及其运算.专题集合.分析将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值,确定出B,求出A与B的交集即可.解答解当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=时,y=,∴B={1,4,},∴A∩B={1}.故选C.点评此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.在复平面内,复数z=的共轭复数的虚部为A.B.﹣C.iD.﹣i考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析由复数代数形式的除法运算化简复数z,求出其共轭复数,则答案可求.解答解∵z==,∴,∴复数z=的共轭复数的虚部为.故选A.点评本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.执行如图所示的程序框图,输出的T=A.29B.44C.52D.62考点循环结构.专题算法和程序框图.分析执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,T,n的值,当S=12,n=4,T=29时,满足条件T>2S,退出循环,输出T的值为29.解答解执行程序框图,有S=3,n=1,T=2,不满足条件T>2S,S=6,n=2,T=8不满足条件T>2S,S=9,n=3,T=17不满足条件T>2S,S=12,n=4,T=29满足条件T>2S,退出循环,输出T的值为29.故选A.点评本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查.4.已知点A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),则向量在方向上的投影为A.B.C.D.考点平面向量数量积的含义与物理意义.专题平面向量及应用.分析先求出向量、,根据投影定义即可求得答案.解答解,,则向量方向上的投影为•cos<>=•===,故选A.点评本题考查平面向量数量积的含义与物理意义,考查向量投影定义,属基础题,正确理解相关概念是解决问题的关键.5.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值等于A.126B.130C.132D.134考点等比数列的性质;等比数列的前n项和.专题计算题.分析由题意可知,lga3=b3,lga6=b6再由b3,b6,用a1和q表示出a3和b6,进而求得q和a1,根据{an}为正项等比数列推知{bn}为等差数列,进而得出数列bn的通项公式和前n项和,可知Sn的表达式为一元二次函数,根据其单调性进而求得Sn的最大值.解答解由题意可知,lga3=b3,lga6=b6.又∵b3=18,b6=12,则a1q2=1018,a1q5=1012,∴q3=10﹣6.即q=10﹣2,∴a1=1022.又∵{an}为正项等比数列,∴{bn}为等差数列,且d=﹣2,b1=22.故bn=22+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+24.∴Sn=22n+×(﹣2)=﹣n2+23n=+.又∵n∈N*,故n=11或12时,(Sn)max=132.点评本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.6.设曲线y=在点(,1)处的切线与直线x﹣ay+1=0平行,则实数a等于A.﹣1B.1C.﹣2D.2考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的概念及应用.分析利用直线平行斜率相等求出切线的斜率,再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率,列出方程即得.解答解∵切线与直线x﹣ay+1=0平行,斜率为,又y==,所以切线斜率k=f′()=﹣1,所以x﹣ay+1=0的斜率为﹣1,即=﹣1,解得a=﹣1.故选A.点评此题主要考查导数的计算,以及利用导数研究曲线上某点切线方程,属于基础题.7.一个几何体得三视图如图所示,则该几何体的体积为A.B.C.D.5考点由三视图求面积、体积.专题计算题;空间位置关系与距离.分析由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,再根据公式求解即可.解答解由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,三棱柱的体积V1为=2剪去的三棱锥体积V2为=所以几何体的体积为2﹣=,故选A.点评本题考查学生的空间想象能力,考查学生的计算能力,是基础题.8.设x、y满足,则z=x+yA.有最小值2,最大值3B.有最大值3,无最大值C.有最小值2,无最大值D.既无最小值,也无最大值考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数z=x+y的最小值.解答解作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由z=x+y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时,直线y=﹣x+z的截距最小,此时z最小.由,解得,即C(2,0),代入目标函数z=x+y得z=2.即目标函数z=x+y的最小值为2.无最大.故选C.点评本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.9.将5名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则不同的分配方案共有种.A.80种B.120种C.140种D.50种考点排列、组合及简单计数问题.专题排列组合.