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2019-2020年高三数学摸底考试试题文【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定,试题难度适中,试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识,突出三基,强化三基的同时,突出了对学生能力的考查,注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查,以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用突出考查数学主干知识侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查;侧重于知识交汇点的考查全面考查了考试说明中要求的内容
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知集合,则A.B.C.D.【知识点】集合的并集的求法.A1【答案解析】B解析因为集合,即,又因为,所以,故选B.【思路点拨】先化简集合,再求结果即可.【题文】2.设复数,在复平面内的对应点关于实轴对称,,则A.B.C.D.【知识点】复数的运算.L4【答案解析】A解析因为复数,在复平面内的对应点关于实轴对称,,则,所以,故选A.【思路点拨】先利用已知条件求出再计算结果即可.【题文】3.已知,,则A.B.C.D.【知识点】指数函数的单调性;对数函数的单调性;比较大小.B6B7【答案解析】C解析因为,故;,故,,故.故,故选C.【思路点拨】分别利用指数函数的单调性与对数函数的单调性判断出各自的范围,然后再比较大小即可.【题文】4.若,则是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【知识点】充要条件.A2【答案解析】A解析当时,;当时,,由此可知是的充分而不必要条件,故选A.【思路点拨】对两个命题进行双向推出即可.【题文】5.已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是A.若则B.若,,则C.若,,则D.若,,则【知识点】空间中的平行关系、垂直关系.G
4、G5【答案解析】B解析对于选项A m、n平行、相交、异面都有可能;选项B显然成立【思路点拨】利用空间中线面平行、垂直的判定与性质确定结论【题文】6.设等比数列的前项和为,若则A.31B.32C.63D.64【知识点】等比数列的性质;等比数列的前n项和.D3【答案解析】C解析由等比数列的性质可得成等比数列,即成等比数列,∴,解得63,故选A.【思路点拨】由等比数列的性质可得成等比数列,代入数据计算可得.【题文】7.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.【知识点】函数的奇偶性与单调性.B
3、B4【答案解析】D解析根据四个函数的图像获得正确选项.【思路点拨】通过函数图像分析结论.【题文】8.由不等式确定的平面区域记为,不等式确定的平面区域记为,在中随机取一点,则该点恰好在内的概率为A. B. C. D.【知识点】几何概型;简单线性规划.E5K3【答案解析】D解析平面区域,为三角形AOB,面积为×2×2=2,平面区域,为四边形BDCO,其中C(0,1),由,解得,即则三角形ACD的面积S=×1×=,则四边形BDCO的面积S=S△OAB−S△ACD=2−=,则在中随机取一点,则该点恰好在内的概率为,故选D.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何槪型的概率公式即可得到结论.【题文】9.已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个交点,且轴,则双曲线的离心率为A.B. C.D.【知识点】抛物线及其几何性质、双曲线及其几何性质.H
6、H7【答案解析】D解析根据题意得从而所以解得,因为需使,所以,从而,所以.故选D.【思路点拨】先求出点F、A的坐标,从而求出a、b、c的值,进而求得离心率【题文】10.已知菱形的边长为,,点分别在边上,.若,,则A. B. C. D.【知识点】平面向量数量积的运算.F3【答案解析】C解析由题意可得:若 ,∴
①.,即
②.由
①②求得,故选C.【思路点拨】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由,求得
①;再由,求得
②.结合
①②求得的值.
