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2019-2020年高三数学专题复习数列求和及数列的综合应用检测题一.知识梳理1.数列求和的方法技巧1分组转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.2错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.3倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列反序,当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和.4裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或n项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.这种方法,适用于求通项为的数列的前n项和,其中{an}若为等差数列,则=().常见的拆项公式
①=;
②=-;
③=-;
④=-.2.数列应用题的模型1等差模型如果增加或减少的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加或减少的量就是公差.2等比模型如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.3混合模型在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型.4生长模型如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加或减少,同时又以一个固定的具体量增加或减少时,我们称该模型为生长模型.如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等.5递推模型如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an-1或前n项间的递推关系式,我们可以用递推数列的知识来解决问题.二.预习练习1.已知数列1,3,5,7,…,则其前n项和Sn=________.2.在等差数列{an}中,a1=-2013,其前n项和为Sn,若-=2,则S2013的值等于________.3.对于数列{an},a1=4,an+1=fan,n=12,…,则a2013=________.x12345fx543124.设{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,记Mn=ab1+ab2+…+abn,则数列{Mn}中不超过2013的项的个数为________.5.在等差数列{an}中,其前n项和是Sn,若S150,S160,则在,,…,中最大的是________.三.典型例题考点一 分组转化求和法例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第
一、
二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行98181求数列{an}的通项公式;2若数列{bn}满足bn=an+-1nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.变式已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n2-3n-2,n=123,…1求证数列{an-2n}为等比数列;2设bn=an·cosnπ,求数列{bn}的前n项和Tn..考点二 错位相减求和法例2 xx·山东设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+
1.1求数列{an}的通项公式;2设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=λλ为常数.令cn=b2n,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Rn.变式设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-
1.1求数列{an}的通项公式;2令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.考点三 裂项相消求和法例3 xx·广东设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.1求a2的值;2求数列{an}的通项公式;3证明对一切正整数n,有++…+.变式已知,,x≥0成等差数列.又数列{an}an0中,a1=3,此数列的前n项和为Sn,对于所有大于1的正整数n都有Sn=fSn-1.1求数列{an}的第n+1项;2若是,的等比中项,且Tn为{bn}的前n项和,求Tn.考点四 数列的实际应用例4 xx·湖南某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.1用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;2若公司希望经过mm≥3年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值用m表示.变式某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下,可卖出b千克.若做广告宣传,广告费为nn∈N*千元时比广告费为n-1千元时多卖出千克.1当广告费分别为1千元和2千元时,用b表示销售量S;2试写出销售量S与n的函数关系式;3当a=50,b=200时,要使厂家获利最大,销售量S和广告费n分别应为多少?四.课后练习
一、填空题1.在一个数列中,如果∀n∈N*,都有anan+1an+2=kk为常数,那么称这个数列为等积数列,称k为这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________.2.秋末冬初,流感盛行,特别是甲型H1N1流感.某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an},已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+-1nn∈N*,则该医院30天入院治疗甲流的人数为________.3.数列{an}满足a1=1,且对任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,则+++…+=________.4.已知函数fn=且an=fn+fn+1,则a1+a2+a3+…+a2012=________.5.xx·安徽如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是________.6.已知数列{an}满足3an+1+an=4n≥1且a1=9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是________.7.气象学院用
3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为n∈N*元,使用它直至报废最合算所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少,一共使用了________天.
二、解答题8.xx·江西正项数列{an}的前n项和Sn满足S-n2+n-1Sn-n2+n=
0.1求数列{an}的通项公式an;2令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,证明对于任意的n∈N*,都有Tn.9.将函数fx=sinx·sinx+2π·sinx+3π在区间0,+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}n∈N*.1求数列{an}的通项公式;2设bn=2nan,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.10.在等比数列{an}中,a2=,a3·a6=.设bn=log2a2·log2a2,Tn为数列{bn}的前n项和.1求an和Tn;2若对任意的n∈N*,不等式λTnn-2-1n恒成立,求实数λ的取值范围.11.已知函数fx满足ax·fx=b+fxab≠0,f1=2且fx+2=-f2-x对定义域中任意x都成立.1求函数fx的解析式;2若正项数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=
2.求证数列{an}是等差数列;3若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.。