分析本题是一个分步计数问题,首先选2个放到甲组,共有C52种结果,再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有C32A22,相乘得到结果,再表示出甲组含有3个人时,选出三个人,剩下的两个人在两个位置排列.解答解由题意知本题是一个分步分类计数问题,首先选2个放到甲组,共有C52=10种结果,再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置,每组至少一人,共有C32A22=6种结果,∴根据分步计数原理知共有10×6=60,当甲中有三个人时,有C53A22=20种结果∴共有60+20=80种结果故选A点评本题考查排列组合及简单计数问题,本题是一个基础题,解题时注意对于三个小组的人数限制,先排有限制条件的位置或元素.10.已知α,β∈(,2π),满足tan(α+β)﹣2tanβ=0,则tanα的最小值是A.B.﹣C.﹣D.考点两角和与差的正切函数.专题三角函数的求值.分析利用两角和的正切将tan(α+β)=4tanβ转化,整理为关于tanβ的一元二次方程,利用题意,结合韦达定理即可求得答案解答解∵tan(α+β)﹣2tanβ=0,∴tan(α+β)=2tanβ,∴=2tanβ,∴2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0,
①∴α,β∈(,2π),∴方程
①有两负根,tanα<0,∴△=1﹣8tan2α≥0,∴tan2α≤,∴tanα≤﹣∴tanα的最大值是﹣,故选B.点评本题考查两角和与差的正切函数,考查一元二次方程中韦达定理的应用,考查转化思想与方程思想,属于中档题11.直线l交椭圆=1于M、N两点,椭圆的上顶点为B点,若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l的方程是A.2x﹣3y﹣9=0B.3x﹣2y﹣11=0C.3x+2y﹣7=0D.x﹣y﹣5=0考点椭圆的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析设M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中点为G,MN的方程为y=kx+b,结合题意可得G的坐标,再由A、B在椭圆上,利用“点差法”求得直线l的斜率,再由直线方程的点斜式得答案.解答解设M(x1,y1)、N(x2,y2),MN的中点为G,MN的方程为y=kx+b,而B(0,2),又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点(2,0)上,由重心坐标公式可得,故x1+x2=6,y1+y2=﹣2,则MN的中点G为(3,﹣1),又M、N在椭圆上,,
①﹣
②,可得(x1﹣x2)(x1+x2)+2(y1﹣y2)(y1+y2)=0,又由x1+x2=6,y1+y2=﹣2,可得k=,又由直线MN过点G(3,﹣1),则直线l的方程是y+1=,整理得3x﹣2y﹣11=0.故选B.点评本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式、属于中档题.12.已知函数f(x)=,当2<a≤3时,则方程f(2x2+x)=a的根最多个数是A.4B.5C.6D.7考点根的存在性及根的个数判断.专题函数的性质及应用.分析作出函数f(x)的图象,利用换元法令t=2x2+x,利用数形结合进行讨论即可得到结论.解答画出函数f(x)的图象如右图,令t=2x2+x,当2<a≤3时,y=a与y=f(t)的图象有三个交点,三个交点的横坐标记为t1,t2,t3且t1≤0<t2<t3,当2x2+x=t2时,该方程有两解,2x2+x=t3时,该方程也有两解,2x2+x=t1时,该方程有0个解或1个解或2个解,∴当2<a≤3时,方程f(2x2+x)=a的根的个数可能为4个,5个,6个;当a>3时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点,两个交点的横坐标记为t4,t5且0<t4<t5,当2x2+x=t4时,该方程有两解,2x2+x=t5时,该方程也有两解,∴当a>3时,方程f(2x2+x)=a的根的个数为4个;综上方程f(2x2+x)=a(a>2)的根的个数可能为4个,5个,6个.即根数最多为6个,故选C.点评本题主要考查根的个数的判断,利用换元法将方程转化为两个函数的相交问题,以及利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.二.填空题本大题共4小题,每小题5分.13.设n=10sinxdx,则(﹣)n展开式中的常数项为210(用数字作答)考点二项式定理的应用;定积分.专题导数的综合应用;二项式定理.分析根据题意,先求出n的值,再求出展开式中的常数项是什么值即可.解答解∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10(cos﹣cos0)=10,∴展开式中通项Tr+1=••=(﹣1)r••,令5﹣=0,解得r=6,∴展开式中的常数项为T6+1=(﹣1)6•==210.故答案为210.点评本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了简单定积分的计算问题,是基础题目.14.如图,设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A,与x轴正半轴的交点为B,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M,随机往M内投一点,则点P落在△AOB内的概率是.考点几何概型;二次函数的性质.专题概率与统计.分析首先分别求出区域M和△AOB的面积,利用几何概型公式解答.解答解由已知区域M的面积为=,△AOB的面积为=,由几何概型可得点P落在△AOB内的概率是;故答案为.