二、填空题本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)【题文】11.已知某程序框图如图,若分别输入的的值为,执行该程序后,输出的的值分别为,则.【知识点】程序框图L1【答案解析】6解析分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是计算分段函数的函数值.当x=0时,则y=4°=1;当x=1时,则y=1;当x=2时,则y=22=4;则a+b+c=1+1+4=6故答案为6.【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是计算分段函数的函数值,将x的值分别代入即得.【题文】12.在中,角A,B,C所对边分别为且,面积,则=.【知识点】三角形的面积公式;余弦定理.C8【答案解析】5解析∵,面积,∴,由余弦定理得,∴.故答案为5.【思路点拨】先利用三角形的面积公式求出边;利用三角形的余弦定理求出边.【题文】
13.如图对大于或等于的正整数的次幂进行如下方式的“分裂”其中:例如的“分裂”中最小的数是最大的数是;若的“分裂”中最小的数是则最大的数是.【知识点】合情推理、数列,M
1、D2【答案解析】271解析分裂中的第一个数,最后一个数;分裂中的第一个数,最后一个数;分裂中的第一个数,最后一个数;发现分裂数的个数与前面的底数相同,每一组分裂中的第一个数是底数(底数1)+
1.又分裂中的第一个数是241,则,解得所以的分裂中最大数是【思路点拨】根据分裂的结果,归纳总结分裂的特点分裂数的个数与前面的底数相同,每一组分裂中的第一个数是底数(底数1)+
1.从而求得分裂中的第一个数是241的底数m的值
(二)选做题(
14、15题,考生只能从中选做一题)【题文】14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点的极坐标为,曲线的参数方程为(为参数).则点到曲线上的点的距离的最小值为.【知识点】圆的参数方程;点的极坐标和直角坐标的互化.N3【答案解析】4解析由点的极坐标为,得点的直角坐标即M(4,4),由曲线的参数方程(为参数),消去参数得普通方程为,∴圆心为A(1,0),半径r=1,由于点M在曲线C外,故点M到曲线C上的点的距离的最小值为.【思路点拨】利用公式即可把点的坐标化为直角坐标;把曲线的参数方程化为化为普通方程,再利用|MA|-r即可求出最小值.【题文】15.(几何证明选讲选做题)如图,过⊙外一点分别作圆的切线和割线交圆于,且,是圆上一点使得,则.【知识点】几何证明选讲.N1【答案解析】6解析因为弦切角等于它所夹弧所对圆周角所以与相似所以即所以.【思路点拨】利用三角形相似求线段AB的长即可.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.【题文】16.本小题满分12分已知函数,.
(1)求的单调递减区间;
(2)若,,求.【知识点】三角函数的单调区间;同角三角函数的基本关系式;三角恒等变换.C2C3C5【答案解析】
(1);
(2)解析
(1)由……………2分解得,……………3分的单调递减区间为……………4分
(2),,……………5分……………6分……………7分……………8分……………9分……………10分……………11分……………12分【思路点拨】
(1)直接利用余弦函数的单调区间即可;
(2)先利用同角三角函数的基本关系式求出余弦值,再利用公式把化简代入数值即可.【题文】
17.(本小题满分12分)为增强市民的环保意识,某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的志愿者中随机选取名志愿者其年龄频率分布直方图如图所示其中年龄岁分成五组:第组第组第组第组第组.得到的频率分布直方图局部如图所示.
(1)求第组的频率并在图中补画直方图;
(2)从名志愿者中再选出年龄低于岁的志愿者名担任主要宣讲人求这名主要宣讲人的年龄在同一组的概率.【知识点】频率分布直方图;超几何分布;组合的运算;概率.I2J2K5【答案解析】
(1)
0.3,图见解析;(2)解析
(1)先利用所有矩形的面积即概率和为1,求出第四组的概率,再画出图形即可;
(2)设“从20名志愿者中再选出年龄低于30岁的志愿者3名担任主要宣讲人其年龄均在同一组”为事件A,然后求出从mabcd中选出3名志愿者共有10种选取方法,再求出都在第二组的共有4种选取方法,即可求出其概率.【题文】
18.(本小题满分14分)如图四棱锥中侧面为等边三角形底面是等腰梯形且为的中点为的中点且.
(1)求证平面平面;
(2)求证平面;
(3)求四棱锥的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;体积公式.G4G5G7【答案解析】
(1)见解析
(2)见解析
(3)3解析
(1)∵为等边三角形,为的中点∴AM⊥DE,AM=∵在△DMC中DM=1,∠CDM=60°,CD=4,∴∴MC=.在△AMC中,∴△AMC是直角三角形.∴AM⊥MC.又∵AM⊥DE,MC∩DE=M,MC,DE⊂平面BCD∴AM⊥平面BCD.又∵AM⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCD.