点评本题考查了定积分以及几何概型公式的运用;关键是分别求出两个区域的面积,利用定积分解答.15.若正三棱柱的底面边长为2,高为2,则此正三棱柱的外接球的体积为36π.考点球内接多面体.专题计算题;空间位置关系与距离.分析根据三棱柱的底面边长及高,先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距,进而求出三棱柱外接球的球半径,代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积.解答解由正三棱柱的底面边长为2,得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2,又由正三棱柱的高为2,则球心到圆O的球心距d=,根据球心距,截面圆半径,球半径构成直角三角形,满足勾股定理,我们易得球半径R满足R2=r2+d2=9,R=3,∴外接球的表面积S=4πR2=36π.故答案为36π.点评本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积,考查数形结合思想、化归与转化思想,其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键.16.点P为双曲线=1的右支上任意一点,由P向两条渐近线作平行线交渐近线于M、N两点,若平行四边形OMPN面积为3,则双曲线的离心率为.考点双曲线的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析求出|OA|,P点到OA的距离,利用平行四边形OBPA的面积为3,求出a,可得c,即可求出双曲线的离.解答解双曲线的渐近线方程是3x±ay=0,设P(m,n)是双曲线上任一点,过P平行于OB3x+ay=0的方程是3x+ay﹣3m﹣an=0,联立,得两直线交点A(),|OA|==,P点到OA的距离是d=,∵|OA|•d=1,∴,即,∵9m2﹣a2n2=9a2,∴a=2,则c=,∴e=.故答案为.点评本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,是中档题.三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,已知acos2+ccos2=b
(1)求证a、b、c成等差数列;
(2)若B=,S=4求b.考点余弦定理;正弦定理.专题解三角形.分析
(1)已知等式利用正弦定理化简,再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形,整理后再利用正弦定理化简,利用等差数列的性质判断即可得证;
(2)利用三角形面积公式列出关系式,把sinB与已知面积代入求出ac的值,利用余弦定理列出关系式,整理得出b的值即可.解答解
(1)由正弦定理得sinAcos2+sinCcos2=sinB,即sinA•+sinC•=sinB,∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB,即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,∵sin(A+C)=sinB,∴sinA+sinC=2sinB,由正弦定理化简得a+c=2b,∴a,b,c成等差数列;
(2)∵S=acsinB=ac=4,∴ac=16,又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac,由
(1)得a+c=2b,∴b2=4b2﹣48,即b2=16,解得b=4.点评此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,等差数列的性质,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.为检测某种零件的生产质量,检验人员需抽取同批次的零件样本进行检测并评分.若检测后评分结果大于60分的零件为合格零件,评分结果不超过40分的零件将直接被淘汰,评分结果在(40,60]内的零件可能被修复也可能被淘汰.(I)已知200个合格零件的评分结果的频率分布直方图如图所示.请根据此频率分布直方图,估计这200个零件评分结果的平均数和中位数;(Ⅱ)根据已有的经验,可能被修复的零件个体被修复的概率如表零件评分结果所在区间(40,50](50,60]每个零件个数被修复的概率假设每个零件被修复与否相互独立.现有5个零件的评分结果为(单位分)38,43,45,52,58,记这5个零件被修复的个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.考点离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.专题概率与统计.分析(I)利用频率分布直方图的性质可得10×(
0.01+
0.02+
0.03+a)=1,解得a=
0.04.平均数=10×(65×
0.01+75×a+85×
0.02+95×
0.03)=82.由图可知前两个矩形的面积之和=10×(
0.01+
0.04)=
0.5,即可得出中位数0.(II)由题意可知评分结果在(40,50],(50,60]内零件各有2个,则随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.利用相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式即可得出分布列,再利用数学期望计算公式即可得出.解答解(I)∵10×(
0.01+
0.02+
0.03+a)=1,∴a=
0.04.∴平均数=10×(65×
0.01+75×
0.04+85×
0.02+95×
0.03)=82.由图可知前两个矩形的面积之和=10×(
0.01+
0.04)=
0.5,∴中位数为80.(II)由题意可知评分结果在(40,50],(50,60]内零件各有2个,则随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)==,P(X=1)=+×=,P(X=2)=+=,P(X=3)=+=,P(X=4)==.X01234P∴E(X)=+1×+2×+3×+4×=.点评本题考查了频率分布直方图的性质、相互独立事件的概率计算公式、互斥事件概率计算公式、分布列、数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证AB⊥平面PBC;(Ⅱ)求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小.考点用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.专题综合题;空间位置关系与距离;空间角.分析(Ⅰ)证明AB⊥平面PBC,利用面面垂直的性质,根据AB⊥BC,平面PBC⊥平面ABCD,即可得证;(Ⅱ)取BC的中点O,连接PO,以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,求出平面ADP与平面BCP的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小.解答(Ⅰ)证明因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PBC.(Ⅱ)解如图,取BC的中点O,连接PO,因为PB=PC,所以PO⊥BC.因为PB=PC,所以PO⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz.不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得,,所以,设平面PAD的法向量为=(x,y,z).所以.令x=﹣1,则,所以=(﹣1,2,).取平面BCP的一个法向量,所以cos<,>=,所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为.点评本题考查线面垂直,考查平面ADP与平面BCP所成的锐二面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定方法,正确运用向量法,属于中档题.20.已知椭圆C=1(a>b>0)过点P(1,),离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设F
1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记△F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最大值时直线l的方程,并求出最大值.考点直线与圆锥曲线的综合问题.专题直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析(Ⅰ)运用离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得a,b,即可得到椭圆方程;(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),△F1MN的内切圆半径为r,运用等积法和韦达定理,弦长公式,结合基本不等式即可求得最大值.解答解(Ⅰ)由题意得+=1,=,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,椭圆C的标准方程为+=1;(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),△F1MN的内切圆半径为r,则=(|MN|+|MF1|+|NF1|)r=×8r=4r,所以要使S取最大值,只需最大,则=|F1F2|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|,设直线l的方程为x=ty+1,将x=ty+1代入+=1;可得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0(*)∵△>0恒成立,方程(*)恒有解,y1+y2=,y1y2=,=(y1+y2)2﹣4y1y2=,记m=(m≥1),==在[1,+∞)上递减,当m=1即t=0时,()max=3,此时l x=1,Smax=π.点评本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和三角形的面积公式,考查运算能力,属于中档题.21.已知函数f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=+x,m∈R令F(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)当m=时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若关于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值;(Ⅲ)若m=﹣2,正实数x1,x2满足F(x1)+F(x2)+x1x2=0,证明x1+x2.考点导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.专题函数的性质及应用;导数的综合应用.分析
(1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于零得到增区间;
(2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,应先求导数,研究函数的单调性,然后求函数的最值;
(3)联系函数的F(x)的单调性,然后证明即可.注意对函数的构造.解答解
(1).由f′(x)>0得1﹣x2>0又x>0,所以0<x<1.所以f(x)的单增区间为(0,1).