(2)取DC的中点N,连接FN,NB.∵AC=DC,F,N点分别是AC,DC的中点,∴FN∥AD.又FN⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,∴FN∥平面ADE.∵点N是DC的中点,∴BC=NC,又∠BCN=60°,∴△BCN是等边三角形,∴BN∥DE.又BN⊄平面ADE,ED⊂平面ADE,∴BN∥平面ADE.∵FN∩BN=N,∴平面ADE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB,∴FB∥平面ADE.
(3)过点B作于H,则由
(2)知四边形EBND是平行四边形,∴EB=ND=2,∴底面等腰梯形BCDE的面积∴四棱锥A-BCDE的体积【思路点拨】
(1)由△ADE是边长为2的等边三角形,可求出AM,利用余弦定理解△DMC,可求出MC,进而由勾股定理可得AM⊥MC,进而结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理,可得平面ADE⊥平面BCD;
(2)取DC的中点N,连接FN,NB,由线面平行判定定理可分别证明出FN∥平面ADE和BN∥平面ADE,进而由面面平行的判定定理可得平面ADE∥平面FNB,再由面面平行的性质得到FB∥平面ADE.
(3)求出底面面积再利用体积公式即可.【题文】19.(本小题满分14分)已知公差不为0的等差数列的前项和为,若且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:对一切正整数有.【知识点】等比中项;等差数列的通项公式;裂项相消法.D2D3D4【答案解析】
(1);
(2)见解析解析
(1)⑴------1分,-----2分由题意得---------3分即⑵联立⑴、⑵解得4分-------5分
(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意列方程组求得首项和公差,则数列{an}的通项公式可求;
(2)由
(1)中求得的通项公式得到,利用裂项相消法再证明即可得答案.【题文】20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)是否存在△面积的最大值,若存在,求出△的面积;若不存在,说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5H8【答案解析】
(1);
(2)存在△面积的最大值;
(2)解析
(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为2的椭圆.…(3分)故曲线C的方程为.…(5分)
(2)存在△AOB面积的最大值.…(6分)因为直线过点,设直线的方程为或y=0(舍).则整理得.…(7分)由.设.解得,.则.因为.…(10分)设,,.则g(t)在区间上为增函数.所以.所以,当且仅当m=0时取等号,即.所以的最大值为.…(14分)【思路点拨】
(1)由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴长为2的椭圆,由此能求出曲线C的方程.
(2)存在△AOB面积的最大值.因为直线过点,设直线的方程为,与椭圆方程联立得.由.设.由此能求出的最大值.【题文】21.(本小题满分14分)已知函数为自然对数的底数.
(1)若曲线在点处的切线平行于轴求的值;
(2)求函数的极值;
(3)当时若直线与曲线没有公共点求的最大值.【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.B12【答案解析】
(1)
(2)当时,无极值;当时,在处取到极小值,无极大值.
(3)1解析
(1)由,得,又曲线在点处的切线平行于轴,∴,即,解得.
(2),
①当时,>0,为上的增函数,所以无极值;
②当时,令=0,得,,<0;,>0;∴在上单调递减,在上单调递增,故在处取到极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,无极值;当时,在处取到极小值,无极大值.
(3)当时,,令,则直线l y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程=0在R上没有实数解.假设k>1,此时g
(0)=1>0,又函数的图象连续不断,由零点存在定理可知=0在R上至少有一解,与“方程=0在R上没有实数解”矛盾,故k≤1.又k=1时,=>0,知方程g(x)=0在R上没有实数解,所以k的最大值为1【思路点拨】
(1)依题意,从而可求得a的值;
(2),分
①a≤0时
②a>0讨论,可知在上单调递减,在上单调递增,从而可求其极值;
(3)令,则直线l y=kx-1与曲线y=没有公共点⇔方程=0在R上没有实数解.分k>1与k≤1讨论即可得答案.第11题图第13题图年龄∕岁第17题图第18题图。