(2)令x+1.所以=.当m≤0时,因为x>0,所以G′(x)>0所以G(x)在(0,+∞)上是递增函数,又因为G
(1)=﹣.所以关于x的不等式G(x)≤mx﹣1不能恒成立.当m>0时,.令G′(x)=0得x=,所以当时,G′(x)>0;当时,G′(x)<0.因此函数G(x)在是增函数,在是减函数.故函数G(x)的最大值为.令h(m)=,因为h
(1)=,h
(2)=.又因为h(m)在m∈(0,+∞)上是减函数,所以当m≥2时,h(m)<0.所以整数m的最小值为2.
(3)当m=﹣2时,F(x)=lnx+x2+x,x>0.由F(x1)+F(x2)+x1x2=0,即.化简得.令t=x1x2,则由φ(t)=t﹣lnt得φ′(t)=.可知φ′(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.所以φ(t)≥φ
(1)=1.所以,即成立.点评本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路,不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法.属于中档题,难度不大.请考生在第
22、
23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修4-1几何证明选讲22.如图,已知圆O的两弦AB和CD相交于点E,FG是圆O的切线,G为切点,EF=FG.求证(Ⅰ)∠DEF=∠EAD;(Ⅱ)EF∥CB.考点与圆有关的比例线段;弦切角.专题综合题;推理和证明.分析(Ⅰ)利用切割线定理,结合EF=FG,证明△FED∽△EAF,可得∠DEF=∠EAD;(Ⅱ)证明∠FED=∠BCD,即可证明EF∥CB解答证明(Ⅰ)由切割线定理得FG2=FA•FD.又EF=FG,所以EF2=FA•FD,即.因为∠EFA=∠DFE,所以△FED∽△EAF,所以∠DEF=∠EAD.(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠DEF=∠EAD,因为∠FAE=∠DAB=∠DCB,所以∠FED=∠BCD,所以EF∥CB.点评本题考查切割线定理,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.选修4-4坐标系与参数方程23.在极坐标系中,设圆C1ρ=4cosθ与直线lθ=(ρ∈R)交于A,B两点.(Ⅰ)求以AB为直径的圆C2的极坐标方程;(Ⅱ)在圆C1任取一点M,在圆C2上任取一点N,求|MN|的最大值.考点简单曲线的极坐标方程.专题坐标系和参数方程.分析(Ⅰ)圆C1ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ,利用即可得出圆C1的直角坐标方程.由直线lθ=(ρ∈R)可得直线l的倾斜角为,又经过原点,即可得出直角坐标方程.联立解得A,B坐标,即可得出圆的方程.再将其化为极坐标方程即可.(II)利用|MN|max=|C1C2|+r1+r2即可得出.解答解(Ⅰ)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意得圆C1ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ,∴圆C1的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0.直线l的直角坐标方程y=x.由,解得或.∴A(0,0),B(2,2).从而圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,即x2+y2=2x+2y.将其化为极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.(Ⅱ)∵,∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2=+2+=2+2.点评本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程互化、两圆的位置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.选修4-5不等式选讲24.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.(Ⅰ)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;(Ⅱ)若当x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.考点绝对值不等式的解法.专题计算题;不等式的解法及应用.分析(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1,对x的取值范围分类讨论,去掉上式中的绝对值符号,解相应的不等式,最后取其并集即可;(Ⅱ)依题意知,|x﹣a|≤x+7,由此得a≥﹣7且a≤2x+7,当x∈[0,3]时,易求2x+7的最小值,从而可得a的取值范围.解答解(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1.当x≤﹣3时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立;当﹣3<x<﹣1时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣≤x<﹣1;当x≥﹣1时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立.综上,不等式的解集为[﹣,+∞).…(Ⅱ)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x﹣a|≤x+7,由此得a≥﹣7且a≤2x+7.当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7,所以a的取值范围是[﹣7,7].…点评本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用,考查运算求解能力,属于中档题.。